SoluciónParcial_3 Calculo_Integral_20162

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1. Determinar la longitud del arco 𝑥 =
2
3
(𝑦 − 1)3/2; de 𝑦 = 1 hasta 𝑦 = 5 
Solución: Como la curva está dada por 𝑥 = 𝑓(𝑦) =
2
3
(𝑦 − 1)3/2 entonces 
𝐿 = ∫ √1 + [
𝑑𝑥
𝑑𝑦
]
2
𝑑𝑦
𝑑
𝑐
 
 Pero 
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= (𝑦 − 1)1/2 ⇒ [
𝑑𝑥
𝑑𝑦
]
2
= (𝑦 − 1) ⇒ √1 + [
𝑑𝑥
𝑑𝑦
]
2
= √1 + (𝑦 − 1) = 𝑦1/2 Luego la 
longitud de arco es 
𝐿 = ∫ 𝑦1/2𝑑𝑦
5
1
 = [
2
3
𝑦3/2]
1
5
 = 
2
3
(√53 − √13) = 
2
3
(5√5 − 1) ≈ 6.79 Unidades 
lineales 
 
 
2. Encuentre el volumen de un tetraedro que tiene tres caras mutuamente 
perpendiculares si las tres aristas mutuamente perpendiculares tienen 
medidas a, b y c. 
 
Solución: 
La figura muestra el tetraedro, donde la sección plana perpendicular al eje 𝑋 
es un triángulo rectángulo, el área de este triángulo está dada por 
𝐴(𝑥) =
𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
=
𝑔(𝑥) × 𝑓(𝑥)
2
 
 
 
 
Utilizando pendiente y ecuación de una recta conocidos dos puntos se obtiene 
𝑦 = 𝑓(𝑥) = −
𝑎
𝑐
𝑥 + 𝑎 y 𝑧 = 𝑔(𝑥) = −
𝑏
𝑐
𝑥 + 𝑏 por lo tanto 
𝐴(𝑥) =
(−
𝑏
𝑐
𝑥+𝑏)×(−
𝑎
𝑐
𝑥+𝑎)
2
=
𝑎𝑏
2𝑐2
𝑥2 −
𝑎𝑏
𝑐
𝑥 +
𝑎𝑏
2
. Luego 
𝑉 = ∫ (
𝑎𝑏
2𝑐2
𝑥2 −
𝑎𝑏
𝑐
𝑥 +
𝑎𝑏
2
)
𝑐
0
𝑑𝑥 = (
𝑎𝑏
6𝑐2
𝑥3 −
𝑎𝑏
2𝑐
𝑥2 +
𝑎𝑏
2
𝑥]
0
𝑐
 
=
𝑎𝑏𝑐
6
−
𝑎𝑏𝑐
2
+
𝑎𝑏𝑐
2
=
𝑎𝑏𝑐
6
 Unidades cúbicas 
 
 
 
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA 
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales 
Instituto de Matemáticas 
Cursos de Servicios para Ingeniería y/o 
Facultad de Química Farmacéutica 
2016-2 
 
 CALIFICACION 
ALUMNO: SOLUCION Carné: 
Asignatura: Cálculo Integral Profesor: Jorge Iván Londoño 
Parcial # 3 Valor: 25% Fecha: 20 de octubre 
3. Encuentre el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del 
eje 𝑋, la región limitada por las curvas 𝑦 = 𝑒−𝑥, 𝑥 = 1 y 𝑦 = 1 
Solución: 
En la figura se muestra la región a rotar para hallar el volumen 
 
Como la rotación es alrededor del eje del eje 𝑋, El volumen se puede hallar 
por arandelas, con 𝑓(𝑥) = 1 y 𝑔(𝑦) = 𝑒−𝑥 es decir 
𝑉 = 𝜋 ∫ [(𝑓(𝑥))2 − (𝑔(𝑥))2]𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝜋 ∫ [(1)2 − (𝑒−𝑥)2]𝑑𝑥
1
0
= 𝜋 ∫ [1 − 𝑒−2𝑥]𝑑𝑥
1
0
 
 = 𝜋 [𝑥 +
1
2
𝑒−2𝑥]
0
1
= 𝜋 [(1 +
1
2
𝑒−2) − (0 +
1
2
𝑒0)] =
𝜋
2
[𝑒−2 + 1] ≈ 1.7834 
Unidades cubicas 
 
 
4. Hallar el centroide (�̅�, �̅�) de la región limitada por las curvas 𝑦 = 𝑥2, 𝑥 = 𝑦2 
Solución: Al reemplazar la ecuación de la parábola horizontal en la ecuación 
de la vertical se obtiene 𝑦 = 𝑦4 ⇒ 𝑦4 − 𝑦 = 0 ⇒ 𝑦(𝑦3 − 1) = 0 
⇒ 𝑦 = 0; 𝑦 = 1 ⇒ 𝑥 = 0; 𝑥 = 1 
En la figura se muestra la región con los puntos de intersección y las 
funciones que la encierran. 
 
El área de la región es 
𝐴 = ∫ [√𝑥 − 𝑥2]𝑑𝑥
1
0
= [
2
3
√𝑥3 −
1
3
𝑥3]
0
1
=
2
3
−
1
3
=
1
3
 
El momento de masa total respecto al eje 𝑌 es 
𝑀𝑦 = ∫ 𝑥[√𝑥 − 𝑥2]𝑑𝑥
1
0
= ∫ [√𝑥3 − 𝑥3] 𝑑𝑥
1
0
= [
2
5
√𝑥5 −
1
4
𝑥4]
0
1
=
2
5
−
1
4
=
3
20
 
El momento de masa total respecto al eje 𝑋 es 
𝑀𝑥 =
1
2
∫ [𝑥 − 𝑥4]𝑑𝑥
1
0
= [
1
4
𝑥2 −
1
10
𝑥5]
0
1
=
1
4
−
1
10
=
3
20
 
El centro de masa de la lámina está dado por (�̅�, �̅�) donde 
�̅� =
𝑀𝑦
𝐴
=
3
20
1
3
=
9
20
≈ 0.45; �̅� =
𝑀𝑥
𝐴
=
3
20
1
3
=
9
20
≈ 0.45 
 
 
 
5. Hallar el área de la región limitada por la curva 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥, el 𝑒𝑗𝑒 𝑋 y las rectas 
𝑥 = −
𝜋
2
 y 𝑥 =
𝜋
2
 
 
Solución: 
En la figura se muestra la región. 
 
 
 
 
Como 𝑓(𝑥) ≤ 0 ∀𝑥 ∈ [−
𝜋
2
, 0] y 𝑓(𝑥) ≥ 0 ∀𝑥 ∈ [0,
𝜋
2
], entonces 
 
𝐴 = − ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
0
−
𝜋
2
+ ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋
2
0
= −[−𝑐𝑜𝑠𝑥]
−
𝜋
2
0 + [−𝑐𝑜𝑠𝑥]0
𝜋
2 
= − (−𝑐𝑜𝑠0 + 𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
) + (−𝑐𝑜𝑠
𝜋
2
+ 𝑐𝑜𝑠0) = −(−1 + 0) + (−0 + 1) = 2 Unidades 
cuadradas