la recta

Vista previa del material en texto

I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
1 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
La	
  recta 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
Pendiente	
  de	
  una	
  recta	
  
 
Antes de comenzar con el estudio de la recta, es necesario que revises el concepto de pendiente. 
¿Qué te imaginas cuando escuchas esa palabra? A continuación ve de qué se trata. 
 
Observa la figura 1 donde observarás lo trazado en el plano cartesiano. 
 
 
Figura 1. Rectas inclinadas. 
 
 
Son dos rectas cualesquiera. ¿Qué diferencia observas entre ellas?, la respuesta es que una está más 
inclinada hacia el eje horizontal mientras que la otra se encuentra menos inclinada. Dicha inclinación 
tiene que ver con el ángulo que forman con el eje de las abscisas. 
 
La figura 2 muestra una recta y el ángulo que forma con el eje de las x. Por lo general, a este ángulo se 
le representa con la letra griega alfa y se le conoce como ángulo de inclinación. 
 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
2 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
Figura 2. Recta inclinada con un ángulo formado con el eje de las x. 
 
De la misma forma, a la tangente del ángulo de inclinación se le denomina pendiente y a esta se le 
representa con la letra m minúscula. Esto es: 
 
 
 
La figura 3 muestra una recta, pero se han identificado dos puntos sobre ella (P1y P2), el ángulo de 
inclinación, el triángulo rectángulo que se forma y la longitud de los lados del triángulo en función de las 
coordenadas de los puntos P1 y P2. 
 
 
 Figura 3. Recta inclinada con un ángulo formado con el eje de las x marcando puntos y distancias específicas. 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
3 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
A partir de la figura y debido a que αtan=m , si se consideran los catetos del triángulo rectángulo de la 
figura, se puede reescribir la fórmula de la pendiente como sigue: 
 
 
 
 
 
 
 
• La fórmula dice el valor de la pendiente cuando se 
conoce el ángulo de inclinación. 
• La fórmula dice el valor de la pendiente cuando se 
conocen las coordenadas de dos puntos cualesquiera 
de la recta. 
 
 
 
Determina la pendiente de una recta cuyo ángulo de inclinación es º30=α . 
 
Solución	
  
 
Si aplicas la fórmula αtan=m , dado que conoces el valor del ángulo de inclinación, tienes: 
 
( )
577.0
º30tan
tan
=
=
=
m
m
m α
 
 
Ejemplo	
  2	
  
 
Determina la pendiente de una recta que pasa por los puntos (2, 5) y (4, 6). 
 
Solución	
  
Si aplicas la fórmula 
12
12
xx
yym
−
−
= , dado que conoces las coordenadas de dos puntos de la recta, 
obtienes: 
 
2
1
24
56
=
−
−
=m 
 
 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
4 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
La pendiente buscada es 
2
1
=m . 
 
 
 
Condiciones	
  de	
  paralelismo	
  y	
  perpendicularidad	
  
	
  
	
  	
  
 
¿Recuerdas el significado de dos recta paralelas? 
¿Y el de rectas perpendiculares? 
 
	
  
 
Estos conceptos muy probablemente no son nuevos, sólo que ahora se definirán aplicando el de 
pendiente que acabas de estudiar. 
 
En la tabla 1 se muestra la gráfica de una pareja de rectas paralelas, la gráfica de una pareja de rectas 
perpendiculares y la condición que deben cumplir sus pendientes para asegurar estos comportamientos. 
 
 
Nombre Gráfica Descripción Condición 
 
Rectas 
paralelas 
 
 
 
Dos rectas son 
paralelas si nunca 
llegan a cruzarse 
 
21 mm = 
 
 
Rectas 
perpendicula
res 
 
 
Dos rectas son 
perpendiculares si 
al cruzarse forman 
un ángulo recto 
entre ellas 
 
121 −=mm 
 
o 
 
2
1
1
m
m −= 
 
Tabla 1. Características de las rectas paralelas y perpendiculares. 
 
La información de la tabla 1 indica que dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales y son 
perpendiculares si su producto es igual a -1. 
 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos. 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
5 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
Ejemplo	
  1:	
  
 
Determina si la recta que pasa por los puntos (1, 2) y (3, 4) es paralela a la recta cuyo ángulo de 
inclinación es º45=α . 
 
Solución	
  
 
Para determinar si dos rectas son paralelas, es necesario encontrar sus pendientes y si éstas son 
iguales entonces son paralelas. 
 
Para la primera recta en donde se conocen dos puntos tienes: 
 
1
2
2
13
24
12
12
==
−
−
=
−
−
=
m
xx
yym
 
 
Para la segunda recta, dado que se conoce su ángulo de inclinación tienes: 
 
1º45tan
tan
==
=
m
m α
 
 
Debido a que las pendientes de las dos rectas son iguales, se comprueba que son paralelas. 
 
 
Ejemplo	
  2	
  :	
  
Determina si la recta con pendiente 
8
1
−=m es perpendicular a la recta que pasa por los puntos (3, -2) y 
(4, 6). 
 
Solución	
  
 
La pendiente de la recta que pasa por (3, -2) y (4, 6) es: 
 
8
1
8
34
)2(6
12
12
==
−
−−
=
−
−
=
m
xx
yym
 
 
Multiplicando las pendientes tienes: 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
6 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
( ) 18
8
1
−=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛− 
 
Con lo que se comprueba que efectivamente son perpendiculares. 
La recta 
 
Ahora que ya has estudiado el concepto de pendiente, es momento de que conozcas la definición de la 
recta. 
 
 
 
Una recta es el lugar geométrico tal que la pendiente 
entre dos puntos que pertenecen a la recta siempre 
es la misma. 
 
 
 
Esta definición está basada en el hecho de que una recta no cambia de pendiente, es decir, su ángulo 
de inclinación es constante. 
 
En ocasiones cuando no se requiere trazar la gráfica de una recta, basta con conocer su ecuación. La 
tabla 2 muestra las distintas formas de la ecuación de una recta. 
 
 
Forma de la ecuación Característica que involucra la ecuación 
Pendiente-ordenada al 
origen y mx b= + 
m pendiente 
b ordenada al origen (intersección 
con el eje de las “y”) 
 
Punto-pendiente )( 11 xxmyy −=− 
m pendiente 
),( 111 yxP un punto de la recta 
Simétrica 
 
x
a
yb
+ = 1 
a abscisa 
(intersección con el eje de las “x”) 
b ordenada al origen (intersección 
con el eje de las “y”) 
 
General 0=++ CByAx No involucra ninguna característica 
 Tabla 2. Formas de la ecuación de la recta (Martínez, 1996). 
 
Ve cómo se pueden obtener estas formas de la ecuación de la recta. 
 
 
 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
7 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
A continuación se presentan algunos ejemplos. 
 
Ejemplo	
  1	
  :	
  
 
Encuentra la ecuación de la recta en su forma general, si la ordenada al origen es igual a 3 y tiene 
pendiente igual a 5. 
 
Solución	
  
 
Datos que 
proporciona el 
problema 
Ecuación que 
involucra los datos 
del problema 
Sustituyendo los 
valores 
3=b y 5=m 
Pasando a su forma 
general 
 
 
 
La ordenada al 
origen es 3=b 
 
La pendiente 5=m 
 
 
 
 
y mx b= + 
 
 
35 += xy 
Para pasar a la forma 
general, la ecuación se 
iguala a cero utilizando 
las propiedades de la 
igualdad 
35 += xy 
como y está sumando 
pasa restando del otro 
lado de la igualdad 
 
035 =+− yx 
Tabla 3. Elementos del problema 1. 
 
La ecuación de la recta en su forma general es 035 =+− yx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
8 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Ejemplo	
  2	
  :	
  
 
Encuentra la ecuación de la recta en su forma general, si pasa por los puntos (2, 1) y (-1, 3). 
 
Solución	
  
	
  
Datos que 
proporciona 
el problema 
Ecuación que 
involucra los datos del 
problema 
Sustituyendo los 
valores 
P1(2, 1) y P2 (-1, 3) 
Pasando a su forma 
general 
 
Dos puntos 
(2,1) y (-1,3) 
 
 
Con dos puntos se 
puede calcular la 
pendiente: 
12
12
xx
yym
−
−
= 
 
Y con la pendiente y 
un punto se puede 
utilizar: 
)( 11 xxmyy −=− 
 
Sustituyendo en la 
fórmula de la pendiente 
3
2
21
13
−
=
−−
−
=m 
 
Con un punto P1(2,1) y 
la pendiente 
3
2
−
=m , 
sustituyes en la 
ecuación 
)2(
3
21 −
−
=− xy 
 
 
Para pasar a la forma general, 
se realizan las operaciones 
necesarias y la ecuación se 
iguala a cero utilizando las 
propiedades de la igualdad.
)2(
3
21 −
−
=− xy 
 
El -3 pasa multiplicando 
( ) )2(213 −=−− xy 
 
Se hacen operaciones 
4233 −=+− xy 
 
Igualando a cero: 
 
43320 −−+= yx 
0732 =−+ yx 
 
Tabla 4. Elementos del problema 2. 
 
La ecuación de la recta en su forma general es 0732 =−+ yx . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
9 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Ejemplo	
  3	
  :	
  
 
Encuentra la ecuación de la recta que tiene como abscisa 3 y como ordenada al origen 7. 
 
Solución	
  
 
Datos que 
proporciona el 
problema 
Ecuación que 
involucra los datos 
del problema 
Sustituyendo los 
valores 
3=a y 7=b 
Pasando a su forma general 
 
Abscisa 3=a , 
ordenada la 
origen 
7=b 
 
x
a
y
b
+ = 1 
 
1
73
=+
yx 
Para pasar a la forma general, se 
realizan las operaciones necesarias y la 
ecuación se iguala a cero utilizando las 
propiedades de la igualdad. 
 
1
73
=+
yx 
Determinas el mínimo común múltiplo y 
efectúas la suma algebraica. 
1
21
37
=
+ yx
 
El 21 pasa multiplicando. 
2137 =+ yx 
El 21 pasa restando. 
02137 =−+ yx 
 
Tabla 5. Elementos del problema 3. 
 
 
La ecuación de la recta en su forma general es 02137 =−+ yx . 
 
Distancia	
  de	
  un	
  punto	
  a	
  una	
  recta	
  
 
En algunas ocasiones es necesario calcular la distancia de un punto a una recta, para ello se utiliza la 
siguiente fórmula: 
 
 
Esta fórmula requiere los coeficientes de la ecuación de la recta en su forma general 0=++ CByAx y 
el valor del punto ),( 111 yxP . 
 
 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
10 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
 
 
 
Recuerda que la distancia es perpendicular a la recta. 
 
 
A continuación se presenta un ejemplo: 
 
Calcula la distancia que hay de la recta 035 =+− yx al punto (1,2). 
 
Solución	
  
 
Comienza por determinar los coeficientes de la ecuación 3,1,5 =−== CyBA y del punto 
21 11 == yyx 
 
 
 
 
Sustituyendo en la fórmula: 
( )
176.1
26
6
1)5(
3)2(1)1(5
2222
11 ==
−+
+−
=
+
++
=
BA
CByAxd
 
 
La distancia que hay del punto a la recta es de 1.176 unidades. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
   	
  
I-MIP7001_M2AA2L1_Cédula 
 
11 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
Referencia	
  
Martínez, M. A. (1996). Geometría analítica. México: McGraw-Hill. 
	
  Bibliografía	
  
Fuller, G. & Tarwater, D. (1999). Geometría Analítica (R. Martínez y A. Rosas, 
trads.). México: Pearson Educación. 
Kindle, J. H. (1999). Geometría analítica (L. Gutiérrez y Á. Gutiérrez, trads.). México: 
McGraw-Hill. 
Ruiz, J. (2008). Geometría analítica. México: Grupo Editorial Patria.