Números Complejos - Teoría

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MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 2013 VARIABLE COMPLEJA: Números Complejos 
ING. NÉLIDA B. PRIEMER (PROFESOR TITULAR) - ING. ADRIANA APAZA (PROFESOR ADJUNTO) 1 
 
 
 
 
1 NÚMEROS COMPLEJOS 
 
1. NÚMEROS COMPLEJOS 
1.1. Definición 
Un número complejo z, es un par ordenado de números reales, x e y, dónde: 
 
x es la primera componente o componente real o parte real 
 
y es la segunda componente o componente imaginaria o parte imaginaria 
 
En símbolos 
 ( ): es un número complejo, x e y son reales; ( ) e ( ) 
 
Los números complejos, pares ordenados de números reales, se pueden representar en un 
sistema de ejes cartesianos ortogonales, donde en el eje de abscisas se representa la 
componente real y en el eje de ordenadas la imaginaria. Así, los complejos pueden 
representarse como puntos en el plano xy o plano cartesiano que en este caso recibe el nombre 
de Plano de Argand, Plano z o Plano Complejo. 
 
 
 
 
 
 
Si ( ) entonces ( ) , z es un número complejo imaginario puro y se representa 
en el eje de ordenadas. 
En cambio, si ( ) , entonces ( ) , z es un número real y se representa en el eje de 
abscisas. 
 
1.2. Igualdad 
Dos números complejos ( ) y ( ) son iguales si y sólo si son iguales su 
parte real e imaginaria respectivamente. 
z =(x,y) 
 x 
y 
Figura 1 
Plano de Argand, plano z o plano 
plano complejo 
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En símbolos: Dados ( ) y ( ); 
1.3. Suma y producto 
Dados ( ) y ( ), dos números complejos; las operaciones suma 
y producto , se definen por las ecuaciones: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
1.4. Unidad Imaginaria – Forma binómica 
Dadas las operaciones definidas anteriormente, resultan: 
( ) ( ) ( ) 
( ) ( ) ( ) 
Entonces, podemos obtener al par ordenado ( )de la siguiente forma: 
(x, y) = (x, 0) + (0,1) . (y ,0) 
 
Como (x,0) = x (y,0) = y , resulta ( ) ( ) 
Hacemos ( ) y resulta la representación binómica o vectorial de un complejo: 
 ( ) 
 
El eje x, está formado por los números ( ) , es decir por los números reales y se 
denomina eje real. El eje y está formado por los números ( ) , llamados imaginarios 
puros y se llama eje imaginario. 
 
Observemos que como ( ) y ( ) entonces ( ) ( ) 
 
Cualquier complejo z puede obtenerse por una combinación lineal de los versores ( ) y 
( ); o sea como el vector suma de los vectores ( ) y ( ) 
 
 
1.5. Forma Binómica de la Suma y el Producto 
Suma ( ) ( ) 
Producto 
 ( ) ( )
 
 
 
Potencias de i 
 
Si se conviene que , etc., resulta: 
 ( ) 
 ( )( ) ( ) 
 ( )( ) ( ) 
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 ( )( ) ( ) 
 
 
 
 
. . . y así sucesivamente se repite la secuencia de los cuatro valores . 
 
La forma binómica del producto también puede obtenerse de operar algebraicamente con los 
binomios y como con los binomios reales agrupando con 
factor común y considerando . 
 
1.6. Formas polares de un complejo 
 
Un número complejo se representa geométricamente ya por el punto P en el plano cartesiano, 
cuya abscisa y ordenada son, respectivamente, las componentes real e imaginaria del número 
dado; ya por el segmento de recta dirigido, o vector, que va del origen a ese punto P. 
El vector ⃗⃗⃗⃗ ⃗, que representa el número complejo ( ), tiene dos importantes atributosque lo 
definen, su longitud o módulo y su ángulo direccional o argumento : 
 
 √ | | es el módulo o valor absoluto de z 
 
 (
 
 ⁄ ) es el argumento o fase de z. 
 
La notación identifica a un complejo con módulo r y argumento . 
Al utilizar la fórmula (
 
 ⁄ ) el ángulo se ubica en el cuadrante apropiado según 
lo determinen los signos de x e y. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para definir a r y de una manera única debemos tomar 
 y 
 
 Si . Si r =0 el argumento es arbitrario. 
 
 Para todo punto en el plano complejo, el argumento puede asumir un conjunto infinito 
de valores: 
 
z:P(x,y) 
x 
y 
 O 
 
r 
Figura 2: 
El complejo z como 
el vector OP 
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De todos estos valores se toma por convención el valor comprendido entre 0 y 2π ( o entre -π y 
π) llamado argumento principal y se simboliza Arg z. De este modo: 
 
 π ( π π) 
 
De la representación en el plano complejo, obtenemos: e , entonces 
podemos escribir en la forma polar trigonométrica: 
 
 ( ) 
 
En lugar de podemos escribir en forma abreviada , entonces 
 
La otra forma polar de expresar a un número complejo es la forma exponencial. Esta se obtiene 
a partir de la fórmula de Euler: . 
 
El complejo z, puede escribirse ( ) , donde es la forma 
exponencial. 
 
1.7. Conjugado 
 
El conjugado del número complejo ( ), se define ̅ ( ) ( ̅ si escribimos 
en forma binómica). 
 
En el Plano de Argand es el reflejado o simétrico respecto de la recta real del punto ( ) que 
representa a z (Fig. 3). 
El conjugado de ( ) es ( ). Esto es ̿ 
Formas polares del conjugado: 
Para , módulo y argumento de z, resulta: ̅ = 
 ̅ [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) 
Entonces ̅ ( ) es la forma trigonométrica y ̅ es la forma exponencial. 
 
 
 
 
 
 
 
 z = ( x , y ) 
 ̅ ( ) 
 Figura 3 : 
El conjugado de z 
x 
y 
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1.8. El Cuerpo Complejo 
Sea C el conjunto de los números complejos. Dados dos elementos arbitrarios de C, y 
 tales que ( ) y ( ) ,hemos definido la igualdad, la suma y el 
producto. Para la suma y el producto se pueden demostrar las siguientes propiedades que 
estructuran a C como un cuerpo conmutativo y nos permite llamar al conjunto C, Cuerpo 
Complejo y a sus elementos, los pares ordenados de números reales, números complejos. 
 
Sean elementos de C,entonces se cumplen la siguientes propiedades: 
 
Suma: 
 
P
1
) Clausura: z
1 
+ z
2 
 pertenece a C. 
 
P
2
) Asociativa: ( ) ( ) 
 
P
3
) Conmutativa: 
 
P
4
) Existencia del Neutro: ( ) ( ) Neutro Aditivo 
 
P
5
) Existencia del Simétrico: ( ) ( ) Simétrico Aditivo u 
Opuesto. 
 
Producto: 
 
P
1
) Clausura: pertenece a C. 
 
P
2
) Asociativa: ( ) ( ) 
 
P
3
) Conmutativa: 
 
P
4
) Existencia del Neutro: ( ) ( ) Neutro Multiplicativo 
 
P
5
) Existencia del Simétrico: ( ) ( ) Simétrico 
Multiplicativo o Inverso. 
 
P
6
) Distributiva: ( ) 
 
 
Demostraremos que 
 
 ( ) su simétrico aditivo u opuesto – ( ). 
 
Como ( ) ( ), para ( ) resulta, reemplazando: 
( ) ( ) ( ) 
Entonces por definición de la suma y la igualdad de complejos se plantean las ecuaciones: 
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Resolviendo: . El simétrico es ( ). 
 
 ( ) ( ) su simétrico multiplicativo o inverso 
 ( ( )⁄
 
 
( )⁄
) 
 
Como ( ) para ( ) resulta: 
 
 ( ) ( ) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Entonces 
 
 
 
 u = 
 
 
 v 
Igualamos y obtenemos v 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
( )
 
Reemplazamos y obenemos u 
 
 
( )
 ( ( )) 
 
El simétrico es 
 ( ( )⁄
 
 
( )⁄
) ( ) 
 
El conjunto de los números complejos no se estructura como cuerpo ordenado, es decir, que no 
existen entre los números complejos las relaciones de orden, ni los conceptos que de ellas 
derivan; extremos, máximo, mínimo, etc. 
 
1.1.9. Resta y División 
 
Las operaciones resta y división se definen a partir del opuesto y del simétrico respectivamente: 
 
Resta: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
División: 
 
Para , se define: 
 
 
 
 
 ( ) (
 
 
 
 
 
 
 
 ) (
 
 
 
 
 
 
 
 ) 
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La regla práctica para dividir es multiplicar numerador y denominador por el conjugado del 
denominador 
 ̅ 
 ̅ 
 (
 
| |
 
) ( )
 
 
 ̅ 
 
 | |
 
 
1.10. Distancia 
La distancia entre dos puntos, ( ) y ( ) es 
| | √( )
 ( )
 
 
según se observa en el gráfico y empleando el Teorema de Pitágoras. 
 
 
 
 
 
 
 
1.11. Forma polar del producto y el cociente 
Dados dos números complejos en la forma polar trigonométrica: 
 ( ), donde | | y ( ) 
 ( ), donde | | y ( ) 
El producto es: 
 [( ) ( )] 
Reemplazando: 
 [ ( ) ( )] 
 ( ) 
El producto de dos números complejos es otro número complejo, cuyo valor absoluto o 
módulo, es el producto de los valores absolutos o módulos de cada uno de los números o 
vectores y cuyo argumento es la suma de los argumentos de cada uno de los factores 
⌈ ⌉ | |, ( ) 
x1 x2 
y1 
y2 
z1 
z2 
Figura 4: Distancia 
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El cociente, para z
2
 0, resulta: 
 
 
 
 ̅ 
 ̅ 
 
 
 
[( ) ( )]
( )
 
O sea: 
 
 
 
 (
 
 
) [[ ( ) ( )]] 
 
 
 (
 
 
) ( ) 
El cociente es un número complejo, cuyo módulo o valor absoluto es el cociente de los módulos 
o valores absolutos y cuyo argumento es la diferencia de los argumentos: 
 
|
 
 
| 
 
 
 
| |
| |
 , 
 (
 
 
) 
 
 
Para las identidades sobre los argumentos, a saber: 
 ( ) (
 
 
) 
 
debe interpretarse que si se especifican dos de esos tres argumentos (multivaluados), entonces 
existe un valor del tercer argumento que satisface la ecuación. 
Si se sustituye arg por Arg las identidades no siempre son válidas como ilustra el 
siguiente ejemplo: 
Si y , y ( ) 
 
 
 
pero 
 
 
 
 
 
 donde 
 
 
 
 
 
 . 
Es decir que, si tomamos los valores principales de los argumentos de y 
,
 y 
 
 
 
 , el valor de k para el que satisface la identidad ( ) se 
obtiene para . 
En cambio, si tomamos y ( ) 
 
 
 el valor de 
 
 
 que 
satisface la identidad se obtiene para . 
1.12. Potenciación 
Si ( ) y , entonces: 
 [ ( ) ( )] ( ) 
 [ ( ) ( )] ( ) 
y así sucesivamente. En consecuencia, se puede demostrar usando el método de inducción 
completa que: 
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 [ ( )] ( ) 
Teorema de DeMoivre 
En particular, para | | , esta fórmula se conoce como Teorema de DeMoivre y 
establece que: 
( ) 
A partir de esta expresión y de la igualdad de números complejos, surgen interesantes 
relaciones trigonométricas que permiten obtener el o el cómo funciones del 
 y el . 
Por ejemplo, para , resulta: 
( ) 
Donde si operamos con el primer miembro de la igualdad obtenemos : 
 ( ) ( ) 
luego por igualdad de números complejos se obtienen las identidades trigonométricas : 
 , 
Potencias negativas 
Obtendremos una expresión para el caso de un entero negativo como potencia de z: 
Dados: ( ), con | | y ( ) y 
 ( ) tal que  1 = 1 y donde , 
resulta, efectuando el cociente: 
 
 
 
 (
 
 
) [ ( ) ( )] ( ) 
Como ( ) , se obtiene la expresión: 
 
 
 
 (
 
 
) [ ( ) ( )] ( ) 
 
1.13. Radicación 
 
La raíz enésima dez se define como todo número tal que y se simboliza: 
 
√ 
 ⁄ 
 
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Para encontrar una expresión de la raíz enésima, sean 
 
 ( ) y ( ) 
entonces reemplazando para , obtenemos: 
 
 ( ) ( ) 
 
Como estos complejos son iguales deben tener el mismo módulo y argumentos iguales o que 
difieren en un múltiplo entero de 2  , o sea : 
 
 
 
 ⁄ √ 
 
 donde y son reales positivos 
 
( )
 
 
 
Se observa que , el argumento de la raíz enésima que para k = 0 , 1 , . . . , n - 1 ; los 
valores de  definen ángulos distintos; después los mismos ángulos se repiten una y otra 
vez aumentando en 2 o en múltiplos de 2 sus medidas. Así pues hay exactamente n 
valores diferentes de √ 
 
 
 ⁄ tales que todos tienen el mismo módulo √ 
 
 y 
sus argumentos difieren para dos valores consecutivos de k en 2 /n. 
La expresión obtenida es : 
 
 
 ⁄ √ 
 √ 
 
[ (
 
 
) (
 
 
)] √ 
 
 ( 
 
)
 
Como se puede observar fácilmente las raíces del complejo , se disponen como vértices de 
un polígono regular de lados e inscripto en una circunferencia de radio √ 
 
 . 
Definidas las potencias enteras y raíces, se puede definir la potencia racional de un número 
complejo: 
 ⁄ ( ⁄ )
 
 { ⁄ [ (
 
 
) (
 
 
)]}
 
 
 ⁄ ⁄ [ (
 
 
) ( ) (
 
 
) ( )] 
 
k 0 1 2 . . . n-1 n 
 
 
 
 
 
( )
 
 
( )
 
 
( ( ) )
 
 
( )
 
 
 
 
 
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2. CONJUNTOS EN EL PLANO COMPLEJO 
 
2.1. Representación gráfica de ecuaciones e inecuaciones 
 
Las ecuaciones e inecuaciones (desigualdades) con una variable compleja z pueden 
representarse por medio de curvas y regiones en el plano z. 
 
La ecuación ( ) , resulta si la reescribimos en términos de e . La 
representación gráfica en el plano es una recta vertical (Figura 5) 
 
La inecuación ( ) equivale a . Los puntos que satisfacen esta desigualdad 
deben estar en la región que se encuentra a la izquierda de la recta (Figura 6) 
 
En forma similar, la inecuación ( ) , corresponde a los puntos que están entre y 
sobre las rectas verticales y que definen la franja infinita que aparece en 
Figura 7 
 
La inecuación ( ) ( ) implica ; donde el signo igual es válido para , es 
decir, para los puntos de la recta a 45° que pasa por el origen mientras que los puntos que se 
encuentran a la izquierda de esta recta satisfacen la condición (Figura 8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El lugar geométrico de todos los puntos para los que su distancia al origen es la unidad es 
| | o √ , es decir, la circunferencia centrada en el origen de radio unitario. 
 
-2 x
x 
y
x 
Figura 5: ( ) 
 
-2 x
x 
y
x 
Figura 6: ( ) 
 
 
-2 3 x 
Figura 7: ( ) 
 
y
x 
 
x
x 
Figura 8: ( ) ( ) 
 
-2 
y
x 
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La inecuación | | describe los puntos del interior del círculo cuyo radio es la unidad y 
centrado en el origen, mientras que | | representa el interior y la circunferencia. 
 
Si es una constante compleja, la circunferencia con centro en ( ) 
y radio está dada por la ecuación | | donde . 
 
Los puntos que verifican la inecuación | | son los puntos interiores a la 
circunferencia, mientras que los que corresponden a | | están en el exterior. 
 
Si y dos números reales no negativos tales que , la inecuación | | 
representa la intersección de dos regiones; la definida por la desigualdad | | que 
son los puntos que están fuera del círculo con radio centrado en ( ) y la definida 
por | | que corresponde a los puntos dentro del círculo de radio centrado en 
( ). Los puntos que satisfacen ambas inecuaciones están en el anillo de radio interior , 
radio exterior y centrado en . 
 
2.2. Entorno - Vecindad 
 
Sea algún punto del plano complejo C y  un número real positivo (> 0), se llama 
entorno del punto de radio , al conjunto de todos los puntos de plano complejo cuya 
distancia a es menor que  . 
 
 
En símbolos: ( ) { | | } 
 
En general, el valor de  queda sobrentendido o es 
irrelevante en la discusión y se usa el símbolo ( ) 
 
 
 
 
 
 
El entorno reducido o vecindad de es el conjunto de puntos z de un entorno de , 
excepto el propio . 
 
 ( ) ( ) { } { | | } ( ) 
 
 
2.3. Conjuntos Abiertos 
 
Un conjunto B en el plano complejo se llama abierto, si para cada uno de sus puntos existe un 
entorno cuyos puntos todos pertenecen a B. 
 
Por ejemplo, son conjuntos abiertos: 
 
 El conjunto de todos los puntos del plano. 
 
zo 
x 
y 
Figura 9: Entorno 
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 El conjunto de todos los puntos situados en el interior de una circunferencia de radio 
r con centro en : | | 
 El conjunto | | no es abierto. Para los puntos sobre la circunferencia 
| | todo entorno por pequeño que sea, contiene puntos que no pertenecen al 
conjunto. 
 
2.4. Conjuntos Conexos 
 
En general es conexo todo conjunto B para el cual dos puntos cualesquiera del mismo, y 
 , pueden unirse mediante una curva continua cuyos puntos pertenecen a B; es decir, que 
se puede construir una curva perteneciente a B para la cual uno de los puntos es el punto 
inicial y el otro el punto final. 
 
Como dos puntos cualesquiera del plano pueden unirse mediante un segmento de recta 
perteneciente al plano resulta que el plano es un conjunto conexo. 
 
Los conjuntos; A
1
, A
2 
y A
3 
de la Figura 10 son conexos, es decir que cualquier par de puntos del 
conjunto puede unirse mediante una curva que pertenece al conjunto. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los conjuntos A
4 
y A
5 
de la Figura 11 son no conexos o deconexos, es decir que existen 
pares de puntos que no pueden unirse con curvas pertenecientes a los conjuntos. Si tomamos 
algún punto de y lo queremos conectar con el punto de tenemos que recurrir a una 
y 
 
x 
x 
y 
 A 1 
 
x 
 A 2 
y 
x 
 A 3 
 
 A 4 
Figura 10: Conjuntos Conexos 
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curva que contiene puntos que no pertenecen al conjunto . Lo mismo sucede si pretendemos 
conectar puntos de y en el conjunto . 
 
Una curva cerrada constituye un conjunto conexo mientras que los puntos que no 
pertenecen a la curva cerrada constituyen un conjunto no conexo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.5. Dominio 
 
Un conjunto abierto y conexo se llama dominio o recinto. 
 
Son dominios: 
 El plano 
 ( ) 
 | | 
 | | 
 ( ) ( ) 
 El conjunto de la Figura 
 
No son dominios por no ser conjuntos abiertos, los conjuntos definidos por: 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 | | 
 Los conjuntos y 
 
o El conjunto de la Figura 11 no es un dominio ya que es abierto pero no es conexo. 
 
o El conjunto de la Figura 11 no es abierto ni conexo y tampoco es un dominio. 
 
 
2.6. Simplemente conexo - Múltiplemente conexo: 
 
Podemos definir como simplemente conexo a cualquier conjunto B conexo que posea la 
propiedad de que para cualquier curva continua sin puntos múltiples cerrada  perteneciente a 
B el interior de  también pertenece a B. Si existe alguna curva cerrada que encierra puntos 
que no pertenecen a B se dice que el conjunto B es múltiplemente conexo. 
 
x 
y 
A 4 1 
A 4 2 
 
A 4 
2 
x 
y 
A5 
A 5 1 
A 5 2 
A 4 
 
A 4 
2 
Figura 11: Conjuntos no conexos 
 
A 4 2 
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En la Figura 12 se observa que el conjunto es simplemente conexo mientras que el conjunto 
 es múltiplemente conexo. 
 
El interior de un círculo o de cualquier curva cerrada es un conjunto simplemente conexo. 
 
El conjunto de puntos situados entre dos circunferencias concéntricas o entre dos curvas 
cerradas una en el interior de la otra, es un ejemplo de conjunto múltiplemente conexo. 
 
El conjunto de la Figura 10 es múltiplemente conexo. 
 
Serán simplemente conexos los siguientes conjuntos no acotados: el plano, un semiplano, un 
ángulo, una franja, una semifranja, etc. 
 
El conjunto de la Figura 12 y el exterior de un círculo, Figura 13 , son conjuntos abiertos y 
conexos, es decir que constituyen dominios. 
 
El exterior de un círculo es un conjunto o acotado múltiplemente conexo, Figura 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D1 
x 
 
y 
x 
y D2 
 
Figura 12: Conjuntos simplemente conexo (D
1
) y múltiplemente conexo (D
2
) 
 Figura 13: El exterior de un círculo 
 
x 
y