sistems de ecuaciones

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FEC-03_M1AA2L4_Aplicacion 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
1 
 
 Aplicación de los sistemas de ecuaciones 
 
Por: Sandra Elvia Pérez Márquez 
 
 
Cuando se tienen que resolver problemas donde existen varias condiciones y se tienen diferentes 
incógnitas, se puede establecer un sistema de ecuaciones que puede ser resuelto por varios métodos. 
 
 
 
En esta lectura mostraremos sólo algunos ejemplos de 
aplicación, en los cuales se llevarán a cabo los 
siguientes pasos para resolverlos. 
 
 
 
 
Pasos para resolver problemas con sistemas de ecuaciones 
 
Paso 1 
 
Determinar las variables del problema. 
 
Paso 2 
 
Determinar las ecuaciones del problema utilizando el lenguaje algebraico. 
 
Paso 3 
 
Establecer el sistema de ecuaciones. 
 
Paso 4 
 
Seleccionar uno de los siguientes métodos: 
 De eliminación 
 De igualación 
 De sustitución 
 De Cramer 
 
Paso 5 
 
Resolver el sistema de ecuaciones con base en el método seleccionado. 
 
Paso 6 
 
 
Interpretar los resultados obtenidos en las ecuaciones y contestar las preguntas del 
problema. 
 
Paso 7 Comprobar los resultados obtenidos. 
 
 
Tabla 1. Pasos para resolver problemas con sistemas de ecuaciones. 
 
FEC-03_M1AA2L4_Aplicacion 
Versión: Septiembre de 2012 
Revisor: Sandra Elvia Pérez 
 
©UVEG. Derechos reservados. Esta obra no puede ser reproducida, modificada, distribuida, ni transmitida, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o 
sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por 
escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato. 
 
2 
 
Veamos algunos ejemplos: 
 
Ejemplo 1 
 
En el estadio de Irapuato, 72 500 personas entraron a dos 
partidos de futbol. Si en el primer partido entraron 1900 
personas más que en el segundo, ¿cuántas personas 
entraron en cada partido? 
 
 
Figura 1. Football Player 
Stadium Stock Photo (Hinn255 & 
Freedigitalphoto.net, 2012). 
 
Solución: 
 
Primero establecemos cuáles son los valores que estamos buscando y les asignamos una variable. 
 
 Personas que entraron al primer partido  x 
 Personas que entraron al segundo partido  y 
 
De acuerdo a las condiciones del problema, establecemos las ecuaciones: 
 
En los dos partidos entraron 72,500 personas  x + y = 72500 
 
En el primer partido entraron 1,900 personas más que en el segundo partido  1900 yx 
 
El sistema de ecuaciones resultante es: 
 
72500 yx ecuación 1 
1900 yx ecuación 2 
 
 
Este caso se resolverá por el método de sustitución, ya 
que en la segunda ecuación la variable x se encuentra 
despejada. 
 
 
Se sustituye la ecuación 2 en la ecuación 1: 
 
72500 yx 
 
1900y 72500 y 
 
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3 
 
Se despeja la variable y : 
 
1900725002 y 
 
706002 y 
 
35300
2
70600
y 
 
Se sustituye el valor encontrado en la ecuación 2: 
 
1900 yx 
 
37200190035300 x 
 
 
Por lo tanto, la solución al problema es: 
 
Personas que entraron al primer partido  personasx 37200 
Personas que entraron al segundo partido  personasy 35300 
 
 
Los valores deben cumplir con las dos condiciones del problema. 
 
En los dos partidos entraron 72,500 personas  725003530037200  
 
En el primer partido entraron 1,900 personas más que en el segundo partido: 
 
 19003530037200  
 
Ejemplo 2 
 
Durante el estreno de la película Harry Potter, en una 
sala de cine entraron 250 personas. Si los boletos de 
adulto costaron $ 45.00, los de niño $ 35.00, y los 
ingresos por boletos fueron $ 10,500.00; ¿cuántos 
adultos y cuántos niños asistieron a la función? 
 
 
Figura 2. Cine Clapper, Carrete y película 
Palomitas Stock Image (Cooldesign & 
 freedigitalphotos.net, 2013).
 Solución: 
 
Primero establecemos cuáles son los valores que estamos buscando y les asignamos una variable: 
 
 Adultos  x 
 Niños  y 
 
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4 
 Como cada boleto de adulto cuesta $ 45.00, el precio por el número de adultos será la cantidad de 
dinero que se obtuvo por adulto  x45 
 Como cada boleto de niño cuesta $ 35.00, el precio por el número de niños será la cantidad de 
dinero que se obtuvo por niño  y35 
 
De acuerdo a las condiciones del problema establecemos las ecuaciones: 
 
La suma total de los adultos y los niños son 250 personas  250 yx 
 
La cantidad de dinero reunida por adultos y niños es igual a $ 10,500.00  105003545  yx 
 
El sistema de ecuaciones resultante es: 
 
250 yx ecuación 1 
105003545  yx ecuación 2 
 
 
En este caso, el problema se resolverá por el método de 
eliminación. 
 
 
Se multiplica la ecuación 1 por -35 para tratar de eliminar la variable y . 
 
250 yx 
 25035  yx  87503535  yx ecuación 3 
 
Se suman las ecuaciones 2 y 3: 
 
105003545  yx 
 
175010
87503535


x
yx
 
 
Se despeja x 
 
175
10
1750
175010


x
x
 
 
Se sustituye el valor de 175x en la ecuación 1: 
 
250 yx 
 
 
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5 
250175  y 
 
 75175250 y 
 
Por lo tanto, la solución al problema es: 
 
Adultos que entraron al cine adultosx 175 
Niños que entraron al cine niñosy 75 
 
Los valores deben cumplir con las dos condiciones del problema: 
 
La suma total de los adultos y los niños son 250 personas  25075175  
 
La cantidad de dinero reunida por adultos y niños es igual a $ 10,500.00  
 
1050026257875
10500)75(35)175(45


 
 
 
 
Ejemplo 3: 
 
Actualmente la edad de Pedro es un tercio de la edad 
de su mamá. Dentro de cinco años la edad de Pedro 
será tres séptimos la de su mamá. ¿Cuáles son las 
edades de Pedro y su mamá actualmente? 
 
 
Figura 3. Mother Playing With Son 
Stock Photo (Ambro & 
Freedigitalphoto.net, 2011). 
 
 
Solución: 
 
Primero establecemos cuáles son los valores que estamos buscando y les asignamos una variable. 
 
 Edad de Pedro  P 
 Edad de la mamá  M 
 Dentro de cinco años la edad de Pedro  5P 
 Dentro de cinco años la edad de la mamá  5M 
 
De acuerdo a las condiciones del problema,establecemos las ecuaciones: 
 
La edad de Pedro es un tercio la edad de su mamá 
3
M
P  
Dentro de 5 años la edad de Pedro será tres séptimos la de su mamá  )5(
7
3
5  MP 
 
 
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6 
El sistema de ecuaciones resultante es: 
 
3
M
P 
 
ecuación 1 
)5(
7
3
5  MP
 
ecuación 2 
 
 
En este caso, el problema se resolverá por el método de 
igualación. 
 
 
 
Se despeja en la ecuación 2 la variable P : 
)5(
7
3
5  MP 
5)5(
7
3
 MP 
5
7
15
7
3
 MP 
7
20
7
3
 MP
 
ecuación 3 
 
Se igualan las ecuaciones 1 y 3: 
 
7
20
7
3
3
 M
M
 
 
 
Multiplicamos todo por 21mcm 
 
7
420
7
63
3
21
7
20
7
3
3
21 





 M
M
M
M
 
 
6097
6097


MM
MM
 
602  M 
30
2
60



M 
30M 
 
Se sustituye el valor de 30M en la ecuación 1: 
 
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7 
 
10
3
30
P 
 
Por lo tanto, la solución al problema es: 
 
La edad de Pedro: añosP 10 
La edad de la mamá: añosM 30 
 
Los valores deben cumplir con las dos condiciones del problema: 
 
La edad de Pedro es un tercio la edad de su mamá  Si la mamá tiene 30 años una tercera parte es 
10, la edad de Pedro. 
 
Dentro de 5 años, la edad de Pedro será 3/7 la de su mamá  
Dentro de 5 años, la edad de su mamá será 35, por lo que 
7
3
 de la edad de la mamá es 15)35(
7
3
 , 
que es la edad de Pedro. 
 
 
Ejemplo 4 
 
Un editor quiere lanzar a la venta un nuevo concepto de 
revistas. Los costos fijos como la revisión, edición, 
tipografía, entre otros, son de $ 180,000.00 y los costos 
variables como la impresión o las comisiones por ventas son 
$ 12.50 por revista. El precio de venta por mayoreo, es 
decir, la cantidad que recibirá el editor será de $ 28.50 por 
revista. 
 
¿Cuántas revistas debe vender el editor para recuperar los 
gastos y su inversión? Es decir, cuando la cantidad de 
dinero que se reciba por la venta de las revistas (Ingresos) 
sea igual a la cantidad de dinero que se gastó para producir 
la revista (Costo total). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4. Revas.
Solución: 
 
Primero establecemos cuáles son los valores que estamos buscando y les asignamos una variable: 
 
 Ingresos por la venta de revistas  I 
 Número de revistas  n 
 Costo total de la revista  TC 
 El costo variable por revista  n50.12 
 
De acuerdo a las condiciones del problema, establecemos las ecuaciones. 
 
 
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8 
El costo total de la revista es igual a los costos fijos más el costo variable: 
 
 nCT 50.12180000  
 
El ingreso es el precio de venta por el número de revistas nI 50.28 
 
El sistema de ecuaciones resultante es: 
 
nCT 50.12180000  ecuación 1 
nI 50.28 ecuación 2 
 
 
En este caso, a pesar de tener tres variables, la condición 
que se indica en el problema es que los ingresos deben 
ser igual a los costos totales, por lo tanto, debemos 
igualar las dos ecuaciones y resolver el sistema por 
igualación. 
 
 
Se igualan las ecuaciones 1 y 2: 
 
nn 50.2850.12180000  
 
18000050.2850.12  nn 
 
18000050.2850.12  nn 
 
18000016  n 
 
 
11250
16
180000



n 
 
Por lo tanto la solución del problema es: 
 
La cantidad de revistas que se deben vender para recuperar los costos totales es de 11250. 
Después de venderlas se podrá tener ganancias. 
 
Ejemplo 5: 
 
A un veterinario le han solicitado dar una dieta estricta a ciertos 
animales. Cada animal va a recibir, entre otros alimentos, 20 gramos de 
proteína y 6 gramos de grasa. El veterinario puede comprar dos tipos de 
alimentos que tienen la siguiente composición: 
 
Un gramo del alimento Buena vida tiene 10 % de proteína y 6 % de 
grasas, pero un gramo del alimento Vive mejor tiene 20 % de proteína y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 5. Grains And Garlic Stock 
 
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9 
2 % de grasa. ¿Cuántos gramos de cada alimento se deben usar para 
obtener la dieta adecuada para un solo animal? 
 
Photo (Rosemary R. & 
freedigitalphotos.net, 2011). 
 
Solución: 
 
Primero establecemos cuáles son los valores que estamos buscando y le asignamos una variable: 
 
 Alimento Buena vida en gramos  A 
 Alimento Vive mejor en gramos  B 
 
De acuerdo a las condiciones del problema, establecemos las ecuaciones: 
 
El total de proteínas que debe recibir cada animal es 20 gramos. El alimento Buena vida proporciona el 
10 %, y el alimento Vive mejor proporciona el 20%  BA 2.01.020  
 
Por otro lado, el total de grasas que debe recibir cada animal es de 6 gramos. El alimento Buena vida 
proporciona el 6 % y el alimento Vive mejor proporciona el 2 %  BA 02.006.06  
 
El sistema de ecuaciones resultante es: 
 
BA 2.01.020  ecuación 1 
BA 02.006.06  ecuación 2 
 
 
 
En este caso lo resolveremos por el método de 
determinantes. 
 
 
Como puedes observar, las ecuaciones no están de la forma cbyax  , así que primero hay que 
acomodarlas: 
 
202.01.0  BA 
602.006.0  BA 
 
Después encontraremos cada uno de los determinantes, pero como en este caso las variables son A y
B , los determinantes serán de A y B . 
 
 
 
 
 
 
 
 
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10 
 
Determinante del sistema 
 
 
Determinante de A 
A 
 
Determinante de B 
B 
 
 
)2.0)(06.0()02.0)(1.0(
02.006.0
2.01.0







 
 
01.0012.0002.0
02.006.0
2.01.0







 
 
 
)2.0)(6()02.0)(20(
02.06
2.020






A
 
 
8.02.14.0
02.06
2.020






A
 
 
)20)(06.0()6)(1.0(
606.0
201.0






B
 
 
6.02.16.0
606.0201.0






B
 
 
 
Obtenemos los valores de A y de B . 
 
 
Valor de A 
 
Valor de B 
 
 
80
01.0
8.0






 AA 
 
60
01.0
6.0






 BB 
 
 
Por lo tanto, la solución al problema es: 
 
El veterinario debe proporcionar a cada animal 80 gramos del alimento Buena vida y 60 gramos 
del alimento Vive mejor. 
 
Se puede comprobar el resultado verificando las ecuaciones: 
 
Para obtener 20 gr de proteínas, se debe dar 80 gr del alimento Buena vida, que proporciona el 10 % y 
60 gr del alimento Vive mejor, que brinda el 20 %  202.01.0  BA 
 
20)60(2.0)80(1.0  
 
20128  
 
Para obtener 6 gr de grasa, se debe dar 80 gr el alimento Buena vida, que proporciona el 6 %, y 60 gr 
del alimento Vive mejor, que brinda el 2 %  
 
602.006.0  BA 
 
6)60(02.0)80(06.0  
 
 
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11 
62.18.4  
 
 
 
Las aplicaciones de los sistemas de ecuaciones pueden 
darse en cualquier área del conocimiento, sin embargo, 
los sistemas de ecuaciones siguen siendo una 
herramienta que utilizarás como parte de algún proceso 
matemático. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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12 
Referencias de las imágenes 
Cooldesign & freedigitalphotos.net (2013) Cinema Clapper, Film Reel And 
Popcorn Stock Image. Recuperada de: 
http://www.freedigitalphotos.net/images/cinema-clapper-film-reel-and-
popcorn-photo-p190695 (imagen bajo licencia Royalty Free, de 
acuerdo a: http://www.freedigitalphotos.net/images/terms.php). 
Ambro & Freedigitalphoto.net (2011). Mother Playing With Son Stock Photo. 
Recuperada de: 
http://www.freedigitalphotos.net/images/Family_g212-
Mother_Playing_With_Son_p63232.html (imagen publicada bajo 
licencia Royalty Free, de acuerdo a: 
http://www.freedigitalphotos.net/images/terms.php). 
Hinn255 & Freedigitalphoto.net. (2012). Football Player Stadium Stock Photo. 
Recuperada de: 
http://www.freedigitalphotos.net/images/Sports_g372-
Football_Player_Stadium_p84574.html (imagen publicada bajo 
licencia Royalty Free, de acuerdo a: 
http://www.freedigitalphotos.net/images/terms.php). 
Rosemary R. & freedigitalphotos.net (2011) Grains And Garlic Stock Photo 
Recuperada de: 
http://www.freedigitalphotos.net/images/Grains_Nuts_Seeds_g267- 
Grains_And_Garlic_p54700.html (Imagen bajo licencia Royalty Free, 
de acuerdo a: http://www.freedigitalphotos.net/images/terms.php).