FACTORIZACION

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Estado de Guanajuato. 
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 Factorización (primera parte) 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
 
Hay que recordar que la factorización es el proceso 
contrario a la multiplicación. Para realizarlo se tienen 
diferentes procedimientos. 
 
 
En esta lectura revisaremos factorización por: 
 
 Factor común 
 Factorización por agrupación 
 Diferencia de cuadrados 
 
 
Factor común 
 
¿Podrías formar un rectángulo con dos cuadros de 
2xÁrea  y cuatro rectángulos de xÁrea  ?, ¿cuánto 
medirán sus lados? 
 
Existen varias formas de acomodar un rectángulo que contenga xx 42 2  . Una de ellas aparece a 
continuación. Para este caso su base es 2x y la altura x2 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Es decir, si multiplicamos:    xxxx 4222 2  
 
Por lo tanto, los factores de xx 42 2  son:   xx 22 
 
 
 
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En el ejercicio anterior, usamos rectángulos y cuadrados 
como apoyo para analizar el significado del proceso de 
factorización, sin embargo, el álgebra es una disciplina 
que proporciona métodos analíticos más poderosos y 
rápidos que te permitirán factorizar expresiones 
algebraicas complicadas. 
 
 
Observa las siguientes expresiones algebraicas. ¿Qué tienen en común los términos de la expresión? 
 
 
 
 
 
Los términos en común pueden ser números, literales o 
cualquier combinación de ellas, la única restricción es que 
deben estar contenidos en todos los términos de la 
expresión algebraica. 
 
 
 
 
Cuando en una expresión algebraica se localizan términos 
‘en común’, a éstos se les conoce como factor común y 
se usan para factorizar la expresión. 
 
 
 
 
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Revisa los siguientes ejemplos para que veas cómo se maneja este concepto. 
 
Ejemplo: 
 
Factoriza 
725345 1284 yxyxzyx  
 
Comencemos con los coeficientes. 
 
¿Qué factores tienen en común? 
 
 
 
 
En los números 4 8 y 12, el 2 y el 4 son factores comunes 
de los tres coeficientes, es decir, 4 8 12 se puede dividir 
entre 2, pero también se pueden dividir entre 4. 
 
 
 
¿Cómo sabemos cuál escoger? 
 
En el caso de los coeficientes, se escoge el máximo entero que pueda dividir a cada uno de los 
coeficientes. Para el ejemplo, el 4 es el máximo entero. 
 
Con respecto a las literales, ¿qué variables se encuentran en los tres términos? 
 
725345 1284 yxyxzyx  
 
Observa lo siguiente: 
 
‘ x ’ se encuentra en los tres términos: 
 
Sin embargo, la x se encuentra elevada a tres potencias diferentes: 235 , xyxx 
 
 
¿Cuál de las tres se debe elegir? 
 
La potencia menor es la que puede dividir a cada uno de los términos, es decir, 
2x puede dividir a 
235 , xyxx . Por lo que se elige x2 como parte del factor común. 
 
 
 
 
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¿Es la única variable que se encuentra repetida? 
 
Por supuesto que no, la y también se encuentra repetida en los tres términos: 
 
 
 
¿Cuál de las tres potencias de y se debe tomar como factor común? 
 
Con base en lo que acabamos de revisar, la potencia debe ser:
4y 
 
¿Y podemos tomar a la z como factor común? 
 
No podemos tomarla, ya que sólo se encuentra en un término. 
 
Hasta el momento únicamente hemos determinado el factor común, que en este caso sería: 
424 yx 
Recuerda que este factor debe ser el máximo. 
 
 
¿Cómo encontramos el otro factor? 
 
El máximo factor común es un término que puede dividir a cada uno de los términos de la expresión que se 
va a factorizar, así que dividiendo la expresión original entre el factor común, tenemos que: 
 
33
42
725345
122
4
1284
yxyzx
yx
yxyxzyx


 
Por lo tanto, los factores de 
725345 1284 yxyxzyx  son el máximo factor común por el resultado de la 
división de la expresión entre el máximo factor común, es decir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Puedes decir que un término ax
n es un máximo factor 
común (MFC) de un polinomio si: 
1) a es el máximo entero que puede dividir a cada uno de 
los coeficientes del polinomio. 
2) n es el mínimo exponente de x en todos los términos 
del polinomio. 
 
 
Obtener un factor común en un polinomio requiere la aplicación de las propiedades distributivas y 
simétricas de la igualdad. Es decir, si tenemos ayaxyxa  )( , por lo tanto, en forma inversa será: 
)( yxaayax  
 
Veamos algunos ejemplos: 
 
 
 
Expresión 
 
Máximo 
factor 
común 
(MFC) 
 
Polinomio entre MFC 
Expresión 
factorizada 
(es la multiplicación del 
factor común por el 
resultado de la división) 
dabaa 243  2a 
dbaa
a
dabaa

 2
243
2
 
 dbaaa  22 
32821624 baabba  ab4 
224
4
32821624
abba
ab
baabba


 




  2244 abbaab 
yxx 2412218  
6 


6
2412218 yxx
yxx 4223  




  yxx 42236 
 
522335 21147 yxyxyx  
 
227 yx 
 
33
22
522335
32
7
21147
yxyx
yx
yxyxyx

 
 
)32(7 3322 yxyxyx  
 
 
Puedes comprobar que la expresión está correctamente factorizada si al multiplicar los factores obtienes la 
expresión original, es decir: 
 
Si dabaa 243  =  dbaaa  22 , entonces:   dbaaa 22 dabaa 243  
 
 
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Observa las siguientes expresiones algebraicas, ¿qué tienen en común los términos de la expresión? 
 
Expresión Factor común 
)2(2)2(  xxx )2( x 
 
)()(2 bacbaab  )( ba  
 
)1()1()1(2  xzxyxx )1( x 
 
 
 
 
En las expresiones anteriores se aprecia que un polinomio 
también puede ser factor común siempre y cuando aparezca 
en todos los términos de la expresión algebraica. 
 
 
 
Tomando en cuenta lo anterior, ¿cómo quedaría la expresión factorizada? 
 
 
Expresión Expresión factorizada Explicación 
)2(2)2(  xxx 
 2)2(  xx 
 
Observa como el factorcomún se mantiene y el otro 
factor se forma con los 
términos que multiplican al 
factor común tomando en 
consideración los signos. 
)()(2 bacbaab  
 cabba  2)( 
 
)1()1()1(2  xzxyxx 
 zyxx  2)1( 
 
 
 
Analiza los siguientes ejemplos. 
 
 
 
 
 
 
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Expresión 
Máximo factor 
común 
(MFC) 
Expresión factorizada: 
Es la multiplicación del factor 
común por los términos que 
multiplican a los factores tomando 
en consideración los signos 
)(3)( yxyxx  )( yx  )3)((  xyx 
)(5)()(24 bababbaa 
 
 ba  



  524)( baba 
2)2(7)2(5)2(2  xyxxxx 2)2( x 
2)2( x 



  yxxxx 5)2(3)2(2 
 
3225 )3(14)3(7  xyxx 
 
2)3(7 x 
 
    32)3(7 52  xyxx 
 
 
Como podemos observar, en los ejemplos anteriores un polinomio también puede ser un factor común. 
Tomando como base esta observación, revisaremos el siguiente método de factorización. 
 
 
Factorización por agrupación 
 
¿Cómo se puede factorizar la expresión 6232  aaa ? 
 
Para comenzar, no podemos decir que se puede factorizar por factor común, ya que en los cuatro términos 
no aparece ninguna variable que se repita, sin embargo, sí se puede factorizar. 
 
 
 
La factorización por agrupación se lleva a cabo cuando no 
se puede realizar la factorización por factor común y 
generalmente tenemos cuatro o más términos. 
 
 
 
Veamos cómo se factoriza: 
 
6232  aaa 
 
Primero agruparemos los términos que tengan factores en común. 
 
 
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Ahora factorizamos por medio del factor común. 
 
En los primeros dos términos, el término que se repite es a : 
 
 
 
 En el segundo par de términos, el factor común es el signo - y el número 2. 
 
Como puedes observar, ahora quedaron dos términos los cuales tienen un factor común, por lo tanto, 
podemos volver a factorizar: 
)2)(3(  aa
 
Por lo tanto, la factorización queda de la siguiente forma: 
6232  aaa = )2)(3(  aa 
Ejemplo 2: Factoriza a ab ax bx2     
 
 
Separamos términos que tengan factor común: 
 
 
 
Factor común a : Factor común x : 
   a a b x a b   
 
 
Volvemos a factoriza por factor común (a+ b): 
  a b a x  
 
De la misma forma, factoricemos los siguientes ejemplos. 
 
 
 
 
 
 
)3(2)3(  aaa
 
 
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Ejemplo 3: Factoriza  nxmxnm 211464 
 
Separamos términos con factor común: 
 nxmxnm 211464 
 
 
Factor común 2: Factor común 7: 
   nmxnm 327 - 322  
 
Factor común (2m - 3n): 
  xnm 7232  
 
 
Ejemplo 4: 
 
 222 7373 abaxxba 
 
 
Observa que necesitamos ordenar los términos para poder agruparlos y obtener así un factor común. 
 xbabaxa 222 7733 
 
 
Después de ordenarlos, debemos separarlos y volvemos a factorizar: 
 xbabaxa 222 7733 
 
 
Factor común: 3a Factor común: signo 27b 
)(7)(3
7733
2
222
xabxaa
xbabaxa


 
 
 
Factor común  xa  
  273 baxa  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Ejemplo 5: 
Factoriza maannam  3313 
 
Ahora tenemos seis términos. En este caso, separamos de dos en dos con término común y 
reacomodamos: 
 
1333  ananmam 
 
 
Factor común m Factor común n : Factor común 1 
 (en este caso se factoriza (observamos que lo que hay 
 el signo para que el factor en común solamente es el 1) 
 sea el mismo en todos los 
 casos) 
 
1333  ananmam 
)13(1)13()13(  aanam 
 
Factor común: )13( a 
  131  anm 
 
 
 
Diferencia de cuadros 
Al inicio de esta lectura comentamos que la factorización es el proceso contrario a la multiplicación. 
¿Recuerdas los productos notables? 
Recordemos algunos: 
9)3)(3( 2  xxx 
25)5)(5( 2  aaa 
2422 4)2)(2( yxyxyx  
22 9)3)(3( bababa  
 
 
 
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Los productos notables son reglas para poder realizar algunas multiplicaciones con características 
especiales. ¿Recuerdas el nombre de estos productos notables? 
 
El producto notable se llama binomio conjugado y el 
resultado se llama diferencia de cuadrados. 
 
¿Recuerdas la regla? 
   22 bababa  
 
Observa que la palabra diferencia implica la operación 
resta y la palabra cuadrados implica que el término está 
elevado al cuadrado, como lo indica la regla. 
 
 
Si estamos diciendo que la factorización es el proceso contrario a la multiplicación, podemos añadir que: 
Si    22 bababa  , entonces:   bababa  22 
Por lo tanto, una diferencia de cuadrados será igual a dos binomios conjugados. 
¿Cómo obtenemos los términos del binomio? 
Como cada término está elevado al cuadrado, ahora aplicamos la operación contraria, es decir, la raíz 
cuadrada de cada término. 
 
 
Recuerda que para poder sacar la raíz cuadrada de un 
número, es necesario buscar un número que multiplicado 
por sí mismo dé como resultado el número que tenemos. 
En el caso de una variable elevada a un exponente, éste 
se divide entre 2. 
 
 
 
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Veamos algunos ejemplos. 
 
Ejemplo: 
 
Factoriza 92 x 
Determina la raíz cuadrada de cada término: 
xxx  2
2
2 
39  
Ya que tenemos la raíz de cada término, los acomodamos como binomios conjugados. Recuerda que son 
dos binomios con los mismos términos pero diferente signo. Es decir: 
 
De la misma forma, analiza la siguiente tabla: 
 
Expresión a 
factorizar 
Determinar lasraíz cuadrada de cada 
término 
Acomodar los términos como 
binomios conjugados 
252 a aaa  2
2
2 525  )5)(5(25
2  aaa 
24 4yx  22
4
4 xxx  yyy 224
2
2
2  )2)(2(4
2224 yxyxyx  
22 9ba  aaa  2
2
2 bbb 339
2
2
2  )3)(3(9
22 bababa  
916 2 a aaa 4416 2
2
2  39    3434916
2  aaa 
)3)(3(92  xxx
 
 
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14 42 yx 2242242 224 xyyxyx  11    121214
2242  xyxyyx 
 
 
 
Recordemos que la factorización es una herramienta que 
nos ayudará a la simplificación de expresiones más 
complejas. Por tal motivo, es importante que te des cuenta 
de que lo primero que se tiene que hacer es identificar, de 
acuerdo a la expresión algebraica, el procedimiento que se 
utilizará para poder factorizar. Por tal motivo, te 
recomiendo lo siguiente: 
 1.- Observa la expresión algebraica y determina si tiene 
factor común en todos sus términos. Si este fuera el caso, 
factoriza por factor común. 
2.- Determina el número de términos: 
* Si tiene cuatro o más términos y no es factor común, 
entonces es conveniente separar los términos de dos en 
dos para que tengan un factor común y realizar la 
factorización por agrupación. 
*Y si tiene dos términos y éstos son una diferencia (resta) 
y los términos están elevados al cuadrado, entonces 
factoriza por diferencia de cuadrados. 
 
 
Te invito a que realices los ejercicios de práctica tomando en cuenta estas recomendaciones.