Serie de Fourier - Ejercicios

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FOURIER EDP TF y DF Segundo Cuatrimestre 2020 
 
 MATEMATICA PARA INGENIEROS Ing. Adriana M. Apaza (Prof. Adj.) 
 
MATEMÁTICA PARA INGENIEROS 
INGENIERÍA QUÍMICA, INGENIERÍA DE MINAS 
Segundo Cuatrimestre 2020 
 
Guía de Trabajos Prácticos 
Serie de Fourier-Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales 
Transformadas de Fourier –Diferencias Finitas 
 
 
 SERIE DE FOURIER 
 
1 – En cada uno de los problemas siguientes se dan los valores de una función periódica f para un 
periodo completo. Bosqueja varios períodos de su gráfica y encuentra su serie de Fourier. ¿Cuál es el 
valor al que converge la serie de Fourier en los puntos de discontinuidad de f ? 
 
 a)








xx
x
xf
 0 
0 - 0
)( b) 






 0 
0 - t 
)(


xx
x
xf 
 
2 - Una función periódica de periodo 2𝜋 está definida por tetf )( , sí  2,0t . Obtenga su 
desarrollo en serie de Fourier. ¿A qué valor converge la serie en 3t ? ¿y en 4t ? 
 
3 - Calcula la serie de Fourier de la función 






4t0 2
0 4- 2
)(
t
tf ¿A qué valor converge la serie en 
14- ,2 , ,0 2
3t ? 
 
4 – Desarrollar cada una de las siguientes funciones como se indica y graficar la extensión periódica en 
un intervalo de longitud tres períodos. 
 
a) 








2t 1
 0 1
)(
t
tf , serie completa en [0, 2𝜋] 
 
b) 









2t
2
 1
2
 0 0
)(
t
tf , serie completa en [0, 2𝜋] 
 
c) 10 ,)( 2  xxxf , serie de cosenos en [0,1] 
 
d) 








2t 1
 0 0
)(
t
tf , serie de senos en [0,2𝜋] 
 
5– Usando el desarrollo en serie de Fourier de la función xxf )( para 20  x justifica la 
igualdad 
∑
1
(2𝑛 − 1)2
∞
𝑛=1
=
𝜋2
8
 
 
 
 
FOURIER EDP TF y DF Segundo Cuatrimestre 2020 
 
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 FORMA COMPLEJA DE LA SERIE DE FOURIER - INTEGRAL Y TRANSFORMADA DE 
FOURIER 
 
6. - Encuentra la serie de Fourier Compleja de las funciones de período 2𝜋: 
 
a) tsentf )(  b) ttg )( 
 
7.- Obtenga la forma compleja de la expansión en serie de Fourier de las siguientes funciones y obtenga 
la serie trigonométrica correspondiente 
 
a) )(/)4( 
20 1
02 0
)( tftf
t
t
tf 





 , b)   tttf - )( 2 
8.- Halla la integral de Fourier que representa la función f/ 









1 para 0
10 para 2
0t1- para 2
)(
t
ttf 
9.- Obtener la transformada de 0y )(   aetf ta . Resolver para el caso particular de a=8 
 
10.- Sea la función 









1,1 t 0 
10 22
01- 22
)(
t
tt
tt
tf Se pide: a) Hallar la transformada de Fourier 
b) Determinar la representación integral de f(x) indicando su campo de validez, y basándose en el 
resultado obtenido calcular el valor de las siguientes integrales: 
 dt
t
t
t
I 







 

2
cos
cos1
0
21
 dtt
t
t
I cos
cos1
0
22


 

 
 
11.- a) Representa la función dada mediante una integral de Fourier de senos 









2 t0
2t1 1
1t0 
)(
t
tf 
b) escribe la representación de f(t) mediante la integral de Fourier. 
 
12.- Sea 







2
t 0
2
 t 1
)(
a
a
tf . a) Hallar su Transformada de Fourier, b) Calcular dx
x
senx


0
 
 
13. - a) Halla la Transformada de Fourier de f / 







 1 0
1 1
)(
2
x
xx
xf 
b) Calcular dx
x
x
senxxx
2
cos
cos
0
3


 
14.- Utiliza la propiedad de corrimiento con respecto al tiempo para calcular la transformada de Fourier 
del pulso doble definido por f / 


 

 caso otroen 0
21 1
)(
t
tf 
 
15.- a) Determina la transformada de Fourier en senos de la siguiente función 
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








 0 t0
 2t1 1
1t0 
)(
t
tf b) Escribir la representación de f(t) mediante la integral de Fourier 
 
 
 ESCALÓN UNITARIO E IMPULSO 
 
16.- Expresa en términos de las funciones escalones unitarios las siguientes funciones causales continuas 
y luego obtiene la derivada generalizada. 
 
a) 














20 
21 24
112 
1242
2 0 
)(
 t 
t t 
 t -
t -t
 t 
tg b) 









 6 3
643t -9
40 
)(
t
t
tt
tf 
 
17.- Dadas f y g determina la transformada de Fourier de h /h ( t ) = 2 f ( t ) − g ( t ) 
 







1 0
1 2
)(
t
tk
tf 







1 0
1 
)(
t
tk
tg 
 
18.- Utiliza la propiedad de corrimiento respecto del tiempo para calcular la transformada de Fourier del 
pulso doble definido por 
 
 


 

caso otron 0
12t1 1
)(
e
tf 
 
19.- Calcula la transformada de Fourier para f / f ( t ) = cos w0t [ H ( t + (T/2) ) − H ( t − (T/2) )] 
donde f es la función coseno en una ventana. 
 
20.- a ) Verifica que F −1 {  [  ( w – w0 ) + ( w + w0 ) ] } = cos w0t 
 
b ) Prueba que F { sen w0t } = i  [  ( w + w0 ) −( w − w0 ) ] y luego verifica que 
 
F −1 { i  [  ( w + w0 ) − ( w − w0 ) ] } = sen w0t 
 
21.- Obtiene h si F { h ( t ) } = 1 / ( 1 + i w ) 2 empleando la convolución en el dominio del 
tiempo. 
 
22.- Si F { H( t + a) – H(t −a) } = 2 a senc wa , demuestra usando la propiedad de simetría o 
dualidad de la Transformada de Fourier que F { senc t } = 𝜋 [ H(w +1) – H( w−1) ] 
( Sugerencia : emplea que H(−w) = 1−H(w) ) 
 
23.- Si F { H( t ) } = 1
𝑖 𝑤
+ 𝜋 𝛿(𝑤) , obtiene, usando la propiedad de simetría o dualidad de la 
Transformada de Fourier F -1{ H(w) } ( Sugerencia : emplea que H(−w) = 1−H(w) ) 
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 CUESTIONARIO CONCEPTUAL 
 
Dadas las siguientes proposiciones; contesta por Verdadero o Falso, completa con la respuesta correcta o selecciona la opción 
adecuada, según corresponda. Justifica la respuesta dada 
 
1.- La función f ( x ) = | x | para -1 < x < 1 puede representarse mediante una Serie de Fourier que converge a 
f para todo -1 < x < 1 
( a ) de senos ( b ) de cosenos ( c ) de cosenos y de senos 
 
2.- Una función cuyo dominio es R ( los reales ) , continua salvo un número finito de discontinuidades, acotada, 
derivable por izquierda y por derecha y periódica puede representarse mediante una serie de Fourier que 
converge a la función en todo su dominio. 
 
3.- Una función f continua en un intervalo ( 0 , L ) puede representarse definiendo más de una Serie de 
Fourier que converge a f en ( 0 , L ) . 
4.- La serie de Fourier que representa a la función f / 
 
 
 







2,1 1
1,1 0
1,2 1
)(
t
t
t
tf , f ( t + 4 ) = f ( t )  t   
converge a 1 en t = -1 y en t = 1 . 
 
5.- Dada g definida en [ 0, 3] : 






3 1 3
1t03t 
)(
t 
tg 
 
Entonces la función h/ h(x) = ----------------------------------------------y h es periódica de período T= ---------------- 
se obtienedefiniendo alguna prolongación de g de modo que h se puede representar mediante una serie de 
Fourier que converja a g en [0,3] de la forma 
 









1 4n
n
tn
senb

 
 
6.- Dada g definida en [ 0, 3] , 






3 1 3
1t03t 
)(
t 
tg 
Entonces la función k/ k(x) = ----------------------------------------------y h es periódica de período T= ---------------- 
se obtiene definiendo alguna prolongación de g de modo que k se puede representar mediante una serie de 
Fourier que converja a g en [0,3] y a cero en t =3 de la forma 









1 4n
n
tn
senb

 
 
 
 
7.- Si una función f con dominio igual a los reales y codominio en los complejos es seccionalmente continua 
acotada y no periódica, con derivadas por izquierda y por derecha en todo punto, entonces puede representarse 
mediante la función integral : 
 






 dxexfwFdwewFxf iwxiwx )()( donde )(
2
1
)(

 
 
8.- Dada la siguiente función 
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








1 tsi 0
3t1 si 1
1 tsi 0 
)(tf 
la función integral que la representa 





 dtetfwFdwewFtf iwtiwt )()( donde )(
2
1
)(

 
 
toma el valor ½ en t =  1 
 
9.- En un punto donde f es discontinua el valor de la integral de Fourier es igual al valor de f en ese punto de 
discontinuidad 
 
10.- Teniendo en cuenta que f /







10
11
)(
x si 
x si 
xf cuya Integral de Fourier es 
 
 cos2
)(
0








 dw
w
senwxwx
xf

Se obtiene 
 
1 
1 si 
10 
 cos
)(
0 













 

xsi
x
xsi
dw
w
senwxwx
xf 
 
 
 
)(
0






 

dw
w
senw
xf 
 
 
 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES (EDP) 
 
24.– Obtiene en cada caso las ecuaciones en derivadas parciales cuyas soluciones generales son las 
funciones arbitrarias siguientes: 
a) )()( yxfyxz  b) )(xyfu  c) )()( yxgyxfu  
 
e) )32( xyfez x  f) )2()2( yxgyxfz  
 
25.– Encontrar la ecuación diferencial de la familia de todos los planos que pasan por el origen de 
coordenadas. La ecuación correspondiente a esta familia es: 
 
0),,(  czbyaxzyxf 
 
26.- Determina la solución general da las siguientes ecuaciones 
a) 1





y
u
x
u
 b) 2),( ,0 xxxu
y
u
x
x
u
y 





 c) c
y
z
b
x
z
a 















 
 
d) u
y
u
x
u






2 e) u
y
u
x
u
x 





 f) 222 z
y
z
y
x
z
x 





 
27.- Obtiene la solución general de la ecuación diferencial yx
y
z
zx
x
z
zy 222 





, y determina, si existe 
la superficie integral que contiene la curva intersección de las superficies 0 ,123  zyx . 
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28.- Para cada ecuación del punto 13 determinar, si existe, la superficie integral que incluye la línea recta 
x= y = z. 
 
29.- Resuelve, empleando separación de variables, los siguientes problemas con condiciones de frontera 
e iniciales. Resuelve los ejercicios explicando cada uno de los pasos propuestos. 
 
a) xexuu
y
u
x
u 53)0,( ,2 





 b) xexu
x
u
t
u 28)0,( ,3 





 
 
 
 ECUACION DE CALOR Y ECUACION DE ONDA 
 
30.- Comprueba que el problema de valores de frontera: 0)()0( ),()(  LXXxXxX  tiene 
soluciones triviales cuando 0 ó 0 
 
31.- Una barra metálica de 100 cm de longitud tiene sus extremos x = 0 cm y x = 100 cm mantenidos 
a 0° C. Inicialmente, la mitad derecha de la barra está a 0°C, mientras que la otra mitad está a 80° C. 
Asumiendo una difusividad de 0,20 unidades cgs y una superficie aislada, encuentre la temperatura en 
cualquier posición de la barra en cualquier tiempo. 
 
32- Escribe un enunciado para las siguientes ecuaciones de calor correspondientes a un problema con 
condiciones en la frontera y resuelve: 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Coeficientes de difusividad térmica a2 [cm2 /seg ] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
33.- Temperatura estacionaria y temperatura transitoria 
Considera una varilla aislada lateralmente con una temperatura inicial )()0,( xfxu  que tiene 
temperaturas fijas en sus extremos 
  BAtu  tL,uy ),0( 
a) Se ha observado empíricamente que cuando t , ),( txu tiende a una temperatura estacionaria 
)(xuss es la solución del problema con condiciones en los extremos siguientes: 
Material a
2
[cm
2
/s] 
Plata 1,71 
Cobre 1,14 
Aluminio 0,86 
Hierro 0,15 
Hierro de Fundición 0,12 
Granito 0,011 
Concreto 0,005 
Ladrillo 0,0038 
Agua 0,00144 
xsenxu
tutu
tπx
t
u
x
u
c
x
3)0,(
0),( 0),0(
0 0 
2
2
2








 
senxxu
tutu
tπx
t
u
x
u
c
x








)0,(
0),( 0),0(
0 0 
2
2
2
 
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BLA
x
uss 


)(u , )0(u , 0 ssss2
2
 
Encuentra )(xuss 
 
b) Se define la temperatura transitoria ),( txutr como )(),(),( xutxutxu sstr  . Demuestra que utr 
satisface el problema con condiciones en la frontera 
  )()()()0,(u , 0,u),0(u 
,
trtrtr
2
2
2
xuxfxgxtLt
x
u
a
t
u
ss
trtr






 
 
34.- Considere una varilla lateralmente aislada, con longitud L= 50 y difusividad térmica igual a 1, y 
satisface la condición de frontera 100),(,0),0(  tLutu y la condición inicial 0)0,( xu . Halla la 
distribución de temperatura ),( txu 
 
35.- Hallar la temperatura ),( txu de una varilla de longitud 2, que coincide con el eje x en el intervalo 
[0,2]. El extremo izquierdo se mantiene a temperatura constante de 5 °C y el derecho a 10 °C. La 
temperatura inicial en toda la varilla es xxf 2)(  
 
36.- A una cuerda tensa de longitud L fija en sus extremos se le comunica, cuando se encuentra en su 
posición de equilibrio, una velocidad inicial xxg )( . Determina el movimiento que adquiere la cuerda 
en función de x y de t si 100
2 
w
Tg
c , donde T es la fuerza que presiona la cuerda, g es la aceleración 
de la gravedad y w es el peso de la cuerda por unidad de longitud. 
 
37.- Sea la ecuación de las ondas: 






tx
t
u
x
u
c 0 ,0 
,
2
2
2
2
2 
 
 
Hallar la solución por separación de variables en cada uno de los siguientes casos: 
 
a)         00, ,0 0,,0 1 3  xuxsentututuc t 
 
b)         30, 00, 0,,0 1 x
L
senxuxutLutuc t 







 
 
 
38.- La ecuación 0 ,0 ,0 22  tLxuaubu xxttt sirve para modelar una cuerda vibrante teniendo 
en cuenta la resistencia del aire. Encuentre la solución formal del problema de frontera de esta ecuación 
de onda amortiguada si los otros extremos de la cuerda permanecen fijos y la cuerda sufre un 
desplazamiento dado por Lxf(x), 0 , sin velocidad inicial en t = 0 y 
L
ab 22  , a es una constante 
positiva. 
 
 
 DIFERENCIAS FINITAS 
 
39.-- Plantea las ecuaciones en diferencias y las condiciones correspondientes para aproximar la solución 
del siguiente problema de contorno 
 
clase 19 - inicio
FOURIER EDP TF y DF Segundo Cuatrimestre 2020MATEMATICA PARA INGENIEROS Ing. Adriana M. Apaza (Prof. Adj.) 
 
20 ,10 4
2
2
2
2






yx
y
u
x
u
 
 
    20 1),1( ),0( ,10 2)2,( )0,( 2222  yyyuyyuxxxuxxu 
 
Usa h = k = 0,5 para definir la malla y los puntos de malla y construya el sistema de ecuaciones que 
deben resolverse para obtener la solución. 
Escribe el sistema matricialmente y resuelve (puedes emplear software). 
 
40.- Plantea las ecuaciones en diferencias y las condiciones correspondientes para aproximar la solución 
del siguiente problema de contorno 
 
10 ,10 0
2
2
2
2






xy
y
u
x
u
 
 
10 ),1( 0),0( ,10 )1,( 0)0,(  yyyuyuxxxuxu 
 
Use h = k = 0,25 y compare los resultados con la solución xyyu(x ), y con los primeros cinco 
términos de la solución en Serie de Fourier. 
 
41.- Usa el método de diferencias progresivas para aproximar la solución de las siguientes ecuaciones 
diferenciales parciales parabólicas. 
 
a) 20 2)0, ,0 020 0200
2
22






xxsenu(xt,t)u(,t)u(,, tx 
x
u
t
u
 
 
Usa h = 0,1 y k = 0,01 y compara tus respuestas en t = 0,5 con la solución real. 
Usa ahora h = 0,1 y k = 0,005 y compara las respuestas. 
 
b) 0 ,20 0
2
2






tx
x
u
t
u
 , 0 020  t,t)u(,t)u( , 20 )2()0,  xxxu(x 
 
Usa h = 0,1 y elije un valor apropiado de k. Compara tus respuestas con los cinco términos de la Serie de 
Fourier de la solución en t = 0.5. 
 
c) 0 ,40 0
4
2
2
2






tx
x
u
t
u

, 0 040  t,t)u(,t)u( ,
40 
4
cos21
4
0 





 xxxsen)u(x,

 
 
Usa h = 0,2 y k = 0,04. Compara tus respuestas con la solución real 
4,0 
42
 4 
 tenxsenexseneu(x,t)
tt  
 
42.– Aproxima la solución de la ecuación de onda 
 
10 2)0, ,0 010 0100
2
2
2
2






xxsenu(xt,t)u(,t)u(,, tx 
x
u
t
u
 
FOURIER EDP TF y DF Segundo Cuatrimestre 2020 
 
 MATEMATICA PARA INGENIEROS Ing. Adriana M. Apaza (Prof. Adj.) 
 
,10 )0,( 


xxsenx
t
u
 
Con m = 4, N = 2 y T = 0,5. 
 
43 – Aproxima la solución txsent)u(x cos ,  de la ecuación de onda 
 
0 ,10 0
2
2
2
2






tx
x
u
t
u
 
 
 ,0 010  t,t)u(,t)u( 10 )0,  xxsenu(x  , 
,10 0)0,( 


xx
t
u
 
 
Con a) h = 0,1 y k = 0,05 b) h = 0,05 y k = 0,1 y c) h = 0,05 y k = 0,05 
Compara los resultados con la solución exacta en t = 0,5. 
 
44.- Repite el ejercicio 60 usando la aproximación 
 
 ,...,1,0 )( w 0,i,1 mixkgw ii  
 
45 – Dado el problema de valores iniciales 
  )()0, , 010 0100
2
2
xfu(x,t)u(,t)u(,, tx usenxt
x
u
t
u






 
 
Este problema no se puede resolver por separación de variables ni por medio de transformadas 
integrales. Encuentra la ecuación en diferencias y las condiciones de contorno e iniciales que permitirán 
aproximar la solución. Propone formula de recurrencia que permitirá resolver aproximadamente. 
 
46.- Consideremos el problema de la ecuación de onda bidimensional 
 
C sobre 0 D, 0
2
2
2
2
2
2









u en
y
u
x
u
t
u
 
 
  Denyx
t
u
Denyxfyxu 00,, , ),()0,,( 


 
 
 
 
 
 
 
x 
y 
D 
C 
D es el triángulo rectángulo isósceles tal que x > 0, y > 0, x+y < 1. 
 
Encuentra la ecuación en diferencias y las condiciones de contorno e 
iniciales que permitan aproximar la solución. 
 
Propone la fórmula de recurrencia correspondiente.