Series de Fourier

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Matemática para Ingenieros 
Ing. Adriana M. Apaza Prof. Adj. 
 
INTRODUCCIÓN 
En esta sección vamos a tratar de expresar una función periódica de período T como una suma 
trigonométrica de senos y cosenos del mismo período T. 
 
Recordemos: Una función 𝑓 se dice que es periódica si sus imágenes se repiten en intervalos 
regulares en su dominio 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 1: Una función periódica con período T 
 
El intervalo entre dos réplicas sucesivas se llama período de la función. 
 
Definición: Una función 𝑓: 𝑅 → 𝑅 es periódica si ∃𝑇 ∈ 𝑅/𝑓(𝑡 + 𝑚𝑇) = 𝑓(𝑡) ∀𝑚 ∈ 𝑍 
Para dar una medida del número de repeticiones por unidad de t se define la frecuencia de una 
función periódica como el recíproco de su período, 
 
 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =
1
𝑇
 
 
También es habitual usar el concepto de frecuencia circular 
 
 𝜔 = 2𝜋 ∙ 𝑓𝑟𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =
2𝜋
𝑇
[
𝑟𝑎𝑑
𝑠𝑒𝑔
] 
 
Serie de Fourier 
Las funciones de la forma Asen(λt + ∅) se llaman funciones con comportamiento armónico donde A 
es la amplitud y ∅ la fase. 
Una función periódica que satisface ciertas condiciones puede expresarse como la suma de un 
número de funciones seno de diferentes amplitudes, fases y períodos, esto es 
 
𝑓(𝑡) = 𝐴𝑜 + 𝐴1𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + ∅1) + 𝐴2𝑠𝑒𝑛(2𝜔𝑡 + ∅2) + ⋯+ 𝐴𝑛𝑠𝑒𝑛(𝑛𝜔𝑡 + ∅𝑛) + ⋯ 
 
Donde los A
k
 y ∅𝑘 son constantes y 𝜔 es la frecuencia circular de f. 
Llamaremos 𝐴1 sin(𝜔𝑡 + ∅1) primera armónica o modo fundamental y con igual frecuencia 𝜔 que 
la función madre f. 
Un periodo Un periodo 
t 
f(t) 
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Al término 𝐴𝑛 sin(𝑛𝜔𝑡 + ∅𝑛) le llamaremos componente n-ésima armónica y tiene frecuencia 𝑛𝜔 que 
es n veces la del modo fundamental, 𝐴𝑛denota la amplitud de la n-ésima armónica, ∅𝑛 es su 
ángulo de fase que mide el retraso o adelanto de la n-ésima armónica con referencia a una onda 
de seno pura de la misma frecuencia. 
Como 
 
An sen(nωt + ∅n) ≡ (Ancos∅n)sen nωt + (Ansen∅n) cos nωt ≡ bnsennωt + ancosnωt 
 𝑏𝑛 𝑎𝑛 
 
Entonces la expansión de f(t) puede escribirse como: 
 
𝑓(𝑡) =
1
2
𝑎𝑜 +∑𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡 +∑𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔𝑡
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1
 
 
donde 𝑎0 = 2𝐴0 . Esta expansión se llama la expansión en serie de Fourier de la función f(t), y los 
𝑎𝑛 y 𝑏𝑛 los coeficientes de Fourier. 
Antes de proceder a evaluar los coeficientes de Fourier, enunciamos las siguientes integrales, en 
las cuales 𝑇 =
2𝜋
𝜔
 y m, n ∈ 𝑁: 
 
∫ cosnωtdt = {
0 n ≠ 0 
 T n = 0 
d+T
d
 
∫ sennωt dt = 0 ∀n 
d+T
d
 
∫ senmωt sennωtdt = {
 0 m ≠ n
 
T
2
 m = n ≠ 0
d+T
d
 
∫ cosmωt cosnωtdt = {
 0 m ≠ n
 
T
2
 m = n ≠ 0
d+T
d
 
∫ cosmωt sennωtdt = 0 ∀m y n
d+T
d
 
 
Los resultados de estas integrales constituyen las relaciones de ortogonalidad para las funciones 
senos y cosenos y prueban que el conjunto de funciones 
 
{1, 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡, 𝑐𝑜𝑠2𝜔𝑡,⋯ , 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡, 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡, 𝑠𝑒𝑛2𝜔𝑡,⋯ , 𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔𝑡} 
 
es un conjunto ortogonal de funciones en el intervalo 𝑑 ≤ 𝑡 ≤ 𝑑 + 𝑇. La elección de d es arbitraria 
en estos resultados y sólo es necesario integrar sobre un periodo de duración T. 
 
Obtención de los coeficientes de la serie de Fourier 
Para obtener los coeficientes, integramos la serie con respecto a t en el intervalo [𝑑, 𝑑 + 𝑇], 
suponiendo que es posible la integración término a término de la serie, y usando las relaciones de 
ortogonalidad, encontramos que cada término del lado derecho es cero, excepto el término que 
involucra a 𝑎0, 
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∫ f(t)dt =
1
2
d+T
d
a0 ∫ dt +
d+T
d
+∑{an ∫ cosnωt dt + bn ∫ sennωt dt
d+T
d
d+T
d
} =
∞
n=1
 
 
=
1
2
a0 ∙ 𝑇 +∑[an ∙ 0 + bn ∙ 0] =
1
2
𝑎0 ∙ 𝑇
∞
𝑛=1
 
 
 
1
T
∫ f(t)dt =
1
2
d+T
d
a0 ⇒ 
1
2
a0 =
1
T
∫ f(t)dt
d+T
d
 
 
podemos ver que el término constante 
1
2
𝑎0 en la expansión en serie de Fourier representa el valor 
promedio de la función f sobre un periodo. 
 
Para obtener el coeficiente de Fourier 𝑎𝑛 (𝑛 ≠ 0), multiplicamos la serie término a término por 
𝑐𝑜𝑠𝑚𝜔𝑡 e integramos con respecto a t sobre el periodo 𝑡 = 𝑑 a 𝑡 = 𝑑 + 𝑇 obteniendo: 
 
∫ f(t)cosmωtdt
d+T
𝑑
=
1
2
a0 ∫ cosmωt dt
d+T
𝑑
+∑an ∫ cosnωt cosmωt dt
d+T
𝑑
+ ∫ cosmωt sennωt dt
d+T
𝑑
∞
n=1
 
 
Integrando término a término, encontramos que cuando 𝑚 ≠ 0 la única integral distinta de cero del 
lado derecho es la que aparece en la primera sumatoria cuando 𝑛 = 𝑚. Entonces, tenemos 
 
∫ f(t)cosmωtdt =
d+T
d
am∫ cosmωt cosmωt dt
d+T
d
=
1
2
amT 
 
Obteniendo 
am =
2
T
∫ f(t)cosmωt dt
d+T
d
 
 
que, reemplazando m por n, obtenemos 
 
an =
2
T
∫ f(t)cosnωt dt
d+T
d
 
 
El valor de 𝒂𝟎 puede obtenerse de esta última ecuación tomando 𝒏 = 0, de manera que podemos 
escribir 
 
an =
2
T
∫ f(t)cosnωt dt n = 0, 1, 2…
d+T
d
 
 
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Para obtener el coeficiente de Fourier 𝑏𝑛 , multiplicamos la serie por 𝑠𝑒𝑛𝑚𝜔𝑡 e integramos con 
respecto a t sobre el periodo 𝑡 = 𝑑 𝑎 𝑡 = 𝑑 + 𝑇 obteniendo 
 
∫ f(t)senmωt dt
d+T
𝑑
=
1
2
a0 ∫ senmωt dt
d+T
𝑑
+∑an ∫ senmωt cosnωt dt
d+T
𝑑
+
∞
n=1
∑bn ∫ senmωt sennωt dt
d+T
𝑑
∞
n=1
 
 
Encontramos que la única integral distinta de cero del lado derecho es la que aparece en la 
segunda sumatoria cuando 𝑚 = 𝑛, tenemos: 
 
∫ f(t)senmωtdt =
d+T
d
bm∫ senmωt
d+T
d
 senmωt dt =
1
2
bmT 
 
Reemplazando m por n 
 bn =
2
T
∫ f(t)sen nωt
d+T
d
dt n = 1, 2, 3, …. 
 
Las ecuaciones que dan los coeficientes de Fourier (a
n 
y b
n
) se conocen como las fórmulas de Euler. 
 
 
En resumen: 
Una función periódica 𝑓(𝑡) de periodo 𝑇 = 2𝜋 𝜔⁄ puede expresarse como una serie de Fourier dada 
por 
 
f(t) =
1
2
a0 +∑ancos nωt
∞
n=1
+∑bnsen nωt
∞
n=1
 
 
Donde los coeficientes están dados por las fórmulas de Euler: 
 
an =
2
T
∫ f(t)cosnωt dt n = 0, 1, 2,… ,
d+T
d
bn =
2
T
∫ f(t)sennωt dt n = 1, 2,… 
d+T
d
 
 
 
 
Funciones de periodo 𝟐𝛑 
Sea f una función periódica de periodo 𝑇 = 2𝜋 entonces 𝜔 = 1, y la serie de Fourier es: 
 
f(t) =
1
2
a0 +∑ancos nt
∞
n=1
+∑bnsen nt
∞
n=1
 
 
 
 
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f(t) 
con los coeficientes dados por: 
 
an =
1
π
∫ f(t)cosnt dt n = 0, 1, 2,… , bn =
1
π
∫ f(t)sennt dt n = 1, 2, … 
d+2π
d
 
d+2π
d
 
 
 
Ejemplo 1: 
 Encontrar la serie de Fourier asociada a 𝑓/𝑓(𝑡) = {
0 − 𝜋 < 𝑡 < 0
𝑘 0 < 𝑡 < 𝜋
 𝑓(𝑡 + 2𝜋) = 𝑓(𝑡) ∀𝑡 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2: Gráfica de la función f(t) y su extensión periódica 
 
La serie de Fourier asociada a 𝑓 es: 
 
𝑓(𝑡) =
1
2
𝑎0 +∑𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑡
∞
𝑛=1
+∑𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛 𝑛𝑡
∞
𝑛=1
 con 𝑇 = 2𝜋,𝜔 = 1 
 
⇒ 𝑎0 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑡) 𝑑𝑡 = 
1
𝜋
[ ∫ [0 ∙ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑘𝑑𝑡
𝜋
0
] 
0
−𝜋
] =
1
𝜋
 𝑘(𝜋 − 0) = 𝑘
𝜋
−𝜋
 
 
𝑎𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡𝑑𝑡 =
1
𝜋
∫ 𝑘𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
=
𝑘
𝜋
(
𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡
𝑛
)|
𝜋
0
= 0 , 𝑛 = 1, 2, … 
𝜋
−𝜋
 
 
𝑏𝑛 =
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑘𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡 𝑑𝑡
𝜋
0
=
𝑘
𝜋
(−
𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡
𝑛
)|
𝜋
0
= −
𝑘
𝜋
(𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 − 1) = {
0 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟
2𝑘
𝑛𝜋
 𝑠𝑖 𝑛 𝑒𝑠 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
 
𝜋
0
 
 
𝑓(𝑡) =
𝑘
2
+∑
2𝑘
(2𝑛 − 1)𝜋
𝑠𝑒𝑛(2𝑛 − 1)𝑡
∞
𝑛=1
=
𝑘
2
+
2𝑘
𝜋
∑
𝑠𝑒𝑛(2𝑛 − 1)𝑡
(2𝑛 − 1)
∞
𝑛=1
= 
 
=
𝑘
2
+
2𝑘
𝜋
(𝑠𝑒𝑛𝑡 +
𝑠𝑒𝑛3𝑡
3
+
𝑠𝑒𝑛5𝑡
5
+
𝑠𝑒𝑛7𝑡
7
+ ⋯) 
 
k 
 -3π -2π - π π 2π 3π t 
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f(t)
y 
Ejemplo 2: 
Una función 𝑓(𝑡) de periodo 4, esto es 𝑓(𝑡 + 4) = 𝑓(𝑡) está definida en el rango −2 < 𝑡 < 2 por 
 
𝑓(𝑡) = {
 0, −2 < 𝑡 < 0
1, 0 < 𝑡 < 2
 
 
Dibuja la gráfica de 𝑓 y obtiene la expansión en serie de Fourier de la función 
Solución: 
T =
2π
ω
⇒ ω =
2π
T
=
2π
4
=
π
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 3: Gráfica de la función f(t) y su extensión periódica 
 
 
a0 =
1
2
∫ f(t)dt =
1
2
(∫ 0 ∙ dt
0
−2
+∫ 1 ∙ dt
2
o
) = 1
2
−2
 
 
an =
1
2
∫ f(t)cosnωtdt =
2
4
(∫ 0 ∙ dt
0
−2
+∫ 1 ∙ cos (
1
2
nπt) dt
2
o
) =
1
2
2
−2
∫ 1 ∙ cos (
1
2
nπt) dt
2
o
= 0 
 
 
bn =
1
2
∫ f(t)sennωtdt =
2
4
(∫ 0 ∙ dt
0
−2
+∫ 1 ∙ sen (
1
2
nπt) dt
2
o
) =
1
nπ
(1 − cosnπ)
2
−2
=
1
nπ
[1 − (−1)n]
= {
0, n par
2
nπ
, n impar
 
 
⇒ f(t) =
1
2
+
2
π
∑
1
n
∞
n impar
sen
1
2
nπt =
1
2
+
2
π
[sen
π
2
t +
1
3
sen
3
2
πt +
1
5
sen
5
2
πt + ⋯] 
 
 
 
 
 
 
1 
 -6 -4 - 2 2 4 6 t 
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Series de Fourier de funciones pares e impares 
Funciones pares e impares 
 Si f(t) es una función par entonces 𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡) ∀𝑡. La gráfica de la función es simétrica 
con respecto al eje vertical o eje de ordenadas, como se muestra en la Figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si f es integrable, f función par, entonces 
∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 2∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡
𝑎
0
𝑎
−𝑎
 
 
 Si f(t) es una función impar entonces 𝑓(𝑡) = −𝑓(−𝑡) ∀𝑡 y la gráfica de la función es 
simétrica con respecto al origen de coordenadas, esto es, hay una simetría de cuadrante 
opuesto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con respecto a la integración, si f(t) es una función impar entonces 
 
∫𝑓(𝑡)𝑑𝑡 = 0
𝑎
−𝑎
 
 
Propiedades 
a) El producto de dos funciones pares es una función par 
b) El producto de dos funciones impares es par 
c) El producto de una función impar y una par es una función impar 
 
 
 
Figura 4: Gráfica de una función par 
Figura 5: Gráfica de una función impar 
f(t) 
t 
- a 
a 
- a a t 
f(t) 
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Sea f(t) una función periódica de periodo T = 2L, entonces la serie de Fourier asociada a f es: 
 
f(t) =
1
2
ao +∑[ancos (
nπ
L
) t + bnsen (
nπ
L
) t]
∞
n=1
 
Donde, 
an =
1
L
∫ f(t)cos (
nπ
L
) tdt n = 0, 1, 2…
L
−L
 y bn =
1
L
∫ f(t)sen (
nπ
L
) tdt
L
−L
 
 
Así, se tiene que: 
 Cuando f es par, al calcular los coeficientes 𝑎𝑛 las funciones a integrar, 𝑓(𝑡) 𝑦 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋
𝐿
) son 
funciones pares, sin embargo, al calcular los coeficientes 𝑏𝑛 las funciones a integrar son impares 
porque son producto de f(t) par y 𝑠𝑒𝑛 (
𝑛𝜋
𝐿
) impar; resulta 
 
an =
2
L
∫ f(t)cos (
nπ
L
)
L
0
dt n = 0, 1, 2, … bn = 0 
 
y por lo tanto la serie de Fourier obtenida es una Serie de Fourier de cosenos de la forma 
 
f(t) =
1
2
 a0 +∑ancos (
nπ
L
) 
∞
n=1
 
 
 Cuando f es impar, al calcular 𝑎𝑛 , producto de las funciones a integrar, 𝑓(𝑡) 𝑦 𝑐𝑜𝑠 (
𝑛𝜋
𝐿
), es 
impar; para 𝑏𝑛, las funciones a integrar son impares, resulta: 
 
an = 0 bn =
2
L
∫ f(t)sen (
nπ
L
)
L
0
dt 
 
y por lo tanto la serie de Fourier obtenida es una Serie de Fourier de senos de la forma 
 
f(t) = ∑bncos (
nπ
L
)
∞
n=1
 
En resumen: 
 
 
 
 
 
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 Si f es par 
⇒ f(t) =
1
2
a0 +∑ancos (
nπ
L
)
∞
n=1
, con an =
4
T
∫ f(t)cosnωtdt
T 2⁄
0
 
 
 Si f impar 
⇒ f(t) = ∑bnsen (
nπ
L
)
∞
n=1
, con bn =
4
T
∫ f(t)sennωtdt
T 2⁄
0
 
 
 
 
Ejemplo 3: 
Una función periódica f con periodo 2π está por: 𝑓(𝑡) = {
−1 − 𝜋 < 𝑡 < 0
1 0 < 𝑡 < 𝜋
 
Encuentre su expansión en serie de Fourier. 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 6: Gráfica de la función f(t) 
 
La función f(t) es impar, su expansión en la serie de Fourier consiste en los términos con senos 
solamente. Como 𝑇 = 2𝜋, 𝜔 = 1, la expansión en serie de Fourier está dada por: 
 
f(t) = ∑bnsen (
nπ
L
)
∞
n=1
, con bn =
4
T
∫ f(t)sennωtdt
T 2⁄
0
 
 
𝑏𝑛 = 
4
2𝜋
∫ 1 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑡 𝑑𝑡 
𝜋
0
= 
2
𝜋
 (−
1
𝑛
𝑐𝑜𝑠𝑛𝑡|
0
𝜋
 = 
2
𝑛𝜋
(1 − 𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋) = 
2
𝑛𝜋
[1 − (−1)𝑛] = {
(
4
𝑛𝜋
) 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 
0 𝑛 𝑝𝑎𝑟
 
 
La expansión en serie de Fourier de f(t) es 
𝑓(𝑡) =
4
𝜋
(𝑠𝑒𝑛𝑡 +
1
3
𝑠𝑒𝑛3𝑡 +
1
5
𝑠𝑒𝑛5𝑡 + ⋯) =
4
𝜋
∑
𝑠𝑒𝑛(2𝑛 − 1)𝑡
2𝑛 − 1
∞
𝑛=1
 
 
 
1 
-1 
 -3π -2π - π π 2π 3π x 
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Convergencia de la Serie de Fourier 
Condiciones de Dirichlet- Fenómeno de Gibbs 
 
Hasta ahora no consideramos la pregunta de si es o no la serie de Fourier obtenida una 
representación válida de la función periódica 𝑓. 
Vamos a establecer un conjunto de condiciones que nos aseguren que 𝑓(𝑡) tiene una expansión en 
Serie de Fourier convergente. Estas condiciones son las condiciones de Dirichlet: 
 
Si f(t) es una función periódica acotada que en cualquier periodo tiene: 
 Un número finito de máximos y mínimos aislados, y 
 Un número finito de puntos de discontinuidad finita 
 
entonces la expansión en serie de Fourier de 𝑓(𝑡) converge a 𝑓(𝑡) en todos los puntos donde 𝑓(𝑡) 
es continua y al promedio de los límites por la derecha y por la izquierda de 𝑓(𝑡) en los puntos 
donde 𝑓(𝑡) es discontinua. 
Las condiciones de Dirichlet son suficientes para asegurar que una expansión en serie de Fourier 
de 𝑓(𝑡) existe. Sin embargo, no son condiciones necesarias para la convergencia, y no se puede 
concluir que una representación en serie de Fourier no existe si no se satisfacen estas 
condiciones. 
Veamos el ejemplo 3, en el cual la serie de Fourier fue obtenida como una representación de la 
onda cuadrada. Como es una serie infinita, no es posible dibujar la gráfica del resultado. Sin 
embargo, considerando sumas parciales finitas, es posible dibujar las gráficas de las 
aproximaciones de las series. Denotando con 𝑓𝑁(𝑡) la suma de los N primerostérminos de la serie 
infinita: 
 
𝑓𝑁(𝑡) =
4
𝜋
∑
𝑠𝑒𝑛(2𝑛 − 1)𝑡
2𝑛 − 1
𝑁
𝑛=1
 
 
Las gráficas de 𝑓𝑁(𝑡) para N=1,2,3…son como se muestran en la Figura 7. 
Se observa que en los puntos donde f es continua la aproximación de 𝑓 por 𝑓𝑁(𝑡) mejora conforme 
N crece, confirmando que la serie converge a f en todos esos puntos y en los puntos de 
discontinuidad de 𝑓 la serie converge al promedio de la discontinuidad, que en este ejemplo es 
−1+1
2
= 0 
 
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Figura 7: Gráficas de 𝑓𝑁(𝑡) para N=1,2,3,4,5,6 
 
Observamos, también que la convergencia de la serie de Fourier es más lenta cerca de un punto de 
discontinuidad, tal como lo que sucede en 𝑡 = 0. A pesar de que la serie converge al valor 
promedio de la discontinuidad en 𝑡 = 0, hay un salto hacia abajo justo a la izquierda de 𝑡 = 0, esto 
es en 𝑡 = 0−, y un salto hacia arriba justo a la derecha de 𝑡 = 0, es decir en 𝑡 = 0+. Esta 
convergencia no suave de la serie de Fourier es debido al incidente de un salto hacia abajo y uno 
hacia arriba en los puntos de discontinuidad de f(t) es una característica de todas las series de 
Fourier que representan funciones discontinuas, no solo de la onda cuadrada del ejemplo, y se 
conoce como el fenómeno de Gibbs. La magnitud de los saltos hacia arriba/abajo no disminuye 
conforme 𝑁 → ∞, sino que tiende a un pico. Es importante reconocer la existencia de este 
fenómeno ya que en ciertas aplicaciones prácticas estos picos en las discontinuidades tienen que 
ser suprimidos usando factores suavizantes apropiados. 
 
 
Funciones definidas sobre un intervalo finito 
Uno de los requerimientos del Teorema de Fourier es que la función que se desea expandir debe 
ser periódica. Por tanto, una función f(t) que no es periódica no puede tener una representación en 
serie de Fourier que converja a ella para todo valor de t. Sin embargo, podemos obtener una 
expansión en serie de Fourier que represente a una función no periódica f(t) que esté definida sólo 
sobre un intervalo de tiempo finito 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏. Son posibles varias representaciones en serie de 
Sumas S
1
, S
2
, S
3
, S
4
, S
5
, S
6
 
Fenómeno de Gibbs 
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Fourier de f(t), válidas sólo en el intervalo 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏 , incluyendo series que consistan sólo de 
términos con cosenos o series que consistan sólo de términos con senos. 
 
Series de recorrido completo 
Supongamos que la función 𝑓(𝑡) está definida sólo en el intervalo finito de tiempo 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏. 
Entonces para obtener una representación en serie de Fourier de recorrido completo de 𝑓(𝑡), es 
decir una serie que consiste en términos con cosenos y senos, definimos la extensión periódica 
𝜑(𝑡) de 𝑓(𝑡) por: 
 
𝜑(𝑡) = 𝑓(𝑡) 0 < 𝑡 < 𝜏 
𝜑(𝑡 + 𝜏) = 𝜑(𝑡) 
 
 
Ejemplo 4: 
Encuentre la expansión en serie de Fourier de recorrido completo de 𝑓(𝑡) = 𝑡, válida en el 
intervalo finito 0 < 𝑡 < 4. Dibuje las gráficas de f(t) y de la función periódica representada por la 
serie de Fourier obtenida. 
 
Solución: 
Definimos la función periódica 
𝜑(𝑡) = 𝑓(𝑡) = 𝑡 0 < 𝑡 < 4 
𝜑(𝑡 + 4) = 𝜑(𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 8: Gráfica de la función 𝑓(𝑡) y su función periódica 
 
Tomamos T=4 y los coeficientes de Fourier están determinados como: 
 
T =
2π
ω
⇒ ω =
2π
T
=
2π
4
=
π
2
 
 
a0 =
2
4
∫ t dt =
𝑡2
4
|
0
4
= 4
4
0
, an =
1
2
∫ t cosn
𝜋
2
t dt = 0
4
0
 
 
T=4 
4 t 
 
f(t) 
 -8 -4 4 8 12 t 
 
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Ing. Adriana M. Apaza Prof. Adj. 
 
bn =
1
2
∫ t senn
𝜋
2
tdt = −
4
𝑛𝜋
4
0
 
 
𝑓(𝑡) = 2 −
4
𝜋
(𝑠𝑒𝑛
1
2
𝜋𝑡 +
1
2
𝑠𝑒𝑛𝜋𝑡 +
1
3
𝑠𝑒𝑛
3
2
𝜋𝑡 +⋯) = 2 −
4
𝜋
∑
1
𝑛
𝑠𝑒𝑛
1
2
𝑛𝜋𝑡
∞
𝑛=1
 
 
 
Series del seno y del coseno de medio recorrido 
Para una función f definida sólo sobre un intervalo finito 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏 , su extensión periódica par F 
es la función periódica par definida por 
 
𝐹(𝑡) {
𝑓(𝑡) 0 < 𝑡 < 𝜏
𝑓(−𝑡) − 𝜏 < 𝑡 < 0
 𝐹(𝑡 + 2𝜏) = 𝑓(𝑡) 
 
Para una función f definida sólo sobre un intervalo finito 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜏, su extensión periódica impar G 
es la función periódica impar definida por 
 
𝐺(𝑡) {
𝑓(𝑡) 0 < 𝑡 < 𝜏
−𝑓(−𝑡) − 𝜏 < 𝑡 < 0
 𝐺(𝑡 + 2𝜏) = 𝐺(𝑡) 
 
Ejemplo 5: 
Para la función 𝑓(𝑡) = 𝑡 válida en el intervalo finito 0 < 𝑡 < 4. Obtener 
a) Una expansión en serie de medio recorrido en cosenos. 
b) Una expansión en serie de medio recorrido en senos 
Dibuje las gráficas de f(t) y de las funciones periódicas representadas por las dos series obtenidas. 
 
Solución: 
a) Definimos la función periódica F por 
 
𝐹(𝑡) {
𝑓(𝑡) = 𝑡 0 < 𝑡 < 𝜏
𝑓(−𝑡) = −𝑡 − 𝜏 < 𝑡 < 0
 
 
𝐹(𝑡 + 8) = 𝐹(𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 9: Gráfica de la función f(t) y su expansión par 
 
T=8 
4 t 
 
-4 4 t 
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𝐹(𝑡) es una función periódica par con periodo 8, y tiene una expansión en serie de Fourier: 
 
a0 =
2
4
∫ t dt =
𝑡2
4
|
0
4
= 4
4
0
 
 
 an =
1
2
∫ t cosn
𝜋
4
t dt =
4
0
1
2
[
4𝑡
𝑛𝜋
𝑠𝑒𝑛
1
4
𝑛𝜋𝑡 +
16
(𝑛𝜋)2
𝑐𝑜𝑠
1
4
𝑛𝜋𝑡]
4
0
=
8
(𝑛𝜋)2
(𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 − 1)
= {
0 𝑛 𝑝𝑎𝑟
−
16
(𝑛𝜋)2
 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
 
 
Entonces, la expansión en serie de Fourier de F(t) es: 
 
𝐹(𝑡) = 2 −
16
𝜋2
(𝑐𝑜𝑠
1
4
𝜋𝑡 +
1
32
𝑐𝑜𝑠
3
4
𝜋𝑡 +
1
52
𝑐𝑜𝑠
5
4
𝜋𝑡 +⋯) = 2 −
16
𝜋2
∑
1
(2𝑛 − 1)2
𝑐𝑜𝑠
1
4
(2𝑛 − 1)𝜋𝑡
∞
𝑛=1
 
 
b) Definimos la función periódica G por 
 
𝐺(𝑡) {
𝑓(𝑡) = 𝑡 0 < 𝑡 < 4
−𝑓(−𝑡) = 𝑡 − 4 < 𝑡 < 0
 G(𝑡 + 8) = 𝐺(𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 10: Gráfica de la función f(t) y su expansión impar 
 
𝑓(𝑡) es una función periódica par con periodo 8, y tiene una expansión en serie de Fourier: 
 
bn =
1
2
∫ t senn
𝜋
4
tdt =
1
2
[−
4𝑡
𝑛𝜋
𝑐𝑜𝑠
1
4
𝑛𝜋𝑡 +
16
(𝑛𝜋)2
𝑠𝑒𝑛
1
4
𝑛𝜋𝑡]
4
0
= −
8
𝑛𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑛𝜋 =
4
0
−
8
𝑛𝜋
(−1)𝑛 
 
Entonces, la expansión en serie de Fourier de G(t) es: 
 
𝑓(𝑡) =
8
𝜋
(𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
𝑡 −
1
2
𝑠𝑒𝑛
1
2
𝜋𝑡 +
1
3
𝑠𝑒𝑛
3𝜋
4
𝑡 −
1
5
𝑠𝑒𝑛
5
4
𝜋𝑡 +⋯) =
8
𝜋
∑
(−1)𝑛+1
𝑛
𝑠𝑒𝑛
1
4
𝑛𝜋𝑡
∞
𝑛=1
 
 
-4 4 t 
 
4 t 
 
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Forma compleja de la serie de Fourier 
Es una alternativa a la forma trigonométrica de la serie de Fourier. 
 
Dada 
f(t) =
1
2
a0 +∑ancosnωt
∞
n=1
+∑bnsennωt
∞
n=1
 
 con 
 
a0 =
2
T
∫ f(t)dt
d+T
d
 an =
2
T
∫ f(t)cosnwtdt 
d+T
d
bn =
2
T
∫ f(t)sennwtdt
d+T
d
 
 
que representa una función periódica f(t) de periodo 𝑇 =
2𝜋
𝜔
 . 
Para desarrollar la forma compleja de la serie de Fourier, procedemos como sigue: reemplazando 
en la serie de Fourier las definiciones de 
 
sennωt =
einωt−e−inωt
2i
 cosnωt=
einωt+e−inωt
2
 
 
f(t) =
1
2
a0 +∑an
∞
n=1
(einωt + e−inωt)
2
+∑bn
∞
n=1
(einωt − e−inωt)
2i
 
=
1
2
a0 +∑
an
2
(einωt + e−inωt)
∞
n=1
+∑
bni
2i ∙ i
∞
n=1
(einωt − e−inωt) 
=
1
2
a0 +∑
an
2
(einωt + e−inωt)
∞
n=1
−∑
bni
2
∞
n=1
(einωt − e−inωt) 
 
 
f(t) =
1
2
a0 +∑
(an − ibn)
2
einωt
∞
n=1
+∑
(an + ibn)
2
∞
n=1
e−inωt 
 C
n
 C
-n
 
 
Llamando c0 =
a0
2
 , cn =
an−ibn
2
 , c−n =
an+ibn
2
 , reemplazando nos queda 
 
⇒ f(t) = c0+∑cne
inωt +∑c−1e
−inωt
∞
n=1
= c0 +∑cne
inωt
∞
n=1
+ ∑ cne
inωt
−∞
n=−1
∞
n=1
 
 
⇒ f(t) = ∑ cne
−iωt
∞
n=−∞
 
 
que se conoce como la forma compleja o exponencial de la expansión en serie de Fourier de la 
función f(t). 
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Es necesario obtener una fórmula para calcular los coeficientes complejos 𝑐𝑛, para hacer esto, 
incorporamos las fórmulas de Euler en las definiciones de 𝑐𝑛. 
 
c0 =
a0
2
=
1
T
∫ f(t)dt
d+T
d
 
 
cn =
an − ibn
2
=
2
2T
[∫ f(t)cosnωtdt
d+T
d
− i ∫ f(t)sennωtdt
d+T
d
] =
1
T
∫ f(t)(cosnωt − isennωt)dt
d+T
d
 
 
⇒ cn =
1
T
∫ f(t)e−inωtdt
d+T
d
 
c−n =
an + ibn
2
=
2
2T
[∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡
𝑑+𝑇
𝑑
+ i ∫ f(t)sennωtdt
d+T
d
] =
1
T
∫ f(t)(cosnωt + isennωt)dt
d+T
d
 
 ⇒ c−n =
1
T
∫ f(t)einωtdt
d+T
d
 
 
La forma compleja de la expansión en serie de Fourier de una función periódica f(t), de periodo T, 
es 
 
f(t) = ∑ cne
inωt
+∞
n=−∞
 con cn =
1
T
∫ f(t)e−inωtdt (n = 0,±1,±2,…
d+T
d
) 
 
En general los coeficientes cn (n = 0,±1,±2,… ) son complejos y pueden expresarse en la forma 
𝑐𝑛 = |𝑐𝑛|𝑒
−𝑖∅𝑛 donde |𝑐𝑛| es la magnitud de 𝑐𝑛, y se obtiene de la definición de 
 
cn =
an − ibn 
2
 ⇒ |cn| = √(
1
2
𝑎𝑛)
2
+ (
1
2
𝑏𝑛)
2
=
1
2
√𝑎𝑛
2 + 𝑏𝑛
2
 
 
De modo que 2|cn| es la amplitud de la n-ésima armónica. 
Se puede regresar a la forma trigonométrica, ya que de las expresiones de cn =
an−ibn
2
 y 
 c−n =
an+ibn
2
, obtenemos los coeficientes: 
 
𝑎0 = 2𝑐0 , 𝑎𝑛 = 𝑐𝑛 + 𝑐−𝑛, y 𝑏𝑛 = 𝑖(𝑐𝑛 − 𝑐−𝑛) 
 
 
 
 
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Ejemplo 6: 
Encuentre la forma compleja de la expansión en serie de Fourier de la función periódica 
f(t) = |cos
t
2
| , (−π < t < π), f(t + 2π) = f(t) 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
 
El periodo de f(t) es 𝑇 = 2𝜋 𝑦 𝜔 =
2𝜋
𝑇
=
2𝜋
2𝜋
= 1. Los coeficientes complejos 𝑐𝑛 están dados por: 
 
cn =
1
2π
∫ cos (
t
2
) e−intdt
π
−π
=
1
2π
∫(
ei
t
2 + e−i
t
2
2
)e−intdt =
1
4π
∫ (ei
t
2e−int + e−i
t
2e−int)dt =
π
−π
π
−π
 
 
=
1
4π
∫ [e−i
t
2
(2n−1) + e−i
t
2
(2n+1)]
π
−π
dt =
1
4π
[
e−i
t
2
(2n−1)
− i
2
(2n − 1)
+
e−i
t
2
(2n+1)
− i
2
(2n + 1)
]
π
−π
= 
 
= −
2
4πi
[
e−i
π
2
(2n−1)
2n − 1
+
e−i
π
2
(2n+1)
2n + 1
−
ei
π
2
(2n−1)
2n − 1
−
ei
π
2
(2n+1)
2n + 1
] = 
 
=
i
2π
[
e−iπnei
π
2
2n − 1
+
e−iπne−i
π
2
2n + 1
−
eiπne−i
π
2
2n − 1
−
eiπnei
π
2
2n + 1
] 
 
 Ahora 
eiπn = cosnπ + isennπ = (−1)n e−iπn = cosnπ − isennπ = (−1)n 
ei
π
2 = cos
π
2
+ isen
π
2
= i e−i
π
2 = cos
π
2
− isen
π
2
= −i 
 
Reemplazando, nos queda: 
=
i
2π
[
(−1)ni
2n − 1
+
(−1)n(−i)
2n + 1
−
(−1)n(−i)
2n − 1
−
(−1)ni
2n + 1
] =
i
2π
(−1)n [
2i
2n − 1
−
2i
2n + 1
] 
 
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
-12 -7 -2 3 8 -2𝜋 -𝜋 𝜋 2𝜋 
Figura 11: Gráfica de 𝑓(𝑡) = |𝑐𝑜𝑠
𝑡
2
| 
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=
i
2π
(−1)n [
2i(2n + 1) − 2i(2n − 1)
(2n − 1)(2n + 1)
] =
(−1)ni
π
∙
2i
(4n2 − 1)
= −
2(−1)n
(4n2 − 1)π
 
 
entonces, la expansión en serie de Fourier compleja de f(t) es: 
 
f(t) = ∑ [−
2(−1)n
(4n2 − 1)π
] einωt
+∞
n=−∞
 
 
Espectro de frecuencia discreta 
Al expresar una función periódica 𝑓 mediante su expansión en serie de Fourier estamos 
descomponiendo a la función en sus componentes armónicas o de frecuencia. 
Si 𝑓 tiene periodo T entonces tiene componentes de frecuencia a las frecuencias 
𝑤𝑛 =
𝑛2𝜋
𝑇
= 𝑛𝑤0 𝑛 = 1,2,3… , donde w
0
 es la frecuencia de la función 𝑓(𝑡). 
Entonces, una serie de Fourier puede ser interpretada como el espectro de frecuencias de la 
función periódica 𝑓 y proporciona una representación alternativa de la función. Este espectro de 
frecuencias se representa dibujando las gráficas de las amplitudes y las fases de las diversas 
componentes armónicas versus la frecuencia angular 𝑤𝑛. La gráfica de la amplitud contra la 
frecuencia angular se denomina espectro de amplitud mientras que la gráfica de fase contra 
frecuencia angular se conoce como espectro de fase. 
Para una función periódica 𝑓 de periodo T las componentes armónicas sólo aparecen en 
frecuencias discretas 𝑤𝑛, por lo que estos espectros se conocen como espectros de frecuencias 
discretas o espectros de líneas. 
Si la expansión en serie de Fourier de una función periódica 𝑓 de periodo T se obtuvo en la forma 
trigonométrica: 
 
𝑓(𝑡) =
1
2
𝑎𝑜 +∑𝑎𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔𝑡 +∑𝑏𝑛𝑠𝑒𝑛𝑛𝜔𝑡
∞
𝑛=1
∞
𝑛=1
 
 
esto puede expresarse en términos de sus distintas componentes armónicas como: 
 
𝑓(𝑡) = 𝐴𝑜 +∑𝐴𝑛𝑠𝑒𝑛 (
𝑛2𝜋𝑡
𝑇
+ ∅𝑛)
∞
𝑛=1
 
 
donde 𝐴0 =
1
2
𝑎𝑜 , 𝐴𝑛 = √𝑎𝑛
2 + 𝑏𝑛
2 y las ∅𝑛 están determinadas por 𝑠𝑒𝑛∅𝑛 =
𝑏𝑛
𝐴𝑛
, 𝑐𝑜𝑠∅𝑛 =
𝑎𝑛
𝐴𝑛
 
 
La gráfica de 𝐴𝑛 versus 𝜔𝑛, constituye el espectro de amplitud y el de ∅𝑛 versus 𝜔𝑛 el espectro de 
fase. Estos pueden incorporarse en la misma gráfica al indicar las diversas fases en el espectro de 
amplitud, como se muestra en la figura 
 
 
 
 
 
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∅2 
∅1 
∅3 
∅4 ∅5 
𝜔0 2𝜔0 3𝜔0 4𝜔0 5𝜔0 
Amplitud 𝐴𝑛 
𝐴0 𝐴1 𝐴2 𝐴3 𝐴4 𝐴5 
Frecuencia 𝜔𝑛 
 
 
 
 ⨯ 
 ⨯ 
 ⨯ 
 ⨯ 
 
 
 
 
 
 
 
 ⨯ 
 ⨯ ⨯ 
 ⨯ ⨯ 
 ⨯ ⨯ 
 ⨯ ⨯ 
 ⨯ ⨯ 
 
 
 
Figura 13: Forma compleja del espectro de amplitud 
 
Al trabajar en análisis de señales es más común usar la forma compleja de la serie de Fourier. 
La forma compleja de la expansión en serie de Fourier de una función periódica f, de periodo T, es 
 
f(t) = ∑ cne
inωt
+∞
n=−∞
 con cn =
1
T
∫ f(t)e−inωtdt (n = 0,±1,±2,…
d+T
d
)con los coeficientes complejos dados por 𝑐𝑛 = |𝑐𝑛|𝑒
−𝑖∅𝑛 (𝑛 = 0,±1,±2,±3,… ) donde |𝑐𝑛| 𝑦 ∅𝑛 
denotan la magnitud y el argumento de cn respectivamente. Como en general 𝑐𝑛 es una cantidad 
compleja, necesitamos dos espectros de línea para determinar el espectro de frecuencia discreta; 
el espectro de amplitud es el gráfico de |𝑐𝑛| versus 𝜔𝑛 y el espectro de fase ∅𝑛 versus 𝜔𝑛. 
 
Ejemplo 7: 
Dibuje los espectros de amplitud y fase de la función periódica de periodo 2T 
𝑓(𝑡) =
2𝑡
𝑇
, considere ambas formas compleja y real 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 -4T -2T O 2T 4T 6T t 
 
Figura 12: Espectro de frecuencia discreta real 
-5 𝜔0 -4𝜔0 -3𝜔0 -2𝜔0 -𝜔0 𝜔0 2𝜔0 3𝜔0 4𝜔0 5𝜔0 
|𝑐𝑛| 
𝑐−4 𝑐−3 𝑐−2 𝑐−1 𝑐0 𝑐1 𝑐2 𝑐3 𝑐4 
Frecuencia 𝜔𝑛 
Figura 14: Grafica de 𝑓(𝑡) =
2𝑡
𝑇
 
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-2𝜔0 -𝜔0 𝜔0 2𝜔0 -3𝜔0 -2𝜔0 -𝜔0 𝜔0 2𝜔0 3𝜔0 
Tomamos T=2T ⇒ ω =
2π
2T
=
π
T
 
 
Los coeficientes complejos 𝑐𝑛 están dados por: 
 
cn =
1
2T
∫
2𝑡
𝑇
 e−in
𝜋
𝑇
tdt
2T
0
=
1
𝑇2
[
𝑇𝑡
−𝑖𝑛𝜋
𝑒−𝑖𝑛
𝜋
𝑇
𝑡 −
𝑇2
(𝑖𝑛𝜋)2
𝑒−𝑖𝑛
𝜋
𝑇
𝑡]
0
2𝑇
 𝑛 ≠ 0 
Reemplazando 
 
cn =
1
𝑇2
[−
2𝑇2
𝑖𝑛𝜋
𝑒−𝑖𝑛2𝜋 −
𝑇2
(𝑖𝑛𝜋)2
𝑒−𝑖𝑛2𝜋 +
𝑇2
(𝑖𝑛𝜋)2
] 
 
Pero e−in2π = cosn2π − isen n2π = 1, así 
 
cn =
1
𝑇2
[−
2𝑇2
𝑖𝑛𝜋
−
𝑇2
(𝑖𝑛𝜋)2
+
𝑇2
(𝑖𝑛𝜋)2
] =
1
𝑇2
[−
2𝑇2
𝑖𝑛𝜋
] =
𝑖2
𝑛𝜋
 𝑛 ≠ 0 
 
En el caso particular n = 0 
 
c0 =
1
2T
∫
2𝑡
𝑇
dt
2T
0
=
1
𝑇2
[
𝑡2
2
]
0
2𝑇
= 2 
 
Calculamos |𝑐𝑛|: 
 
|𝑐𝑛| = {
𝑖2
𝑛𝜋
 𝑛 = 1,2,3,…
−
𝑖2
𝑛𝜋
 𝑛 = −1,−2,−3,…
 ∅𝑛 = 𝑎𝑟𝑔𝑐𝑛 {
𝜋
2
 𝑛 = 1, 2, 3,…
−
𝜋
2
 𝑛 = −1,−2,−3,…
 
 
En la figura se muestran los espectros de amplitud y fase correspondientes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 15: Espectros de frecuencia discreta compleja 
 
∅𝑛 
|𝑐𝑛| 
− 
𝜋
2
 
 
 
 
 
𝜋
2
 
 
 
 
 
Frecuencia 𝜔𝑛 
2
𝜋
 
1
𝜋
 
2 
 
 
 
 
 
Frecuencia 𝜔𝑛 
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𝜙4=0 
Los coeficientes de la serie trigonométrica correspondiente son: 
 
𝑎0 = 2𝑐0 = 4 , 𝑎𝑛 = 𝑐𝑛 + 𝑐−𝑛 = 0, y 𝑏𝑛 = 𝑖(𝑐𝑛 − 𝑐−𝑛) = 𝑖 (
2𝑖
𝑛𝜋
+
2𝑖
𝑛𝜋
) = −
4
𝑛𝜋
 
 
de manera que la amplitud de los coeficientes son 
 
𝐴0 = 2, 𝐴𝑛 =
4
𝑛𝜋
 𝑛 = 1,2,3,… 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝜙3=0 
𝜙2=0 
𝜙1=0 
2 
 
4/𝜋 
 
2/𝜋 
1/𝜋 
 
Frecuencia 𝜔𝑛 
Amplitud 𝐴𝑛 
𝜔0 2𝜔0 3𝜔0 4𝜔0 
Figura 16: Espectro de frecuencia real 
discreta 
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TRANSFORMADA DE FOURIER 
La integral de Fourier 
Los métodos de series de Fourier proporcionan una técnica para la representación en el dominio 
de la frecuencia de funciones periódicas. Al expresar una función como su expansión en serie de 
Fourier se descompone la función en sus componentes armónicas o de frecuencia. Así una función 
periódica f de periodo T tiene componentes de frecuencia en frecuencias discretas 
 
𝜔𝑛 =
2𝜋𝑛
𝑇
= 𝑛𝜔0 𝑛 = 0,1,2,3,… 
 
Donde 𝜔0 es la frecuencia fundamental, esto es, la frecuencia de la función original f. En 
consecuencia, podemos interpretar una serie de Fourier como constituida por un espectro de 
frecuencia discreta de una función periódica f, proporcionando así una representación alternativa 
en el dominio de la frecuencia de la función para su forma de onda en el dominio del tiempo. Sin 
embargo, no todas las funciones son periódicas así que necesitamos desarrollar un método que dé 
una representación similar para funciones no periódicas. Una forma de alcanzar esto es observar 
una porción de una función no periódica 𝑓 sobre un intervalo T, imaginando que estamos viendo 
una gráfica de f a través de una “ventana” de longitud T, y después considerar lo que pasa 
conforme T se alarga. 
Si se parte de una función periódica de período T, 𝑓; y se hace que T tienda a infinito, es decir 
𝑓(𝑡) = lim
𝑇→∞
𝑓(𝑡) , entonces la función resultante deja de ser periódica. 
Ilustraremos este proceso empleando un tren de pulsos rectangulares con T = 2L: 
 
 
𝑓(𝑡) =
{
 
 0 𝑠𝑖 − 𝐿 < 𝑡 < −
𝐿
2⁄
1 𝑠𝑖 − 𝐿 2⁄ < 𝑡 <
𝐿
2⁄
0 𝑠𝑖 𝐿 2 ⁄ < 𝑡 < 𝐿
 𝑓(𝑡 + 2𝐿) = 𝑓(𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f (t ) 
 - 3 L -5L/2 -3L/2 -L -L/2 L/2 L 3L/2 5L/2 3L t 
Figura 17: Gráfica de f(t) con T=2L 
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Si T = 4L, obtenemos 
𝑓(𝑡) =
{
 
 0 𝑠𝑖 − 2𝐿 < 𝑡 < −
𝐿
2⁄
1 𝑠𝑖 − 𝐿 2⁄ < 𝑡 <
𝐿
2⁄
0 𝑠𝑖 𝐿 2 ⁄ < 𝑡 < 2𝐿
 𝑓(𝑡 + 4𝐿) = 𝑓(𝑡) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para T=nL, n  ; es decir para T  ; se obtiene: 
 
𝑓(𝑡) = lim
𝑇→∞
𝑓(𝑡) = {
1 𝑠𝑖 − 𝐿 2⁄ < 𝑡 <
𝐿
2⁄
0 𝑑𝑒 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es evidente que 𝑓 es una función no periódica y definida para todos los reales. 
Usando la forma exponencial o compleja de la expansión en serie de Fourier para f(t) una función 
periódica de período T/T = 2L , ω0 =
2π
T
=
π
L
 tenemos: 
 
f(t) = ∑ cne
inωt con cn =
1
T
∫ f(t)e−inωtdt
L
−L
+∞
n=−∞
 
Reemplazando 
 
f(t) =∑
1
T
+∞
−∞
( ∫ f(t)e−inωt
L
−L
dt)einωt 
 
f (t ) 
 -4L -3L -2L -L -L/2 L/2 L 2L 3L 4 L 
t 
fT (t ) 
 -4L -3L -2L -L -L/2 L/2 L 2L 3L 4 L t 
Figura 18: Gráfica de f(t) con T=4L 
Figura 19: Gráfica de f(t) con T   
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Ing. Adriana M. Apaza Prof. Adj. 
 
Si ω0 =
2π
T
 ⇒ 
1
T
=
ω0
2π
 , 
 
f(t) =∑
ω0
2π
+∞
−∞
( ∫ f(v)
T
2⁄
−T 2⁄
e−inω0vdv)einω0t =∑
1
2π
+∞
−∞
( ∫ f(v)
T
2⁄
−T 2⁄
e−inω0vdv)ω0e
inω0t 
 
Reordenando y 
2πn
T
= nω0 = ωn y así la diferencia en la frecuencia entre términos sucesivos es 
∆ω =
2π
T
[(n + 1) − n] =
2π
T
= ω0 
 
⇒ f(t) =∑
1
2π
∫ [f(v)e−iωnv
T
2⁄
−T 2⁄
dv]eiωnt
∞
−∞
∆ωn 
 
Calculando el límite, si 𝑇 → ∞ entonces ∆ω → dω y la sumatoria se convierte en la integral sobre 𝜔 ; 
 
f(t) =
1
2π
∫ [ ∫ f(v)e−iωvdv
∞
−∞
] eiωt
∞
−∞
dω 
 
A esta relación se la conoce como identidad de Fourier y permite definir 
 
F(ω) = ∫ f(t)e−iωt
∞
−∞
dt Transformada de Fourier para 𝑓(𝑡) 
 
f(t) =
1
2π
∫ F(ω)eiωt
∞
−∞
 dω Integral de Fourier para 𝐹(𝜔) 
 
 
Condiciones para la existencia de la integral de Fourier: 
Sila función f es tal que: 
a) Tiene un número finito de discontinuidades en cualquier intervalo finito y tiene derivadas por 
la izquierda y por la derecha en todo punto 
b) Es absolutamente integrable, de manera que 
 
∫|𝑓(𝑡)|𝑑𝑡 < ∞
∞
−∞
 
 
Entonces f puede representarse por medio de una integral 
 
 
 
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Ejemplo 8: 
Encontrar la transformada de Fourier de la función exponencial de un lado 𝑓(𝑡) = 𝐻(𝑡)𝑒−𝑎𝑡 (𝑎 > 0), 
donde 𝐻(𝑡) es la función escalón unitario de Heaviside 
 
Solución: 
 
 𝑓(𝑡) = 𝐻(𝑡)𝑒−𝑎𝑡 = {𝑒
−𝑎𝑡 𝑡 ≥ 0
0 𝑡 < 0
 𝑎 > 0 
 
 𝐻(𝑡) = {
1 𝑠𝑖 𝑡 ≥ 0
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
 
 
 
 
Usando la definición tenemos: 
 
F(ω) = ∫ f(t)e−iωtdt = ∫ e−ate−iωt
∞
0
∞
−∞
dt = ∫ e−(a+iω)tdt =
1
−(a + iω)
lim
M→∞
[e−(a+iω)M − 1]
∞
0
 
 
⇒ F(ω) =
1
(a + iω)
 
 
 
Forma real o trigonométrica de la Integral de Fourier 
Para obtener la forma real o trigonométrica de la Integral de Fourier partimos de la identidad de 
Fourier 
 
f(t) =
1
2π
∫ [ ∫ f(v)e−iωvdv
∞
−∞
] eiωt
∞
−∞
dω =
1
2π
∫ ∫ f(v)e−iω(v−t)
∞
−∞
dv dω
∞
−∞
 
 
f(t) =
1
2π
∫ f(v) ∫ e−iω(v−t)
∞
−∞
∞
−∞
dω dv 
 
Sustituyendo en la última integral e−iω(v−t) = cos[ω(v − t)] − isen[ω(v − t)] 
 
f(t) =
1
2π
∫ f(v) ∫{cos[ω(v − t)] − isen[ω(v − t)]}
∞
−∞
∞
−∞
dω dv 
 
Como sen[ω(v − t)] es una función impar de 𝜔 , esto se reduce 
 
f(t) =
1
2π
∫ f(v) ∫ cos[ω(v − t)]
∞
−∞
∞
−∞
dω dv 
 
se observa que el integrando es una función par de 𝜔, se reduce 
t 
f(t) 
 
 1 
1 
Figura 20: función exponencial “de un lado” 𝐻(𝑡)𝑒−𝑎𝑡 
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f(t) =
1
π
∫ f(v)∫ cos[ω(v − t)]
∞
0
∞
−∞
dω dv 
 
El cos[ω(v − t)] = cosωt cosωv + senωt senωv, y cambiando el orden de integración, la integral nos 
queda 
 
f(t) =
1
π
∫ ∫ f(v) 
∞
−∞
(cosωt cosωv + senωt senωv)
∞
0
dv dω 
 
f(t) =
1
π
∫ [( ∫ f(v)cosωv dv
∞
−∞
) cosωt + ( ∫ f(v)senωv dv
∞
−∞
) senωt] dω
∞
0
 
 
Podemos definir la siguiente forma trigonométrica o real para la integral de Fourier 
 
f(t) =
1
π
∫[A(ω)cosωt + B(ω)senωt]dω
∞
0
 
con 
 
𝐴(𝜔) = ∫ f(v)cosωv dv
∞
−∞
 𝐵(𝜔) = ∫ f(v)senωv dv
∞
−∞
 
 
La función ℱ(𝜔) = ℱ{𝑓(𝑡)} es en general compleja, se tiene ℱ(𝜔) = 𝑅(𝜔) + 𝑖𝐼(𝜔), donde el módulo 
de ℱ(𝜔) se denomina espectro de magnitud de f y el argumento de ℱ(𝜔) es el espectro de fase de 
f. 
La forma real de la Transformada de Fourier es: 
 
ℱ(ω) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡
∞
−∞
𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
∞
−∞
𝑑𝑡 − 𝑖 ∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡 = 𝐴(𝜔) − 𝑖𝐵(𝜔)
∞
−∞
 
 
Ejemplo 9: 
 
Encontrar la representación, por medio de la integral de Fourier de la función f / 
 
 
 1 si x  < 1 
 f (x) = 
 0 si x  > 1 
 
 
 
 
 
𝐴 ( 𝑤 ) = ∫ 𝑓 ( 𝑣 ) 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑣 𝑑 𝑣
∞
−∞
 = 2∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑣 𝑑 𝑣
1
0
 = 2 [
𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑣
 𝑤
]
0
1
 = 2 
𝑠𝑒𝑛 𝑤
𝑤 
 
 
- 1 1 
x 
 
Figura 21: gráfica de f(x) 
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𝐵 ( 𝑤 ) = ∫ 𝑓 ( 𝑣 )𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑣 𝑑 𝑣 
∞
−∞
 = 0 pues 𝑓 ( 𝑣 )𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑣 𝑑 𝑣 es impar 
 
 
𝑓 ( 𝑥 ) = (
2
𝜋
) ∫
 𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑥 
𝑤
∞
−∞
 𝑑 𝑤 = {
 1 𝑠𝑖 |𝑥| < 1
 
(1 + 0)
2
 𝑠𝑖 𝑥 =  1 
0 𝑠𝑖 |𝑥| > 1
 
 
 
Esta integral de Fourier me permite calcular los valores de la siguiente integral, llamada factor 
discontinuo de Dirichlet: 
 
∫
𝑠𝑒𝑛 𝑤 𝑐𝑜𝑠 𝑤 𝑥 𝑑 𝑤 
 𝑤
∞
0
 =
{
 
 
 
 

2
 si |x| < 1
 
4
 𝑠𝑖 𝑥 =  1
0 𝑠𝑖 |𝑥| > 1
 
 
 
 
Si x = 0, obtenemos ∫
𝑠𝑒𝑛 𝑤
𝑤
∞
0
 𝑑 𝑤 =

2
 
 
 
Transformadas de seno y coseno de Fourier: 
 
La transformada de Fourier es 
 
ℱ(ω) = ∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑡
∞
−∞
𝑑𝑡 − 𝑖 ∫ 𝑓(𝑡)𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡𝑑𝑡 = 𝐴(𝜔) − 𝑖𝐵(𝜔)
∞
−∞
 
 
 Si f es una función par, y teniendo en cuenta que la función 𝑓 (𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔 𝑡 es par, mientras 
que 𝑓 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛𝜔𝑡 es impar, obtenemos 
 
𝐴 ( 𝑤 ) = 2 ∫ 𝑓(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑑 𝑡
∞
0
 𝐵 ( 𝜔 ) = 0 
 
 ⇒ 𝐹 ( 𝜔 ) = 𝐴 ( 𝜔 ) 
 
Reemplazando en la expresión obtenida para f real resulta: 
 
f(t) =
2
π
∫ ∫ 𝑓(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑑𝑡
∞
0
dω
∞
0
 
 
Llamamos transformada de cosenos de Fourier de la función f y simbolizamos 𝓕𝒄 (𝝎) o 
 ℱ𝐶 { 𝑓 (𝑡 ) } a: 
 
 ℱ𝐶 {𝑓 (𝑡 )} =
ℱ(𝑤)
2
= ∫ 𝑓(𝑡)𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑡 𝑑𝑡 =
∞
0
𝓕𝒄 (𝝎) 
 
Se define transformada inversa de cosenos de Fourier y simbolizamos ℱ𝐶
−1{𝓕𝒄 (𝝎)} a: 
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 ℱ𝐶
−1{𝓕𝒄 (𝝎)} = 𝑓(𝑡) = (
1
𝜋
) ∫ 2 𝑭𝒄(𝝎) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑥 𝑑𝜔 
∞
0
 
 
ℱ𝐶
−1{𝓕𝒄 (𝝎)} = 𝑓(𝑡) = (
2
𝜋
) ∫ 𝑭𝒄(𝝎) 𝑐𝑜𝑠 𝜔𝑥 𝑑𝜔 
∞
0
 
 
 
 Si f es una función impar, y teniendo en cuenta que 𝑓(𝑡) 𝑐𝑜𝑠 𝑤𝑡 es impar, mientras que 
𝑓 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝑤𝑡 es par, obtenemos 
 
𝐴(𝜔) = 0 , 𝐵(𝜔) = 2∫ 𝑓 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡
∞
0
 
 
⇒ 𝐹 ( 𝜔 ) = − 𝑖 𝐵 ( 𝑤 ) = − 2 𝑖 ∫ 𝑓 (𝑡)𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡
∞
0
 
 
reemplazando 𝐴 (𝑤) y 𝐵(𝑤) en la forma trigonométrica de la integral de Fourier 
 
𝑓 (𝑡) = (
1
𝜋
)∫ (2∫ 𝑓 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡
∞
0
)
∞
0
 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑 𝑤 = (
2
𝜋
)∫ ∫ 𝑓 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡 ) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑤
∞
0
 
∞
0
 
 
 
Llamamos transformada de senos de Fourier de la función f y simbolizamos 
 𝓕𝒔 ( 𝝎 ) o ℱ𝑠 { 𝑓 (𝑡) } a: 
 
𝓕𝒔 { 𝑓 (𝑡)} =
ℱ(𝜔)
2𝑖
 = ∫ 𝑓 (𝑡) 𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑𝑡
∞
0
= ℱ𝑠(𝝎) 
 
Luego definimos transformada inversa de senos de Fourier y simbolizamos ℱ𝑠
−1{𝓕𝒔 (𝝎)} a:ℱ𝑠
−1{𝓕𝒔 (𝝎)} = 𝑓 (𝑡) = (
2
𝜋
)∫ 𝓕𝒔(𝝎) 
∞
0
𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝑑 𝑤 
 
Propiedades de la transformada de Fourier 
 Propiedad de linealidad 
 
Si 𝐹(𝜔) = 𝐹{𝑓(𝑡)} 𝑦 𝐺(𝜔) = 𝐹{𝑔(𝑡)} 𝛼 𝑦 𝛽 son constantes, entonces 
 𝐹{𝛼𝑓(𝑡) + 𝛽𝑔(𝑡)} = 𝛼{𝑓(𝑡)} + 𝛽{𝑔(𝑡)} = 𝛼𝐹(𝑤) + 𝛽𝐺(𝜔) 
 
 Propiedad de derivación con respecto al tiempo 
 
Si ℱ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑤) ⇒ 𝑓(𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔 = ℱ−1{𝐹(𝜔)}
∞
−∞
 
al derivar con respecto a t se obtiene 
 
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𝑑𝑓
𝑑𝑡
=
1
2𝜋
∫ 𝑖𝜔𝐹(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔
∞
−∞
 ⇒ ℱ−1{𝑖𝜔𝐹(𝜔)} =
𝑑𝑓
𝑑𝑡
 
ℱ {
𝑑𝑓
𝑑𝑡
} = 𝑖𝜔𝐹(𝜔) 
 
Repitiendo el argumento n veces, obtenemos 
 
ℱ {
𝑑𝑛𝑓
𝑑𝑡𝑛
} = (𝑖𝜔)𝑛𝐹(𝜔) 
 
 
 Propiedad de corrimiento con respecto al tiempo 
 
Si ℱ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑤) entonces ¿cuál es la versión corrida de 𝑓(𝜏) definida por 𝑔(𝑡) = 𝑓(𝑡 − 𝜏)? 
De la definición 
 
ℱ{𝑔(𝑡)} = ∫ 𝑔(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑓(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
∞
−∞
 
 
Haciendo la sustitución 𝑥 = 𝑡 − 𝜏 
ℱ{𝑔(𝑡)} = ∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝜔(𝑥+𝜏)𝑑𝑥
∞
−∞
= ∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝜏𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥 = 𝑒−𝑖𝜔𝜏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥)𝑑𝑥 = 𝑒−𝑖𝜔𝜏𝐹(𝜔)
∞
−∞
∞
−∞
 
 
ℱ{𝑓(𝑡 − 𝜏} = 𝑒−𝑖𝜔𝜏𝐹(𝜔) 
 
 
 Propiedad de corrimiento con respecto a la frecuencia 
Si ℱ{𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝑤) , entonces la transformada de Fourier de la función 𝑔(𝑡) = 𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑓(𝑡) es: 
 
ℱ{𝑔(𝑡)} = ∫ 𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑒−𝑖(𝜔−𝜔0)𝑡𝑓(𝑡)𝑑𝑡
∞
−∞
= 𝐹(𝜔 − 𝜔0)
∞
−∞
 
ℱ{𝑒𝑖𝜔0𝑡𝑓(𝑡)} = 𝐹(𝜔 − 𝜔0) 
 
 Propiedad de simetría o dualidad 
 
De las definiciones 
 
𝐹(𝑤) = ℱ{𝑓(𝑡)} = ∫ 𝑓(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
 Transformada de Fourier 
 
 
𝑓(𝑡) = ℱ−1{𝐹(𝜔)} =
1
2𝜋
∫ 𝐹(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔
∞
−∞
 
 
 
Integral de Fourier – Transformada inversa 
de Fourier 
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se observa una simetría de estructura en relación a las variables 𝑡 y 𝜔. Estableceremos esta 
simetría de la siguiente forma: 
Cambiando la variable 𝜔 por y 
2𝜋𝑓(𝑡) = ∫ 𝐹(𝑦)𝑒𝑖𝑦𝑡𝑑𝑦
∞
−∞
 
Luego 𝑡 por −𝜔 
2𝜋𝑓(−𝜔) = ∫ 𝐹(𝑦)𝑒−𝑖𝑦𝜔𝑑𝑦
∞
−∞
 
 
 Convolución en el tiempo 
Sea 
ℱ{𝑢(𝑡)} = 𝑈(𝜔) = ∫ 𝑢(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
 
ℱ{v(𝑡)} = 𝑉(𝜔) = ∫ v(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
 
entonces la transformada de Fourier de la convolución de 
 
𝑦(𝑡) = 𝑢(𝑡) ∗ v(𝑡) = ∫ u(τ)v(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
 
Es 
ℱ{𝑦(𝑡)} = ℱ{𝑢(𝑡) ∗ v(𝑡)} = ∫ [ ∫ 𝑢(
∞
−∞
𝜏)v(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏] 𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 = ∫ 𝑢(𝜏) [ ∫ v(𝑡 − 𝜏)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡
∞
−∞
]
∞
−∞
∞
−∞
𝑑𝜏 
 
Introducimos los cambios de variable 𝑥 = 𝑡 − 𝜏,𝑑𝑥 = 𝑑𝑡 
 
= ∫ 𝑢(𝜏) ∫ v(𝑥)𝑒−𝑖𝜔(𝑥+𝜏)𝑑𝑥
∞
−∞
∞
−∞
𝑑𝜏 = ∫ 𝑢(𝜏) ∫ v(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑒−𝑖𝜔𝜏𝑑𝑥
∞
−∞
∞
−∞
𝑑𝜏 == ∫ 𝑢(𝜏)𝑒−𝑖𝜔𝜏 ( ∫ v(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥
∞
−∞
)
∞
−∞
𝑑𝜏
= ∫ v(𝑥)𝑒−𝑖𝜔𝑥𝑑𝑥 ∫ 𝑢(𝜏)𝑒−𝑖𝜔𝜏
∞
−∞
∞
−∞
𝑑𝜏 = ℱ{v(𝑥)} ℱ{𝑢(𝑥)} == 𝑉(𝜔). 𝑈(𝜔) = 𝑈(𝜔). 𝑉(𝜔) 
 
ℱ{𝑦(𝑡)} = ℱ{𝑢(𝑡) ∗ v(𝑡)} = 𝑉(𝜔). 𝑈(𝜔) = 𝑈(𝜔). 𝑉(𝜔) 
 
 Convolución en la frecuencia 
 
Si 
ℱ{𝑢(𝑡)} = 𝑈(𝜔) ⇒ 𝑢(𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝑈(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔
∞
−∞
 
ℱ{v(𝑡)} = 𝑉(𝜔) ⇒ v(𝑡) =
1
2𝜋
∫ 𝑉(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔
∞
−∞
 
entonces la transformada inversa de la convolución 
 
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t
1 
𝑈(𝜔) ∗ 𝑉(𝜔) = ∫ 𝑈(𝜉). 𝑉(𝜔 − 𝜉)𝑑𝜉
∞
−∞
 
está dada por 
ℱ−1{𝑈(𝜔) ∗ 𝑉(𝜔)} = 𝑦(𝑡) =
1
2𝜋
∫ ( ∫ 𝑈(𝜉). 𝑉(𝜔 − 𝜉)𝑑𝜉
∞
−∞
) 𝑒𝑖𝜔𝑡
∞
−∞
𝑑𝜔 =
1
2𝜋
∫ 𝑈(𝜉) ( ∫ 𝑉(𝜔 − 𝜉)𝑒𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔
∞
−∞
)𝑑𝜉
∞
−∞
 
 
Realizamos un cambio de variable 𝑧 = 𝜔 − 𝜉 , 𝑑𝜔 = 𝑑𝑧 
=
1
2𝜋
∫ 𝑈(𝜉) ∫ 𝑉(𝑧)𝑒𝑖(𝑧+𝜉)𝑡𝑑𝑧
∞
−∞
𝑑𝜉
∞
−∞
=
1
2𝜋
∫ 𝑈(𝜉)𝑒𝑖𝜉𝑡 ( ∫ 𝑉(𝑧)𝑒𝑖𝑧𝑡𝑑𝑧
∞
−∞
)𝑑𝜉
∞
−∞
=
1
2𝜋
( ∫ 𝑈(𝜉)𝑒𝑖𝜉𝑡
∞
−∞
)( ∫ 𝑉(𝑧)𝑒𝑖𝑧𝑡𝑑𝑧
∞
−∞
)
= 2𝜋 𝑢(𝑡). v(t) 
 
Esto es 
ℱ{𝑢(𝑡). v(𝑡)} =
1
2𝜋
𝑈(𝜔) ∗ 𝑉(𝜔) 
 
y esta multiplicación en el dominio del tiempo corresponde a la convolución en el dominio de la 
frecuencia (sujeta al factor de escala 
1
2𝜋⁄ ). 
 
Funciones escalón e impulso 
En muchas aplicaciones de la ingeniería las funciones de fuerza frecuentemente son discontinuas, 
por ejemplo la onda cuadrada resultante del encendido y apagado de un interruptor. Para 
manipular tales funciones discontinua usamos la función escalón unitario de Heaviside. 
 
𝐻(𝑡) = {
0 𝑡 < 0
1 𝑡 ≥ 0
 
 
 
 
 
 
 
Una función de Heaviside con un escalón unitario en 𝑡 = 𝑎, puede ser obtenida mediante una 
traslación de duración 𝑎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un atributo de los sistemas físicos reales es que son no anticipantes en el sentido de que no hay 
una salida (o respuesta) hasta que se aplica una entrada (o excitación). Debido a esta relación 
f(t) 
a
1 
t
f(t) 
1 
1 
𝐻𝑎(𝑡) = 𝐻𝑎(𝑡 − 𝑎) = {
1 𝑡 ≥ 𝑎
0 𝑡 < 𝑎
 
Figura 22: función escalón unitario de Heaviside 
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causal entre la entrada y salida, definimos a una función f(t) como causal si 𝑓(𝑡) = 0 (𝑡 < 0). Sin 
embargo, en general, a menos que el dominio esté claramente especificado, una función f(t) se 
interpreta normalmente como definida para todos los reales, haciendo uso del escalón unitario de 
Heaviside 𝐻(𝑡) donde 
 
𝐻(𝑡) = {
0 𝑡 < 0
1 𝑡 ≥ 0
 tenemos que el producto 𝑓(𝑡) ∗ 𝐻(𝑡) = {
0 𝑡 < 0
𝑓(𝑡) 𝑡 ≥ 0
 
 
Así el efecto de multiplicar f(t) por H(t) es convertirla en una función causal, es decir f(t) definida 
para 𝑡 ≥ 0. 
De la misma manera el producto de 𝑓(𝑡) ∗ 𝐻(𝑡 − 𝑎) = {
0 𝑡 < 𝑎
𝑓(𝑡) 𝑡 ≥ 𝑎
, puede ser interpretada como un 
mecanismo para “encender” la función f en 𝑡 = 𝑎. 
 
 
Figura 24: Gráfica de f(t) y su función causal equivalente 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 25: Gráfica de f(t), H(t-a) y f(t).H(t-a) 
 
De esta manera, la función escalón unitario puede ser usada para escribir mediante una fórmula 
las funciones continuas a trozos. 
Por ejemplo, consideremos la función f continua a trozos, definida por 
 
𝑓(𝑡) = {
𝑓1 0 ≤ 𝑡 < 𝑡1
𝑓2 𝑡1 ≤ 𝑡 < 𝑡2
𝑓3 𝑡 ≥ 𝑡3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(t)
) 
 f(t) 
H(t-a) 
a 
 
 
 
a 
 
 
 
f(t) H(t-a) 
 
 
 
𝑓1 
𝑓2 
𝑓3 
𝑡1 𝑡2 
Figura 26: Gráfica de f función continua a trozos 
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𝑓(𝑡) = 𝑓1𝐻(𝑡) + 𝑓2𝐻(𝑡 − 𝑡1) − 𝑓1𝐻(𝑡 − 𝑡1) + 𝑓3𝐻(𝑡 − 𝑡2) − 𝑓2𝐻(𝑡 − 𝑡2)
= 𝑓1𝐻(𝑡) + [𝑓2 − 𝑓1]𝐻(𝑡 − 𝑡1) + [𝑓3 − 𝑓2]𝐻(𝑡 − 𝑡2) 
 
 
La funciónimpulso 
En muchas aplicaciones en la ingeniería estamos interesados en buscar la respuesta de sistemas a 
funciones fuerza que son aplicadas de repente pero sólo en un tiempo muy corto. Estas funciones 
son conocidas como fuerzas impulsivas. Matemáticamente, tales funciones de fuerza son 
idealizadas por la función impulso, que es una función cuyo valor total está concentrado en un 
punto. 
 
Consideremos la función de pulso ɸ(𝑡) =
{
 
 
 
 0 0 < 𝑡 < 𝑎 −
𝑇
2
1
𝑇
 𝑎 −
𝑇
2
≤ 𝑡 < 𝑎 +
𝑇
2
0 𝑡 ≥ 𝑎 +
𝑇
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El área debajo del pulso es: 
∫ ɸ(𝑡)𝑑𝑡 = ∫
1
𝑇
𝑑𝑡 = 1
𝑎+
𝑇
2
𝑎−
𝑇
2
∞
−∞
 
 
Si consideramos el proceso límite en el que la duración del pulso se aproxima a cero, de tal 
manera que el área bajo el pulso siga siendo unitario estamos definiendo la llamada función delta 
de Dirac o función impulso unitario. 
 
𝛿(𝑡 − 𝑎) = 0 𝑡 ≠ 𝑎 
 
∫ 𝛿(𝑡 − 𝑎)
∞
−∞
𝑑𝑡 = 1 
Una función impulso no es una función en el sentido usual, pero es un ejemplo de una clase de las 
llamadas funciones generalizadas. 
 
 
 
1/T 
𝑎 −
𝑇
2
 𝑎 +
𝑇
2
 𝑎 𝑎 
Figura 27: función impulso 
Matemática para Ingenieros 
Ing. Adriana M. Apaza Prof. Adj. 
 
a 
1 
x(t,a) 
x´(t,a) 
a t 
t 
1/a 
Propiedad de filtrado 
Si 𝑓 es continua en 𝑡 = 𝑎 entonces 
∫ 𝑓(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑎)
∞
−∞
𝑑𝑡 = 𝑓(𝑎) 
 
Esta propiedad permite aislar, o separar, el valor de una función en cualquier punto particular. 
Relaciones entre las funciones escalón de Heaviside y de impulso 
Para establecer la relación entre las funciones escalón e impulso, consideremos la función x(t,a) 
definida de la siguiente manera 
 
𝑥(𝑡, 𝑎) =
1
𝑎
[𝑡𝐻(𝑡) − (𝑡 − 𝑎)𝐻(𝑡 − 𝑎)] 
 
Definimos la función por tramos y la representamos gráficamente: 
 
 
𝑥(𝑡, 𝑎) = {
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
1
𝑎
𝑡 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎
1 𝑠𝑖 𝑡 > 𝑎
 
 
 
 
 
Desde el punto de vista del cálculo tradicional, la función 𝑥(𝑡, 𝑎) no es derivable en 𝑡 = 0 y tampoco 
en 𝑡 = 𝑎, sin embargo, podemos derivar la función en los intervalos abiertos 𝑡 < 0, 0 < 𝑡 < 𝑎 𝑦 𝑡 > 𝑎, 
resultando: 
 
𝑥´(𝑡, 𝑎) = { 
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
1
𝑎
 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑎
0 𝑠𝑖 𝑡 > 𝑎
 
 
Si representamos gráficamente la derivada 𝑥´(𝑡, 𝑎) obtenemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La expresión matemática para 𝑥´(𝑡, 𝑎) es: 
 
𝑥´(𝑡, 𝑎) =
1
𝑎
[𝐻(𝑡) − 𝐻(𝑡 − 𝑎)] 
 
Matemática para Ingenieros 
Ing. Adriana M. Apaza Prof. Adj. 
 
Podemos ver gráficamente que la función 𝑥´(𝑡, 𝑎) tiende a convertirse en la función impulso 
unitario conforme a tiende a cero. De lo anterior podemos concluir que: “la derivada de la función 
escalón unitario es la función impulso unitario”. 
Matemáticamente presentamos la relación diferencial y la relación integral, así: 
 
𝐻(𝑡) = ∫ 𝛿(𝜏)
∞
−∞
𝑑𝜏 𝑦 𝛿(𝑡) =
𝑑
𝑑𝑡
𝐻(𝑡) = 𝐻´(𝑡) 
 
Igualmente se puede comprobar que 
 
𝛿(𝑡 − 𝑎) =
𝑑
𝑑𝑡
𝐻(𝑡 − 𝑎) = 𝐻´(𝑡 − 𝑎) 
 
Los resultados de las derivadas pueden usarse para obtener la derivada generalizada de funciones 
continuas a trozos que presentan saltos de discontinuidad, como se observa en la Figura 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Expresando a f(t) en términos de las funciones escalonadas de Heaviside y al diferenciar llevan al 
resultado 
𝑓´(𝑡) = 𝑔´(𝑡) +∑𝑑𝑖
𝑛
𝑖=1
𝛿(𝑡 − 𝑡𝑖) 
 
nos dice que la derivada de una función continua a trozos con saltos de discontinuidad es la 
derivada común donde esta existe (𝑔´(𝑡)) más la suma de las funciones delta en las 
discontinuidades multiplicadas por las magnitudes de los saltos respectivos. 
La magnitud 𝑑𝑖 de un salto de una función en el punto 𝑡𝑖, significa la diferencia entre los límites 
laterales derecho e izquierdo de la función en 𝑡𝑖 
 
 
 
 
 
 
d1 
d2 
d3 
t1 t2 t3 t 
Figura 27: Función continua a trozos 
Matemática para Ingenieros 
Ing. Adriana M. Apaza Prof. Adj. 
 
Transformada de Fourier de las funciones escalón de Heaviside y de impulso. 
Consideremos la Transformada de Fourier de la función impulso o delta de Dirac, 𝛿(𝑡). 
Recordemos que 𝛿(𝑡) satisface la propiedad de filtrado, esto es, para una función continua g(t) 
 
∫𝑔(𝑡)𝛿(𝑡 − 𝑐)
𝑏
𝑎
𝑑𝑡 = 𝑔(𝑐) 𝑎 < 𝑐 < 𝑏 
 
Utilizando la definición de la transformada de Fourier, obtenemos 
ℱ{𝛿(𝑡)} = ∫ 𝛿(𝑡)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 = 𝑒−𝑖𝜔0 = 1
∞
−∞
 
ℱ{𝛿(𝑡 − 𝑎)} = ∫ 𝛿(𝑡 − 𝑎)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝑡 = 𝑒−𝑖𝜔𝑎
∞
−∞
 
En resumen, tenemos: 
 
Funciones generalizadas Transformada de Fourier 
𝛿(𝑡) 1 
𝛿(𝑡 − 𝑎) 𝑒−𝑖𝜔𝑎 
𝛿(𝑡 + 𝑎) 𝑒𝑖𝜔𝑎 
 
 
Usando la propiedad de dualidad 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones generalizadas Transformada de Fourier 
𝑒−𝑖𝑎𝑡 2𝜋𝛿(𝜔 + 𝑎) 
1 2𝜋𝛿(𝜔) 
𝑒𝑖𝑎𝑡 2𝜋𝛿(𝜔 − 𝑎) 
Matemática para Ingenieros 
Ing. Adriana M. Apaza Prof. Adj. 
 
 
 
BIBLIOGRAFÍA 
 Matemáticas avanzadas para ingeniería – Glyn, James; Burley, David; Dick, 
Clemenns;Segunda edición- Pearson Educación- México 2002. 
 Apuntes de clases de Ing. Nélida Priemer – Titular Cátedra de Matemática para Ingenieros- 
Facultad de Ingeniería – Universidad Nacional de Jujuy