factorizacion 2

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por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
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  Factorización	
  (segunda	
  parte)	
  
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
En esta lectura revisaremos la factorización de trinomios, la suma y diferencia de cubos. 
 
Factorización	
  de	
  trinomios	
  de	
  la	
  forma	
   cbxax ++2 	
  
 
Existen diferentes tipos de trinomios: 
 
 
a) Trinomios cuadrados perfectos: son aquellos en los 
que sus dos factores son iguales, es decir, el resultado de 
factorizar es un binomio al cuadrado y lo podemos 
relacionar con el producto notable de binomio al 
cuadrado. 
 
Su forma geométrica es un cuadrado, ya que sus lados 
son iguales. 
 
 
Recordemos que un binomio al cuadrado tiene dos casos: 
 
 (Suma) 222 2)( bababa ++=+ 
 (Resta) 222 2)( bababa +−=− 
 
 
Por lo tanto, un trinomio cuadrado perfecto es el que 
cumple con la característica de que sus extremos se 
encuentran al cuadrado y el término de en medio es el 
doble del producto de las raíces cuadradas de sus 
extremos. Como resultado, tendremos un binomio al 
cuadrado. 
 
 
222 )(2 bababa +=++ 
222 )(2 bababa −=+− 
 
 
 
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b) Trinomios cuadrados no perfectos. Son aquellos en 
los que sus factores no son iguales, ya que su forma 
geométrica es un rectángulo y por lo tanto su estructura 
algebraica no está definida del todo ya que se puede 
presentar en dos formas: 
 
• La primera con coeficiente uno en el término cuadrático, es 
decir, de la forma general cbxax ++2 , el valor de 
1=a , por lo tanto, la expresión cuadrática a factorizar 
será cbxx ++2 . 
 
• La segunda cuando el coeficiente del término cuadrático 
es diferente de uno, es decir, la expresión algebraica es: 
cbxax ++2 
 
 
 
Para efectuar la factorización de trinomios existen varios métodos para cada uno de los trinomios. Los 
puedes consultar en cualquier libro que tengas a la mano de álgebra. No obstante, aquí solamente se 
explicará un método con el cual se pueden resolver los tres tipos de trinomios, con el fin de simplificar el 
proceso de factorización. 
 
 
El método es a prueba y error, por lo que te pido que no 
te desesperes en el caso de no encontrar los factores tan 
fácilmente. 
 
 
Comencemos por factorizar el trinomio: 
442 ++ xx 
 
 
Antes de comenzar nos aseguramos que la expresión 
algebraica se encuentre en orden descendente. 
 
 
 
 
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1) El método consiste en 
encontrar dos números que 
multiplicados den el primer 
término incluyendo el signo, 
en este caso: ( )( ) 2xxx = 
 
2) Dos números que 
multiplicados den el tercer 
término, para este caso: 
4)2)(2( = 
 
3) Y al multiplicarse en cruz, 
la suma de los términos debe 
dar el segundo término 
incluyendo el signo, para este 
caso: xxx 422 =+ 
 
 
 
Los factores se tomarán en horizontal. 
 
Por lo tanto, la factorización será: 
)2)(2(442 ++=++ xxxx 
 
Como los dos factores son iguales podemos decir 
22 )2(44 +=++ xxx , por lo tanto, el trinomio es un trinomio 
cuadrado perfecto y es igual a un binomio al cuadrado. 
 
 
 
Veamos otro ejemplo: 
158 2 ++ xx 
 
Primero nos aseguramos que esté en orden descendente: 1582 ++ xx 
 
1) Encontrar dos números 
que multiplicados den el 
primer término incluyendo el 
signo, en este caso: 
( )( ) 2xxx = 
2) Dos números que 
multiplicados den el tercer 
término, para este caso: 
15)3)(5( = 
 
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3) Al multiplicarse en cruz, la 
suma de los términos debe 
dar el segundo término 
incluyendo el signo, para este 
caso: xxx 835 =+ 
 
 
Los factores se tomarán en horizontal: 
 
 
 
 Por lo tanto, la factorización será: 
 
)3)(5(1582 ++=++ xxxx 
 
 
En este caso, los dos factores no son iguales, en 
consecuencia el trinomio no es trinomio cuadrado 
perfecto. 
 
 
Siguiendo el mismo esquema, factoriza: 
 
=+− 562 xx 
 
1) Encontrar dos números que 
multiplicados den el primer 
término incluyendo el signo, en 
este caso: ( )( ) 2xxx = 
2) Dos números que 
multiplicados den el tercer 
término, para este caso: 
5)1)(5( =−− 
 
Observa que los dos números 
tienen que ser negativos para 
que al multiplicarlos den un 
número positivo, y al sumarlos se 
obtenga un número negativo. 
 
3) Al multiplicarse en cruz la 
suma de los términos debe dar el 
segundo término incluyendo el 
signo. Para este caso: 
xxx 65 −=−− 
 
 
 
 
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Por lo tanto, la factorización es: 
 
)1)(5(562 −−=+− xxxx 
 
Factoriza 472 2 −− xx 
 
1) Encontrar dos números que 
multiplicados den el primer 
término incluyendo el signo, en 
este caso: ( )( ) 22 xxx = 
Cumple con la regla. 
2) Dos números que 
multiplicados den el tercer 
término, para este caso: 
4)2)(2( −=− 
Cumple con la regla. 
 
3) Al multiplicarse en cruz la 
suma de los términos debe dar el 
segundo término incluyendo el 
signo. Para este caso: 
 
 xxx 242 −=− 
 
 Aquí el término debe ser x7− 
No cumple con la 
regla. 
No son los 
números correctos 
para factorizar. 
 
 
Realicemos otra prueba. 
 
1) Encontrar dos números que 
multiplicados den el primer 
término incluyendo el signo, en 
este caso: ( )( ) 22 xxx = 
2) Dos números que multiplicados 
del el tercer término, para este 
caso: 4)4)(1( −=− 
 
 
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3) Al multiplicarse en cruz, la 
suma de los términos debe dar el 
segundo término incluyendo el 
signo. Para este caso: 
xxx 78−=− 
 
 Ahora sí cumple, por lo tanto, ya 
se puede factorizar. 
 
 
Ahora ya se puede 
factorizar como: 
 
 
( ) )4(12472 2 −+=−− xxxx 
 
 
Como pudiste darte cuenta, en cada caso es necesario que se cumplan las tres condiciones para 
considerar que el arreglo producirá los factores correctos. 
 
	
  
	
  
Factorización:	
  suma	
  o	
  diferencia	
  de	
  cubos	
  
 
¿Recuerdas los siguientes productos notables? 
 
=+−+ )1)(1( 2 xxx 13 +x 
 
( ) =+−+ 22 469)23( yxyxyx 33 827 yx + 
 
=++− )42)(2( 2 xxx 83 −x 
 
( ) =++− 22 39)3( yxyxyx 3327 yx − 
 
 
 
El producto notable se llama binomio por trinomio y el 
resultado se llama suma o diferencia de cubos, 
dependiendo de si el binomio contiene signo positivo o 
signo negativo. 
 
 
 
De esta relación, podemos afirmar que cuando se tiene una suma o diferencia de cubos, éstas se pueden 
factorizar como el producto de un binomio por un trinomio donde debemos tener ciertas precauciones con 
signos. 
 
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Recuerda las reglas de los binomios por trinomios consultando la figura 1. 
 
 
 
Figura 1. Factorización binomio por trinomio. 
 
El resultado es una suma de cubos: 
 
 
 
 
 
(a+b) (a2-ab+b2) = a3+b3 
 
Figura 2. Producto notable: binomio por trinomio donde el resultado es una suma de cubos. 
 
 
 El resultado es una diferencia de cubos: 
 
 
 
 
 
(a-b) (a2+ab+b2) = a3-b3 
 
Figura 3. Producto notable: binomio por trinomio donde el resultado es una diferencia de cubos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Signo 
Signo 
 
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Ahora observa cómo sería el proceso contrario. 
 
Para una suma de cubos: 
 
 
 
 
 
a3+ b3 = (a+b) (a2-ab+b2) 
 
Figura 4. Factorización: suma de cubos donde la factorización es un binomio por trinomio. 
 
Para una diferencia de cubos: 
 
 
 
 
 
a3 - b3 = (a - b) (a2+ab+b2) 
 
Figura 5. Factorización: diferencia de cubos donde la factorización es un binomio por trinomio. 
 
 
 
Factorizar	
  una	
  suma	
  o	
  diferencia	
  de	
  cubos	
  
 
Lo primero se tiene que hacer es obtener la raíz cúbica de cada uno de los términos. Recuerda que la 
raíz cúbica de un número es un número que se encuentra multiplicado por sí mismo tres veces y, en el 
caso de los exponentes, éstos se dividen entre tres. 
 
Una vez que se obtienen las raíces de los términos, se acomodan en el binomio, de tal forma que: 
 
 
 
 
Figura 6. Factorización binomio por trinomio. 
Signo 
Signo 
 
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Si es una diferencia de cubos, el binomio será una diferencia; pero si es una suma de cubos, el binomio 
será una suma. El segundo factor se obtiene haciendo el cuadrado del primer término (más o menos). Si el 
binomio es suma será menos y si el binomio es resta entonces será más (ver figuras) la multiplicación del 
primer término por el segundo y por último se suma el segundo término al cuadrado. 
 
Observa algunos ejemplos: 
 
=−83a 
 
Determina las raíces cúbicas de cada uno de los términos: 
 
aaa == 3
33 3
 
283 = 
 
Forma los factores de acuerdo a la regla anterior, la cual dice que si es una diferencia, el primer factor será 
una diferencia quedando: 
 
( )2−a 
 
Con base en este factor, se elabora el segundo: 
 
 
 
 
La diferencia de cubos factorizada queda de la siguiente forma: 
 
( )283 −=− aa ( )422 ++ aa 
 
 
Revisa otro ejemplo. 
 
=+ 368 yx 
 
 
 
 
 
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Determina las raíces cúbicas de cada uno de los términos: 
 
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63 6 228 xxx == 
yyy == 3
3
3 3
 
 
 
Forma los factores de acuerdo a la regla anterior, que dice que si es una diferencia el primer factor será 
una diferencia quedando: 
 
( )yx +22 
 
Con base en este factor, se elabora el segundo factor: 
 
 
 
La suma de cubos factorizada queda de la siguiente forma: 
 
( )( )224236 2428 yyxxyxyx +−+=+ 
 
De la misma forma, factoriza los siguientes ejemplos: 
 
Expresión a 
factorizar Raíz cúbica de cada término 
Primer 
factor Segundo factor Expresión factorizada 
=−13x xxx == 3
33 3 113 = ( )1−x )1( 2 ++ xx ( ) )1(1 2 ++− xxx 
 
=+ 38 a 28
3 = aaa == 3
33 3 ( )a+2 )24( 2aa +− ( )a+2 )24( 2aa +− 
96 yx − 2363 6 xxx == 
33
9
3 9 yyy ==
 
( )32 yx −
 
)( 6322 yyxx ++ ( ) )( 632232 yyxxyx ++− 
=+ 9327 ba aaa 3327 3
33 3 ==
 
33
93 9 bbb == ( )33 ba + )39(
632 bbaa +−
 
( ) )39(3 6323 bbaaba +−+
 
=− 273x xxx == 3
33 3 3273 = ( )3−x )93( 2 ++ xx ( ) )93(3 2 ++− xxx 
=+ 333 8bba
 abbaba ==
3
3
3
33 33 bbb 228 3
33 3 == 
( )bab 2+
 
)42( 2222 babba +−
 
( ) )42(2 2222 babbabab +−+ 
 
 
 
 
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Como recordarás, la factorización es una herramienta utilizada para la simplificación de expresiones 
racionales. Observa la siguiente figura: 
 
 
 
Figura 7. Esquema de factorización. 
 
 
 
Para factorizar, te recomiendo que utilices como guía este esquema que es una representación gráfica 
de los métodos de factorización que ya conoces.