Taller 3

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Universidad de Antioquia
Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
Instituto de Matematicas Algebra y Trigonometŕıa
Cursos de Servicios para Ude@ Taller-Parcial 3
1. La población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempo t = 0, esta población es de 100000 habitantes. Dar una
fórmula para la población P (t) como función del tiempo t. ¿Cuál es la población después de
(a) 100 años?
(b) 150 años?
2. Sabiendo que log2 5 ≈ 2, 3, calcular aplicando las propiedades del logaritmo.
(a) log2 10,
(b) log2 2, 5,
(c) log2
√
5,
(d) log2 25,
(e) log1/2 20,
(f) log4 0,1
3. Resuelva las siguientes ecuaciones.
(a) 92x( 13 )
x+2 = 27(3x)−2;
(b) log x2 = (log x)2.
4. Desde el suelo vemos el punto más alto de un edificio con un ángulo de 60◦. Nos alejamos 6 metros en ĺınea recta y este
ángulo es de 50◦.¿Cuál es la altura del edificio?
5. Un cultivo se inicia con 8.600 bacterias. Después de 1 hora el conteo alcanza los 10.000.
a) Determine una fórmula para el número de bacterias n(t) despues de t horas.
b) Determine el número de bacterias después de 2 horas.
c) ¿Después de cuántas horas se duplicará el número de bacterias?
6. Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones
2 log2y(x)− 5 logy(x) + 2 = 0
logy(y − 3x) = logy(4)
7. Un piloto vuela en una trayectoria recta durante 1 hora y 30 minutos; después efectua una correción de rumbo dirigiéndose
a 10 grados a la derecha de su curso original y vuela durante dos horas. Si mantiene una velocidad constante de 625
kilometros por hora, ¿a qué distancia se encuentra de su punto de partida?
8. Encuentre la medida en grados y en radianes de un ángulo central α que subtiende un arco de 24 cm en una circunferencia
de radio 4 cm.
9. Resolver para x e y el siguiente sistema de ecuaciones:
2x+ 3y = 13, log (2x− y) + log (2x+ 2y) = 1
10. Un medicamento es eliminado del cuerpo por la orina. Suponga que para una dosis de 10 miligramos, la cantidad A(t)
restante en el cuerpo t horas después está dada por A(t) = 10(0,8)t y que para que el medicamento sea eficaz, al menos
2 miligramos deben estar en el cuerpo. Determine cuándo quedan 2 miligramos en el cuerpo, ¿Cuál es la vida media del
medicamento?
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11. Un túnel para una nueva carretera se ha de cortar a través de una montaña que mide 260 pies de altura. A una distancia
de 200 pies de la base de la montaña, el ángulo de elevación es 36◦ (vea la figura). De una distancia de 150 pies en el otro
lado, el ángulo de elevación es 47◦. Calcule la longitud del túnel al pie más cercano.
12. Resolver la ecuación ln(35−x
3)
ln(5−x) = 3.
13. Se invierten 10, 000 dólares con una tasa de interés del 10 % anual.
a) Si el interés se compone continuamente, cúal será el capital acumulado luego de 4 años?
b) Si el interés se compone mensualmente, en cuánto tiempo se habrá acumulado un capital de 16, 000 dólares?
14. Una escalera de 20 pies se apoya sobre un edificio. Si la base de la escalera está a 6 pies de la base del edificio, ¿ cúal es el
ángulo de elevación de la escalera? ¿Qué altura alcanza la escalera sobre el edificio?
15. Demostrar que para todo ángulo θ se cumple la identidad csc2 θ = 1 + tan2 θ.
16. Un automóvil viaja por una carretera en dirección Este durante una hora. Luego viaja durante 30 minutos por otra
carretera que se dirige al Noreste. Si el automóvil se desplaza a una velocidad constante de 40 Km/h, ¿qué tan lejos está de
su posición de partida al terminar el recorrido?
17. Cuando cierto rascacielos se observa desde lo alto de un edificio de 50 pies de altura, el ángulo de elevación es 59◦ (vea la
figura). Cuando se ve desde la calle junto al edificio más pequeño, el ángulo de elevación es de 62◦.
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18. Use logaritmo natural para despejar x en términos de y:
y =
ex − e−x
ex + e−x
19. Algunas instituciones de préstamo calculan el pago mensual M sobre el préstamo de L pesos a una tasa de intereses r
(expresada en decimales) mediante la fórmula
M =
Lrk
12(k − 1)
a) Encuentre el pago mensual sobre una hipoteca de vivienda de 250 millones de pesos a 30 años si la tasa de interés es
de 8 %.
b) Encuentre el interés total pagado en el préstamo del inciso (a).
20. Resuelva la ecuación log3(3x) = log3(x) + log3(4− x)
21. Desde lo alto de un edificio situado frente a un océano, un observador ve un bote que navega directamente hacia el edificio.
Si el observador está a 100 pies sobre el nivel del mar y si el ángulo de depresión del bote cambia de 25o a 40o durante el
periodo de observación, calcule la distancia que recorre el bote.
22. Resuelva para x las siguientes ecuaciones:
a) log3 x+ log3(x+ 3) = 2
b) e2x − ex − 6 = 0
23. Dos automóviles salen de una ciudad al mimo tiempo, y viajan a lo largo de carreteras rectas que difieren en dirección
por 84o. Si sus velocidades son 60 km/h y 45 km/h respectivamente, a qué distancia están uno del otro al término de 20
minutos?
24. Una suma de $1000se invierte a una tasa interés del 12 % anual. Encuentre las cantidades después de 3 años si el interés
se capitaliza anual, semestral, trimestral, mensualmente y a diario.
25. Una escalera de 4 metros está apoyada contra un edificio. Si la base de la escalera está a 2 metros de la base del edificio.
Cuál es el ángulo de elevación de la escalera y que altura alcanza sobre el edificio?
26. Resuelva el sistema de ecuaciones {
xy = 1010
ylog x = 1025
27. Un piloto vuela en una trayectoria recta durante 1 hora y 30 minutos; después efectúa una corrección de rumbo dirigiéndose
a 10 grados a la derecha de su curso original y vuela durante 2 horas. Si mantiene una velocidad constante de 625 kilómetros
por hora, ¿a qué distancia se encuentra de su punto de partida?
28. Cuánto dinero hay que invertir al 12 % anual compuesto mensualmente para tener cuatro millones de pesos en año y medio?
29. Un depósito está a 325 pies de un edificio. Desde una ventana del edificio se observa que el ángulo de elevación hasta la
parte superior del depósito es de 39◦ y el ángulo de depresión a la parte inferior es de 25◦. ¿Cuál es la altura del depósito
y la altura de la ventana?.
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30. Un piloto vuela en una trayectoria recta durante 1 hora y 30 minutos; después efectúa una corrección de rumbo dirigiéndose
a 10 grados a la derecha de su curso original y vuela durante 2 horas. Si mantiene una velocidad constante de 625 kilómetros
por hora, ¿a qué distancia se encuentra de su punto de partida?
31. Una cierta raza de conejos fue introducida en una pequeña isla hace 8 años y se estima que la población actual es de 4100
conejos con una tasa de crecimiento del 55 % anual.
a) ¿Cuál fue el tamaño inicial de la población de conejos?
b) Estime la población dentro de 12 años a partir de ahora.
32. El profesor Willard Libby, de la universidad de California de Los Angeles, fue distinguido con el premio novel en qúımica
por el descubrimiento de un méodo para determinar la fecha de muerte de un ser viviente. El profesor Libby empleóel
hecho de que el tejido de un organismo vivo está compuesto de dos tipos de carbono: el carbono 14 (14C) radioactivo y el
carbono 12 (12C) estable, de modo que la razón de la cantidad de 14C a la cantidad de 12C es aproximadamente constante.
Cuando el organismo muere la ley de decrecimiento natural se aplica al 14C. Si se determina la cantidad de 14C en un
trozo de carbón vegetal es sólo el 45 % de su cantidad original y la semivida del 14C es de 5730 años. Hace cuanto tiempo
murió el árbol de donde proviene el trozo de carbón vegetal?
33. Dados a, b y x reales positivos y diferentes de 1. Verificar la siguiente igualdad:
bloga x = xloga b
.
34. El radio de una circunferencia mide 15 m. Calcule el ángulo que formarán las tangentes a dicha circunferencia, trazadas
por los extremos de una cuerda de longitud 24 m.
35. Calcule la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto del terreno se observa su copa bajo un ángulo de elevación de
30◦y si nos acercamos 10 m, se observa su copa bajo un ángulo de elevación de 60◦.
36. En medicina se usa el Yodo radioactivo vomo trazador en el diagnostico de enfermedades de la gl’andula de la tiroides.
Este tipo de Yodo se desintegra a raz’on de 8,7 % por dÃa. Si la cantidad inicial de masa inicial es de 6 gramos, encuentre
la vida media del Yodo radioactivo y la cantidad de masa que queda en el cuerpo despu’es de 6 d’ias.
37. Se invierten $5000000 a una tasa de inter’es del 3,75 % anual, capitalizado trimestralmente, encuentre el valor de la inversi’on
despu’es de:
a) 1 a’no
b) 3 a’nos
c) 10 a’nos
38. resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
x+ y = 70
log x+ log y = 3
EXITOS
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