Entretenimiento 15 - S03

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ENTRETENIMIENTO 13 - 10/12/2022 
 
22 2
20 /2
(2 )
;x
sen x
e dx dx
x

  
 
 
1) REGLA DEL TRAPECIO: La función ( )f x se aproxima por la cuerda de la curva dentro del 
intervalo 
0 0; .x x h +  Esto es una aproximación lineal, donde el arco BC se sustituye por la 
cuerda BC. 
 
1.1. ÁREA PARA UN SOLO INTERVALO: Para esto se construye el trapecio ABCD, donde: 
 
El punto A tiene por coordenadas 0( ;0)x 
El punto B tiene por coordenadas 0 0( ; )x f 
El punto C tiene por coordenadas 1 1( ; )x f 
El punto D tiene por coordenadas 1( ;0)x 
 
 
 
 
 
0
0
0 1( ) ( )
2
x h
x
h
A f x dx f f
+
= + 
 
 
 
Ejemplo 01: Estimar el valor de la integral 
2
1
x dx mediante la regla del trapecio para un solo 
intervalo. 
Solución: 
0 0 01 ( ) (1) 1 1x f f x f=  = = = = 
 
1 1 12 ( ) (2) 2 1,4142x f f x f=  = = = = 
 
Calculamos: 
b a
h
n
−
= 
2 1
1
1
h
−
= = 
 
Reemplazando en la fórmula: 
2
1
1 2,4142
(1 1,4142) 1,2071
2 2
I x dx= + = = 
 
Por tanto: 
2
1
1,2071x dx  
 
Ejemplo 02: Utilizando la regla del trapecio con 1,n = aproxime la integral 
22 2
1
(3 2) xx e dx−− 
Efectuar los cálculos a cuatro decimales redondeados. 
Solución: 
1
0 0 01 ( ) (1) (3 2) 0,3679x f f x f e
−=  = = = − = 
 
4
1 1 12 ( ) (2) (12 2) 0,1832x f f x f e
−=  = = = − = 
 
Calculamos: 
b a
h
n
−
= 
2 1
1
1
h
−
= = 
 
Reemplazando en la fórmula: 
A 
C 
D 
B 
X 
Y ( )y f x= 
0x 1 0x x h= + 
22 2
1
1 0,5511
(3 2) (0,3679 0,1832) 0,2756
2 2
xI x e dx−= − + = = 
 
Por tanto: 
22 2
1
(3 2) 0,2756xx e dx−−  
 
 
1.2. ÁREA PARA “N” INTERVALOS: Para esto se construye una región plana que pasa por 5 
puntos igualmente espaciados: 
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),( ; ),x f x f x f x f x f del cual se 
determinan 4 trapecios de áreas según el grafico: 1 2 3 4; ; ;A A A A 
 
Siendo: 
4
b a
h
−
= 
 
0
1 0
2 1 0
3 2 0
4 3 0
2
3
4
a x
x x h
x x h x h
x x h x h
b x x h x h
=
= +
= + = +
= + = +
= = + = +
 
 
Del gráfico se observa que el área aproximada de la región plana limitada por ( )y f x= una 
función continua en  ;a b y el eje X. 
 
1 2 3 4( )
b
a
A f x dx A A A A=  + + + 
( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 3 3 4( )
2 2 2 2
b
a
h h h h
f x dx f f f f f f f f + + + + + + + 
 
Factorizando / 2,h se obtiene: 
0 1 1 2 2 3 3 4( )
2
b
a
h
A f x dx f f f f f f f f =  + + + + + + +  
 
Por tanto: 
0 1 2 3 4( ) 2 2 2
2
b
a
h
A f x dx f f f f f =  + + + +  
 
Generalizamos: Consideramos 1n+ puntos, obteniendo " "n intervalos, siendo 
b a
h
n
−
= 
 0 1 2 1( ) 2 2 ... 2
2
b
n n
a
h
f x dx f f f f f−  + + + + +  
 
Ejemplo 03: Estimar el valor de la integral 
2
1
x dx mediante la regla del trapecio para 6.n = 
Trabajar con 4 cifras decimales redondeadas. 
Solución: 
Determinamos: 
2 1 1
6 6
h
−
= = 
 
kx
 
0 1x =
 
1
7
6
x = 2
8
6
x = 3
9
6
x = 4
10
6
x = 5
11
6
x = 6
12
6
x = 
kf
 
0 1f =
 
1 1,0801f =
 
2 1,1547f =
 
3 1,2247f =
 
4 1,2910f =
 
5 1,3540f =
 
6 1,4142f =
 
4f 
2f 
0f 
1f 3
f 
4A 
2A 
3A 1A 
 
Desarrollando la integral: 
2
0 1 2 3 4 5 6
1
2 2 2 2 2
2
h
x dx f f f f f f f  + + + + + +  
 
2
1
1
1 2(1,0801) 2(1,1547) 2(1,2247) 2(1,2910) 2(1,3540) 1,4142
12
x dx  + + + + + + 
 
2
1
14,6232
1,2186
12
x dx  = Por tanto: 
2
1
1,2186x dx  
 
Ejemplo 04: Utilizando la regla del trapecio con 8,n = aproxime la integral 
1
411
dx
x− +
 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
Solución: 
Determinamos: 
1 1 1
8 4
h
+
= = 
 
kx 0 1x = − 
1
3
4
x = − 2
2
4
x = − 3
1
4
x = − 
kf 0 0,5000f = 1 0,7596f = 2 0,9412f = 3 0,9961f = 
 
4 0x = 
5
1
4
x = 6
2
4
x = 7
3
4
x = 8
4
1
4
x = = 
4 1,0000f = 5 0,9961f = 6 0,9412f = 7 0,7596f = 8 0,5000f = 
 
1
0 1 2 3 4 5 6 7 841
2 2 2 2 2 2 2
1 2
dx h
f f f f f f f f f
x−
  + + + + + + + + +
 
 
 
1
41
0,5000 2(0,7596) 2(0,9412) 2(0,9961) 2 2(0,9961) 2(0,9412) 2(0,7596) 0,5000
1 2
dx h
x−
 + + + + + + + + +
+
 
 


1
41
1
0,5000 2(0,7596) 2(0,9412) 2(0,9961) 2(1) 2(0,9961)
1 8
13,7876
2(0,9412) 2(0,7596) 0,5000 1,7235
8
dx
x−
 + + + + + +
+
+ + + = =

 
Por tanto: 
1
41
1,7235
1
dx
x− +
 
 
 
Ejercicio 01: Utilizando la regla del trapecio con 6,n = aproxime la integral 
4
2
0
xx e dx− Efectuar 
los cálculos a cuatro decimales redondeados. 
Solución: 
Determinamos: 
b a
h
n
−
= 
 
kx 0 1x = − 
1
3
4
x = − 2
2
4
x = − 3
1
4
x = − 
kf 0 0,5000f = 1 0,7596f = 2 0,9412f = 3 0,9961f = 
 
4 0x = 
5
1
4
x = 6
2
4
x = 7
3
4
x = 8
4
1
4
x = = 
4 1,0000f = 5 0,9961f = 6 0,9412f = 7 0,7596f = 8 0,5000f = 
 
1
0 1 2 3 4 5 6 7 841
2 2 2 2 2 2 2
1 2
dx h
f f f f f f f f f
x−
  + + + + + + + + +
 
 
 
1
41
0,5000 2(0,7596) 2(0,9412) 2(0,9961) 2 2(0,9961) 2(0,9412) 2(0,7596) 0,5000
1 2
dx h
x−
 + + + + + + + + +
+
 
 


1
41
1
0,5000 2(0,7596) 2(0,9412) 2(0,9961) 2(1) 2(0,9961)
1 8
13,7876
2(0,9412) 2(0,7596) 0,5000 1,7235
8
dx
x−
 + + + + + +
+
+ + + = =

 
Por tanto: 
1
41
1,7235
1
dx
x− +
 
 
 
Ejercicio 01: Utilizando la regla del trapecio con 10,n = aproxime la integral 
2
20
( )
1
sen x dx
x

+
 
Efectuar los cálculos a cuatro decimales redondeados. 
Solución: 
Determinamos: 
2 0
10 5
b a
h
n
 − −
= = = 
 
kx 0 0x = 
1
5
x

= 2
2
5
x

= 3
3
5
x

= 
kf 0 0f = 1 0,4214f = 2 0,3687f = 3 0,2089 f = 
 
4
4
5
x

= 5
5
5
x

= 6
6
5
x

= 7
7
5
x

= 8
8
5
x

= 
4 0,0803f = 5 0f = 6 -0,0386f = 7 -0,0467 f = 8 -0,0362f = 
 
9
9
5
x

= 10
2x = 
9 -0,0178f = 10 0f = 
 
 
2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1020
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2
sen x dx h
f f f f f f f f f f f
x

  + + + + + + + + + + +
 
 

2
20
( )
0 2(0,4214) 2(0,3687) 2(0,2089) 2(0,0803) 2(0) 2( 0,0386)
1 2(5)
sen x dx
x
 
 + + + + + + −
+
 
   2( 0,0467) 2( 0,0362) 2( 0,0178) 0 1,88
10

+ − + − + − + = 
 
Por tanto: 
2
20
( ) 1,88
1 10
sen x dx
x
 
+
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ENTRETENIMIENTO 
 
01. Utilizando la regla del trapecio con 8,n = aproxime la integral 
1
411
dx
x− +
 Efectuar los cálculos a 
cuatro decimales redondeados. 
 
02. Utilizando la regla del trapecio con 6,n = aproxime la integral 
/2
2/2 1 ( )
dx
sen x

− +
 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
03. Utilizando la regla del trapecio con 8,n = aproxime la integral 
4
2
0
xx e dx− Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
04. Utilizando la regla del trapecio con 6,n = aproxime la integral 
3
20
( )
1
xe sen x
dx
x+
 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
05. Utilizando la regla del trapecio con 10,n = aproxime la integral 
2
20
( )
1
sen x dx
x

+
 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
06. Utilizando la regla del trapecio con 8,n = aproxime la integral 
4
21
(2 )sen x dx
x
 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
07. Utilizando la regla del trapecio con 10,n = aproxime la integral 
22
2
(2 3) xx e dx
−
+ Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
08. Utilizando la regla del trapecio con 10,n = aproxime la integral 
22
2
(3 2) xx e dx−
−
− Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
09. Utilizando la regla del trapecio con 8,n = aproxime la integral 
2
0
( 3 )sen x dx

 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
10. Utilizando la regla del trapecio con 8,n = aproxime la integral 
2
0
cos ( 2 )x dx

 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
11. Utilizando la regla del trapecio con 10,n = aproxime la integral 
4
20
2
16
dx
x +
 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados.12. Utilizando la regla del trapecio con 10,n = aproxime la integral 
4
20
3
2 7
dx
x +
 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
2) REGLA DE SIMPSON: Según la regla del trapecio se aproxima mejor cuando mayor es el 
número de divisiones o intervalos. Pero se puede obtener una mejor aproximación, con menos 
intervalos si la función ( )y f x= se reemplaza por la parábola de segundo grado que pasan por 
cada tres puntos consecutivos ( ; )i ix y de la función dada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En este caso, según la figura con una parábola de segundo grado ( )y P x= que pasa por los 
puntos de la función dada 
0 0 1 1 2 2( ; ),( ; ),( ; ),x f x f x f será: 
 
0
0
2
0 1 2( ) 4
3
x h
x
h
f x dx f f f
+
 + +  
 
Si el intervalo general  ;a b se divide en un número par "2 "n subintervalos de longitud " "h 
cada uno, de forma que ,
2
b a
h
n
−
= se tendrá: 
 
0 1 2 3 2 2 2 1 2( ) 4 2 4 ... 2 4 4 2
3 3
b
n n n i p
a
h h
f x dx f f f f f f f E I I− −   + + + + + + + = + +    
 
Donde: 
:E Suma de las ordenadas en los extremos 
:iI Suma de las ordenadas intermedias impares 
:pI Suma de las ordenadas intermedias pares. 
 
Ejemplo 01: Usar la regla del Simpson para aproximar 
2
21
1
1 dx
x
 
+ 
 
 con 4 intervalos 
Solución: 
Por la regla del Simpson: 
2
0 1 2 3 421
1
1 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( )
3
h
dx f x f x f x f x f x
x
 
 +  + + + +   
 
 
De la partición: 
0 1 2 3 4
2 1 1 5 6 7
; 1 ; ; ; ; 2
4 4 4 4 4
h x x x x x
−
= = = = = = = 
Evaluando para cada valor de :x 
2
0 2
x
x h+
 
1
0
x
x h+
 0
x 
0 2
1
( ) (1) 1 1 1 2
1
f x f= = + = + = 
1
5 1 16 41
( ) 1 1
254 25 25
16
f x f
 
= = + = + = 
 
 
 
2
3 1 4 13
( ) 1 1
92 9 9
4
f x f
 
= = + = + = 
 
 
3
7 1 16 65
( ) 1 1
494 49 49
16
f x f
 
= = + = + = 
 
 
 
( )4
1 5
( ) 2 1
4 4
f x f= = + = 
 
Reemplazando en la integral: 
 
2
21
1 1 41 13 65 5 18,0050
1 2 4( ) 2( ) 4( ) ( ) 1,5004
12 25 9 49 4 12
dx
x
   
+ + + + +   
   
 
 
Por tanto: 
1
20
1
1 1,5004
x
 
+  
 
 
 
Ejemplo 02: Un empresario exportador determinó los siguientes valores del ingreso marginal I’(x) 
en cientos de dólares: 
x 0 15 30 45 
I‘(x) 20 16 14,5 18 
 
60 75 90 105 120 
18,5 14 12 15 16 
 
Donde “x” es el número de cientos de unidades producidas y vendidas por mes. Use la regla de 
Simpson para aproximar el ingreso cuando se producen 12 000 unidades por mes. 
Solución: 
120 0
15
8
h
−
= = Tenemos ' ( )I x 
 
120
0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8
0
( ) '( ) '( ) 4 '( ) 2 '( ) 4 '( ) 2 '( ) 4 '( ) 2 '( ) 4 '( ) '( )
3
h
I x I x dx I x I x I x I x I x I x I x I x I x =  + + + + + + + + 
 
Reemplazando en la integral 
 
 
120
0
15
( ) ' ( ) 20 4(16) 2(14,5) 4(18) 2(18,5) 4(14) 2(12) 4(15) 16
3
5 20 64 29 72 37 56 24 60 16 1890
I x I x dx
cientos de dólares
= + + + + + + + +
= + + + + + + + +

 
Por tanto: 
El ingreso mensual cuando se producen 12 000 unidades será de 189 000 dólares. 
 
 
Ejercicio 03: Utilizando la regla de Simpson con 12 subintervalos aproxime los cálculos a cuatro 
decimales redondeados la integral 
22
4
20
(2 1)
1
xx e dx
x
+
+
 
Solución: 
4 0 4 1
12 12 3
h
−
= = = 
 
 
 
kx 0 0x = 
1
1
3
x = 2
2
3
x = 3
3
1
3
x = = 
kf 0f = 1f = 2f = 3f = 
 
4
4
3
x = 5
5
3
x = 6
6
2
3
x = = 7
7
3
x = 8
8
3
x = 
4f = 5f = 6f = 7f = 8f = 
 
9
9
3
3
x = = 10
10
3
x = 11
11
3
x = 12
12
4
3
x = = 
 
9f = 10f = 11f = 12f = 
 
 
 
22
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1220
(2 1)
4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4
1 3
xx e dx h
f f f f f f f f f f f f f
x
+
 + + + + + + + + + + + +
+
 
 
Reemplazando en la integral: 
 
22
4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1220
(2 1) 1
4 2 4 2 4 2 4 2 4 2 4
1 9
xx e dx
f f f f f f f f f f f f f
x
+
 + + + + + + + + + + + +
+ 
 
 
01. Utilizando la regla de Simpson con 4,n = aproxime la integral 
24 2
2
( 1) xx e dx−
−
+ Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
02. Utilizando la regla de Simpson con 4,n = aproxime la integral 
2
0
( 4 1)sen x dx

+ Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
03. Utilizando la regla de Simpson con 4,n = aproxime la integral 
2
0
cos ( 2 1)x dx

− Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
04. Utilizando la de Simpson con 6,n = aproxime la integral 
2
4
20
(2 3)
16
x dx
x
−
+
 Efectuar los cálculos a 
cuatro decimales redondeados. 
 
05. Utilizando la regla de Simpson con 6,n = aproxime la integral 
2
6
20
3
2 5
xe dx
x +
 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados. 
 
06. Utilizando la regla de Simpson con 6,n = aproxime la integral 
2
4
0
( 1)
4 2
xx e dx
x
−+
−
 Efectuar los 
cálculos a cuatro decimales redondeados.