parabola e hiperbola

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GAE-05_M1AA2L3_parabolaehiperbola 
 
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©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
	
  	
  	
  	
   	
  La	
  parábola	
  y	
  la	
  hipérbola	
  
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
Parábola	
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La parábola es una cónica que aparece con mucha frecuencia en la vida cotidiana. Algunas veces de 
forma “natural”, como al lanzar un objeto de manera horizontal o una cuerda que cuelga, ya que ambos 
fenómenos describen una parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2. Hulme Arch & Beetham Tower (Hunt, 
2012). 
 
Figura 1. Paraboliv trajectory (Alexandrov, 2007). 
 
 
 
 
 
Figura 3. Antenna 03 (JMT~commonswiki, 2007.). 
Otras en cambio, se aprovechan sus propiedades para llevar a 
cabo cierta actividad. 
 
Por ejemplo, los faros de un 
automóvil o una antena parabólica 
que también toman la forma de 
una parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. 66marlinFastback white hood nameplate 
and headlights (Ziemnowicz, 2011). 
	
  
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Observa la figura 5: 
 
 
Figura 5. Propiedad de una parábola. 
 
La curva en color verde es una parábola. En la 
imagen se aprecia una de las propiedades de un 
cuerpo parabólico, la propiedad de reflexión. 
Esta propiedad se utiliza en las antenas 
parabólicas en donde una señal de 
radiofrecuencia proveniente de un satélite 
(flechas en color azul) es reflejada por la 
superficie parabólica (superficie verde) y 
redirigidas hacia el punto rojo. El punto rojo se 
conoce como foco de la parábola y justo en ese 
punto es donde se coloca un dispositivo que 
recibe la señal. 
 
 
¿Cómo funciona un faro de automóvil? La misma propiedad que se utiliza en una antena parabólica se 
aplica en un faro de automóvil, sólo que en sentido inverso, esto es, la fuente de luz del faro se dirige 
hacia el reflector parabólico y éste refleja la luz en forma paralela, con esto se consigue darle al haz de 
luz una dirección preferencial. La intensidad de luz obtenida con un sistema que utiliza un reflector 
parabólico también depende del tipo de superficie reflectora que se use. 
 
Definición	
  	
  
 
De acuerdo a Ruiz (2008), parábola tiene la siguiente definición: 
 
 
 
“Una parábola es una curva constituida por puntos del 
plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de 
una recta fija llamada directriz” (p. 266). 
 
 
 
 
 
	
  
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La figura 6 muestra una parábola e incluye sus 
elementos. La directriz se muestra en color azul 
y el foco es el punto rojo. A partir de la 
definición, los segmentos de rectas (líneas rojas 
punteadas) tienen la misma longitud, sin 
importar la posición del punto P (x, y) siempre y 
cuando éste pertenezca a la parábola. 
 
 
Figura 6. Elementos de la parábola. 
 
Parábolas	
  horizontales	
  y	
  verticales	
  
 
Una parábola puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la dirección del eje focal. 
 
• Si una parábola es horizontal su ecuación es: 
 
 
 
§ Si una parábola es vertical su ecuación es: 
 
 
 
Este par de ecuaciones corresponde con parábolas con vértice en el origen. 
 
¿Cuál es el significado de p?, p es la distancia del foco al vértice de la parábola (o la distancia que hay 
del vértice a la directriz) y su valor define hacia donde abre la parábola. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
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En la tabla 1 se muestran la dirección hacia donde abren las parábolas dependiendo del valor de p. 
 
 Parábola horizontal 
pxy 42 = 
Parábola vertical 
pyx 42 = 
 
 
p positivo 
(p>0) 
 
 
p negativo 
(p<0) 
 
Tabla 1. Dirección de la apertura de las parábolas, dependiendo del valor de p. 
A continuación se presentan algunos ejemplos: 
 
Ejemplo	
  1:	
  
 
¿Qué tipo de parábola representa la ecuación xy 122 −= y hacia dónde abre? 
 
Solución	
  
	
  
Debido a que y está al cuadrado, es una parábola horizontal. Luego, al comparar esta ecuación con 
pxy 42 = tienes que: 
 
3
4
12
124
−=
−
=
−=
p
p
p
 
Por lo tanto, abre hacia la izquierda. 
 
 
	
  
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Ejemplo	
  2:	
  
Determina las coordenadas del foco de la parábola xy 122 −= . 
 
Solución	
  
Como 
3
4
12
124
−=
−
=
−=
p
p
p
 
 
Y se trata de una parábola horizontal que abre hacia la izquierda, las coordenadas del foco son F (-3, 0). 
La figura 7 muestra la gráfica de esta parábola. 
 
 
Figura 7. Gráfica de la parábola del ejemplo 2. 
Ejemplo	
  3:	
  
¿Qué tipo de parábola representa la ecuación , y hacia dónde abre? Además bosqueja su 
gráfica. 
 
Solución	
  
Debido a que x está al cuadrado, es una parábola vertical. Luego, al comparar esta ecuación con 
pyx 42 = tienes que: 
 
2
4
8
84
=
=
=
p
p
p
 
yx 82 =
	
  
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Las gráficas que se mostraron en las figuras anteriores sólo son bosquejos, pero si se pretende 
construir una gráfica más exacta, puede recurrirse a un software especializado como Winplot o 
Graphmatica, ambos de uso libre en Internet. 
 
Parábolas	
  con	
  vértice	
  fuera	
  del	
  origen	
  
 
Las ecuaciones de una parábola, horizontal o vertical, con vértice fuera en el punto V (h, k) son: 
 
• Si una parábola es horizontal su ecuación es: 
 
 
 
§ Si una parábola es vertical su ecuación es: 
 
 
 
Este par de ecuaciones es muy parecido a las ecuaciones de las parábolas con vértice en el origen y el 
significado de p es exactamente el mismo. 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos: 
 
Ejemplo	
  1:	
  
¿Qué tipo de parábola representa la ecuación ( ) ( )483 2 −=− yx y hacia dónde abre? Además bosqueja 
sugráfica. 
 
Solución	
  
Debido a que x está al cuadrado, es una parábola vertical. Luego, al comparar esta ecuación con 
( ) ( )kyphx −=− 42 , tienes que: 
 
Como p es positivo, la parábola abre 
hacia arriba. 
 
 
Figura 8. Parábola del ejemplo 3. 
 
 
	
  
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2
4
8
84
=
=
=
p
p
p
 
 
3=h 
 
4=k 
 
 
Como p es positivo, la parábola abre hacia 
arriba. Su vértice es el punto V (3, 4). La figura 
9 muestra el bosquejo de la gráfica. 
 
Figura 9. Parábola que abra hacia arriba y con vértice 
en el punto V (3,s4). 
 
Para determinar las coordenadas del foco, debes considerar que se encuentra situado a una distancia 
p = 2 del vértice. 
 
Ejemplo	
  2:	
  
	
  
A partir de la siguiente gráfica, determina la ecuación de la parábola. 
 
 
 
Solución	
  
Como se trata de una parábola horizontal con vértice en el origen, su ecuación es de la forma 
pxy 42 = . Al observar la gráfica que abre hacia la izquierda y las coordenadas de foco, se puede 
apreciar que p es -3, por lo que: 
xy
xy
pxy
12
)3(4
4
2
2
2
−=
−=
=
 
	
  
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Ejemplo	
  3:	
  
	
  
A partir de la siguiente gráfica, determina la ecuación de la parábola. 
 
 
 
 
Solución	
  
Como se trata de una parábola vertical con vértice en V (-2, 1), su ecuación es de la forma 
( ) ( )kyphx −=− 42 . Al observar la gráfica que abre hacia abajo y que el foco se encuentra localizado 
en F (-2, -3), se puede apreciar que p es -4, por lo que: 
 
( ) ( )
( ) ( )
( ) )1(162
1)4(4)2(
4
2
2
2
−−=+
−−=−−
−=−
yx
yx
kyphx
 
 
Esta ecuación está en forma ordinaria y en forma general queda: 
 
( )
012164
0164164
161644
)1(162
2
2
2
2
=−++
=−+++
+−=++
−−=+
yxx
yxx
yxx
yx
 
	
  
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Por último, el término 4p que aparece 
en la ecuación de las parábolas se 
conoce como lado recto y es la línea 
recta que pasa por el foco, que es 
perpendicular al eje focal. En la figura 
10 se muestra en color azul. 
 
 
Figura 10. Gráfica donde se muestra el lado recto. 
 
Ecuación	
  ordinaria	
  y	
  ecuación	
  general	
  
 
A las ecuaciones estudiadas en esta lectura y que se muestran en la tabla 2, se les conoce como 
ecuaciones en forma ordinaria o simplemente ecuaciones ordinarias. 
 
 Con vértice en el origen Con vértice en V (h, k) 
Horizontal pxy 42 = ( ) ( )hxpky −=− 42 
Vertical pyx 42 = ( ) ( )kyphx −=− 42 
Tabla 2. Ecuaciones ordinarias. 
 
La ecuación general de segundo grado estudiada anteriormente tiene la siguiente forma: 
 
 
 
 En los siguientes ejemplos se muestra la forma de pasar de la forma ordinaria a la forma general. 
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
	
  
 
	
  
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Ejemplo	
  1:	
  
 
Transforma la ecuación ordinaria yx 82 = a la forma general. 
 
Solución	
  
En este caso, basta con igualar con cero la ecuación y tienes: 
 
082 =− yx 
 
Al comparar esta expresión con la ecuación general de las cuadráticas se observa que A = 1 y que E = -
8; el resto de las constantes es igual a cero. 
 
Ejemplo	
  2:	
  
Transforma la ecuación ordinaria ( ) ( )483 2 −=− yx a la forma general. 
 
Solución	
  
	
  
En este caso, es necesario desarrollar el binomio y hacer operaciones algebraicas y luego igualar a cero 
la ecuación: 
( ) ( )
04186
032986
32896
483
2
2
2
2
=+−−
=++−−
−=+−
−=−
yxx
yxx
yxx
yx
 
 
Al comparar esta última ecuación con la ecuación general de las cuadráticas, se puede observar que A 
= 1, B = 0, C = 0, D = -6, E = -8, F = 41. 
 
La ecuación en forma general de las parábolas horizontales y verticales sólo incluye un término al 
cuadrado y el coeficiente B = 0. Si está elevado al cuadrado x, es una parábola vertical; si está elevado 
al cuadrado y, es una parábola horizontal. 
 
Por ejemplo, la ecuación 025432 =+−+ yxx es una parábola (porque sólo x está elevado al 
cuadrado) y es vertical. El término xy de la ecuación general de segundo grado implica que la gráfica ni 
es vertical ni es horizontal, sino inclinada; en este caso sí es posible que aparezca tanto x como y al 
cuadrado. 
 
	
  
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Las aplicaciones de la hipérbola en 
astronomía son específicamente en la 
construcción de espejos hiperbólicos que se 
utilizan en la construcción de telescopios, 
donde aprovechan la propiedad reflexiva de la 
hipérbola. Esta propiedad se puede resumir 
como sigue: 
Figura 11. Telescope (Styles, 2006). 
(a) 
 
(b) 
 
(a) Si un haz de luz se dirige hacia el foco de un espejo hiperbólico, se 
refleja en dirección al otro foco de la hipérbola. 
(b) Si un haz de luz se aleja del foco y se refleja en la superficie 
hiperbólica, la dirección del haz reflejado hace parecer que proviene del 
otro foco. 
 
Otra aplicación es en aeronáutica, en donde se utiliza un sistema de navegación llamado LORAN, que 
está basado en la hipérbola. 
 
De acuerdo con Ruiz (2008): 
 
 
“Una hipérbola es una curva formada por puntos 
del plano para los cuales es constante la 
diferencia de sus distancias a dos puntos fijos 
llamados focos” (p. 342). 
	
  
 
 
 
 
 
 
	
  
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Hipérbola con centro en el origen 
 
Una hipérbola puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la dirección del eje focal. 
 
• Si una hipérbola es horizontal su ecuación es: 
 
 
 
• Si una hipérbola es vertical su ecuación es: 
 
 
 
Este par de ecuaciones corresponden con hipérbolas con centro en el origen y se les conoce como 
ecuaciones en forma ordinaria de la hipérbola. 
 
En la figura 12 se muestran los elementosde la hipérbola, así como el significado y la relación que 
existe entre las constantes a, b y c. 
 
 
 
Figura 12. Elementos, significado y relación entre las constantes a, b y c. 
 
 
 
 
Para que comprendas un poco más las relaciones que existen entre a, b y c, analiza los siguientes 
ejemplos: 
 
 
	
  
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Ejemplo	
  1:	
  
 
Encuentra las coordenadas del vértice y del foco para la hipérbola cuya ecuación es 1
259
22
=−
yx , 
determina de qué tipo es, y la longitud de sus ejes transverso y conjugado. 
 
 
Solución	
  
Al comparar la ecuación con 12
2
2
2
=−
b
y
a
x , se puede determinar que se trata de una hipérbola horizontal 
con centro en el origen. 
 
 
 
Observa que las constantes a y b forman un rectángulo 
característico de la hipérbola y aunque más adelante 
retomarás este rectángulo, por lo pronto, éste ayuda a 
definir la relación entre a y b. En la parte derecha de la 
anterior figura se aprecian los elementos de la hipérbola y 
las constantes a, b y c. 
 
a es la distancia entre el centro y el vértice. 
2a es la distancia de vértice a vértice; a este segmento de 
recta se le llama eje transverso, esto es . 
2b es la longitud del eje conjugado. 
c es la distancia del centro de la hipérbola a los focos y 
también corresponde con la hipotenusa del triángulo 
rectángulo, cuyos catetos miden a y b (ver figura 12). 
 
 
Continuando con el análisis, 
3
92
=
=
a
a 
5
252
=
=
b
b 
A partir de estos valores se puede calcular c. 
83.534
34
259
2
2
222
≈=
=
+=
+=
c
c
c
bac
 
 
Su gráfica es: 
 
 
La longitud del eje transverso es: 
2a=6 
La longitud del eje conjugado es: 
2b=10 
 
Por último, para darle más sentido al rectángulo 
de lados 2a y 2b, la figura que está debajo 
muestra que las diagonales de este rectángulo, 
son en realidad las asíntotas de la hipérbola. 
 
	
  
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Analizando la gráfica se pueden determinar las 
coordenadas de los vértices (puntos en azul) y los 
focos (puntos en rojo). 
 
V1(-3, 0), V2(3, 0) 
F1(-5.83, 0), F2(5.83, 0) 
 
Ejemplo	
  2:	
  
Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es 1
169
22
=−
xy , y bosqueja la gráfica. 
 
Solución	
  
Al examinar la ecuación y compararla 
con la ecuación 12
2
2
2
=−
b
x
a
y , se puede 
observar que se trata de una hipérbola 
vertical con centro en el origen. 
 
 
Continuando con el análisis: 
3
92
=
=
a
a 
4
162
=
=
b
b 
 
A partir de estos valores se puede 
calcular c: 
525
25
169
2
2
222
==
=
+=
+=
c
c
c
bac
 
 
 
Su gráfica es: 
 
 
 
Analizando la gráfica se pueden determinar 
las coordenadas de los vértices (puntos en 
azul) y los focos (puntos en rojo). 
 
V1(0, -3), V2(0, 3) 
F1(0, -5), F2(0, 5) 
 
La longitud del eje transverso es 2a = 6. 
 
La longitud del eje conjugado es 2b = 8. 
 
	
  
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Hipérbola	
  con	
  centro	
  en	
  C	
  (h,	
  k)	
  	
  
 
Una hipérbola puede ser horizontal o vertical, dependiendo de la dirección del eje focal. 
 
Si una hipérbola es horizontal y su centro se encuentra en el punto C (h, k), su ecuación es: 
 
 
Si una hipérbola es vertical y su centro se encuentra en el punto C (h, k), su ecuación es: 
 
 
 
Este par de ecuaciones corresponden con hipérbolas con centro en el punto C (h, k) y se les conoce 
como ecuaciones en forma ordinaria de la hipérbola. 
 
A continuación se presentan algunos ejemplos: 
 
Ejemplo	
  1:	
  
Determina los elementos de la hipérbola cuya ecuación es 
( ) ( ) 1
25
5
16
3 22
=
−
−
− xy
, y bosqueja la 
gráfica. 
 
 
Solución	
  
Al examinar la ecuación y compararla con 
la ecuación 
( ) ( ) 12
2
2
2
=
−
−
−
b
hx
a
ky
, se 
puede observar que se trata de una 
hipérbola vertical con centro en C (h, k), 
en donde h = 5 y k = 3, es decir, las 
coordenadas del centro son: 
 
C(5, 3) 
 
Continuando con el análisis, 
4
162
=
=
a
a 
5
252
=
=
b
b 
 
 
Su gráfica es: 
 
 
 
 
 
 
	
  
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A partir de estos valores se puede 
calcular c: 
4.641
41
2516
2
2
222
≈=
=
+=
+=
c
c
c
bac
 
 
 
 
Analizando la gráfica se pueden 
determinar las coordenadas de los vértices 
(puntos en azul) y los focos (puntos en 
rojo). 
 
V1(5, -1), V2(5, 7) 
F1(5, -3.4), F2(5, 9.4) 
 
La longitud del eje transverso es: 
2a=8 
 
La longitud del eje conjugado es: 
2b=10 
 
 
¿Cómo se determinaron las ordenadas de los focos? Una forma es tomar de 
referencia las coordenadas del centro y de ahí partir, por ejemplo, si la ordenada del 
centro es 3 y la distancia al F1 es 6.4 (hacia abajo), haces: 
4.34.63 −=− 
 
 
Ejemplo	
  2:	
  
 
Determina la forma general de la ecuación de la hipérbola cuya ecuación en forma ordinaria es 
( ) ( ) 1
25
5
16
3 22
=
−
−
− xy . 
	
  
Solución	
  
 
Lo primero que debes que hacer es desaparecer los denominadores, esto se logra multiplicando toda la 
ecuación por (16) (25) = 400, tienes: 
 
( ) ( )
( ) ( ) 400516325
4001
25
5
16
3
22
22
=−−−
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
−
−
−
xy
xy
 
 
Desarrollando los binomios al cuadrado, queda: 
 
( ) ( )
400)2510(16)96(25
400516325
22
22
=+−−+−
=−−−
xxyy
xy
 
 
	
  
GAE-05_M1AA2L3_parabolaehiperbola 
 
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sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
Multiplicando y reduciendo términos, obtienes: 
 
04004001601622515025
400)2510(16)96(25
22
22
=−−+−+−
=+−−+−
xxyy
xxyy
 
 
Reacomodando términos: 
05751501602516 22 =−−++− yxyx 
 
En donde se aprecia que A = -16, B = 0, C = 25, D = 160, E = -150, F = -575. 
 
Al igual que en la parábola o la elipse, el coeficiente B = 0, a menos que la cónica esté girada, es decir, 
que su eje focal no sea paralelo a ninguno de los ejes coordenados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	
  
GAE-05_M1AA2L3_parabolaehiperbola 
 
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Referencia	
  
Ruiz, J. (2008). Geometría Analítica. México: Grupo Editorial Patria. 
Referencias	
  de	
  las	
  imágenes	
  
Alexandrov, O. (2007). Paraboliv trajectory. Recuperada de 
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Parabolic_trajectory.svg (imagen 
de dominio público, de acuerdo a 
http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). 
 Hunt, G. (2011). Hulme Arch & Beetham Tower. Recuperada de 
http://www.flickr.com/photos/raver_mikey/8466911776/ (imagen 
publicada bajo licencia Creative Commons Atribución 2.0 Genérica, de 
acuerdo a http://creativecommons.org/licenses/by/2.0/deed.es). 
JMT~commonswiki. (2007). Antenna 03. Recuperada de 
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Antenna_03.JPG (imagen de 
dominio público, de acuerdo a 
http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). 
Styles, R. (2006). Telescope. Recuperada de http://www.sxc.hu/photo/506683 
(imagen publicada bajo licencia Royalty free, de acuerdo a 
http://www.sxc.hu/help/7_2). 
Ziemnowicz, C. (2011). 66marlinFastback white hood nameplate and headlights. 
Recuperada de 
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Golden_Gate_from_Battery_East
.jpg (imagen de dominio público, de acuerdo a 
http://en.wikipedia.org/wiki/Public_domain). 
	
  Bibliografía	
  
Fuller, G. & Tarwater, D. (1999). Geometría Analítica (R. Martínez y A. Rosas, 
trads.). México: Pearson Educación. 
Kindle, J. H. (1999). Geometría Analítica (L. Gutiérrez y A. Gutiérrez, trads.). 
México: McGraw-Hill. 
Martínez, M. A. (1996). Geometría Analítica. México: McGraw-Hill.