Sistema de Barras y Masas Rev A

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Dinámica de Sistemas Materiales Rev. A 
 
UTN - FRH Mecánica Racional 1 
 
Sistema de Barras con Masa Puntuales 
Dado el sistema de barras de la figura constituido por un par de masas m1 y m2 unidas rígidamente 
entre sí por una barra de masa despreciable DE, la cual a su vez se encuentra soldada a un eje AC rígido 
y de masa despreciable, se pide calcular las reacciones de vínculo en la rótula A y el buje C. El sistema se 
encuentra animado de una rotación de velocidad angular constante de magnitud ω = 100 rpm en el eje 
AC. 
Obtener los resultados para las siguientes configuraciones: 
 CASO A CASO B CASO C CASO D 
d1 150 mm 150 mm 150 mm 150 mm 
d2 170 mm 150 mm 170 mm 150 mm 
L1 120 mm 120 mm 120 mm 120 mm 
L2 130 mm 120 mm 130 mm 120 mm 
α 30o 30o 0o 0o 
m1 0,50 kg 0,50 kg 0,50 kg 0,50 kg 
m2 0,75 kg 0,50 kg 0,75kg 0,50 kg 
ω 100 rpm 
 
 
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Análisis Dinámico 
Metodología de la Dinámica de Sistema de Punto Materiales 
Se comienza por conocer la cinemática del sistema, debido a que será necesario conocer las 
velocidades de las masas para el cálculo de sus cantidades de movimiento. 
Se plantea el siguiente modelo físico para la posterior obtención del modelo matemático (tanto 
cinemático como dinámico). 
 
 
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Terna Móvil 
• Origen O1 = B. 
• Eje k1 coincidente con la barra-eje AC. 
• Eje i1 perteneciente al plano de las masas. 
• Eje j1 = k1 ∧ i1 
Estado de Movimiento de la Terna Móvil 
���
�� ���	 = 0��
��	 = 0������� = �. ��	��� = 0��
 
Estado de Movimiento del Sistema de Barras 
���
�� ��� = 0��
�� = 0�������� = �. ��	���� = 0��
 
Estado de Velocidad del Sistema de Barras 
����� = ����� + ������� ∧ �� − �� + ����� = �. !" ∧ �� − �� 
��# = ������ ∧ �$ − %� = �. ��	 ∧ &−'	. ()*+. ,	̆ − '	. ./(+. ��	0 = −�. '	. ()*+. 1	̆ 
��2 = ������ ∧ �3 − %� = �. ��	 ∧ &'4. ()*+. ,	̆ + '4. ./(+. ��	0 = �. '4. ()*+. 1	̆ 
Planteo Dinámico 
Se deben calcular las reacciones de vínculo. Estas se establecen de la siguiente manera: 
- tres reacciones en la rótula; la rótula permite la rotación en cualquier dirección pero no el 
desplazamiento; 
- dos reacciones en el buje superior; el buje impide el desplazamiento en el plano perpendicular a 
su eje (se desprecian los momentos reactivos suponiendo contacto puntual). 
 Las reacciones se deben a las siguientes fuerzas: 
- peso de la masa 1 y de la masa 2; 
- fuerzas de inercia debido al movimiento. 
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Desarrollo de la 1ra. Ecuación Universal 
∑ 6���789 = :;���:9 
Fuerzas Exteriores: 
 Reacción en A: <��= = <=> . ,	̆ + <=?. 1	̆ + <=@. ��	 
Reacción en C: <��A = <A>. ,	̆ + <A?. 1	̆ 
Peso masa 1: B��	 = −C	. D. ��	 
Peso masa 2: B��4 = −C4. D. ��	 
Cantidad de Movimiento del Sistema: 
E�� = ∑ �CF ∙ ��F�HFIJ = C	 ∙ ��	 + C4 ∙ ��4 = C	 ∙ �−�. '	. ()*+. 1	̆� + C4 ∙ ��. '4. ()*+. 1	̆� 
E�� = −C	 ∙ �. '	. ()*+. 1	̆ + C4 ∙ �. '4. ()*+. 1	̆ 
Recordando que la derivada total respecto de una terna móvil se expresa como: 
KL��KM = KL��KM NOPQ + ����� ∧ E�� 
KL��KM NOPQ = 0�� (ya que todas las magnitudes que definen E�� son constantes y no dependen del tiempo) 
KL��KM = KL��KM NOPQ + ����� ∧ E�� = 0�� + &�. ��	0 ∧ �−C	 ∙ �. '	. ()*+ + C4 ∙ �. '4. ()*+�. 1	̆ 
KL��KM = �C	 ∙ �4. '	. ()*+ − C4 ∙ �4. '4. ()*+�. ,	̆ = �4. ()*+. �C	. '	 − C4. '4�. ,	̆ 
Igualando las fuerzas y la variación de la cantidad de movimiento respecto del tiempo: 
∑ R�P>M = KL��KM 
<��= + <��A + B��	 + B��4 = KL��KM NOPQ + ����� ∧ E�� 
<=> . ,	̆ + <=?. 1	̆ + <=@. ��	 + <A> . ,	̆ + <A?. 1	̆ − C	. D. ��	 − C4. D. ��	 = �4. ()*+. �C	. '	 − C4. '4�. ,	̆ 
 
 
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Agrupando las expresiones según las direcciones x1; y1; z1: 
<=> + <A> = �4. ()*+. �C	. '	 − C4. '4� (I) 
<=? + <A? = 0 ∴ TUV = −TWV (II) 
<=@ − C	. D − C4. D = 0 ∴ TUX = �Y" + YZ�. [ (III) 
 
Desarrollo de la 2da. Ecuación Universal 
∑ \����789U = :]����U:9 + ����U ∧ ;��� 
Se toman momentos de las fuerzas exteriores respecto del pto. A debido a que por él pasan tres 
incógnitas (las reacciones en A) no generando estas momento respecto de ese punto. Por esta razón se 
simplifica el análisis matemático. Además, es un punto de referencia fijo, por lo que el segundo término 
de la derecha se anula. 
Dado que los momentos de las fuerzas se tomaron respecto del pto. A, el momento de la cantidad de 
movimiento del sistema deberá tomarse también respecto del mismo punto. 
Momentos de las Fuerzas Exteriores respecto del punto A: 
Momento RA: <��= ∧ �^ − ^� = &<=> . ,	̆ + <=?. 1	̆ + <=@. ��	0 ∧ 0�� = 0�� 
Momento RC: <��A ∧ �^ − _� = &<A>. ,	̆ + <A?. 1	̆0 ∧ `−�a	 + a4�b. ��	 
<��A ∧ �^ − _� = <A>. �a	 + a4�. 1	̆ − <A?. �a	 + a4�. ,	̆ 
Momento P1: B��	 ∧ �^ − $� = &−C	. D. ��	0 ∧ c−�a	 − '	. ./(+�. ��	 + '	. ()*+. ,	̆d 
 B��	 ∧ �^ − $� = −C	. D. '	. ()*+. 1	̆ 
Momento P2: B��4 ∧ �^ − 3 � = &−C4. D. ��	0 ∧ c−�a	 + '4. ./(+�. ��	 − '4. ()*+. ,	̆d 
 B��4 ∧ �^ − 3� = C4. D. '4. ()*+. 1	̆ 
Momento de la Cantidad de Movimiento del Sistema respecto del pto. A: 
e���= = ∑ `�BF − ^� ∧ �CF ∙ ��F�bHFIJ 
e���= = �$ − ^� ∧ �C	 ∙ ��	� + �3 − ^� ∧ �C4 ∙ ��4� 
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e���= = c�a	 − '	. ./(+�. ��	 − '	. ()*+. ,	̆d ∧ `C	 ∙ �−�. '	. ()*+. 1	̆�b + c�a	 + '4. ./(+�. ��	 +'4. ()*+. ,	̆d ∧ `C4 ∙ ��. '4. ()*+. 1	̆�b 
e���= = C	. �a	 − '	. ./(+�. �'	. ()*+�. �. ,	̆ + C	. �'	. ()*+�4. �. ��	 − C4. �a	 +'4. ./(+�. �'4. ()*+�. �. ,	̆ + C4. �'4. ()*+�4. �. ��	 
e���= = �'	. ()*+�. �. `C	. �a	 − '	. ./(+� − C4. �a	 + '4. ./(+�b. ,	̆ + �'4. ()*+�4. �. �C	 + C4�. ��	 
Recordando que para ternas móviles la derivada absoluta se expresa como: 
Kf���gKM = Kf���gKM NOPQ + ����� ∧ e���= 
Nuevamente,e���= no depende del tiempo, por lo que su derivada relativa es nula. 
Kf���gKM = 0�� + &�. ��	0 ∧ c�'	. ()*+�. �. `C	. �a	 − '	. ./(+� − C4. �a	 + '4. ./(+�b. ,	̆ +�'4. ()*+�4. �. �C	 + C4�. ��	d 
Kf���gKM = �'	. ()*+�. �4. `C	. �a	 − '	. ./(+� − C4. �a	 + '4. ./(+�b. 1	̆ 
Igualando la suma de momentos exteriores y el momento de la cantidad de movimiento: 
h i���P>M= = ae���=aj 
i���k== + i���kA= + i���l	= + i���l4= = ae���=aj mOPQ + ����� ∧ e���= 
0��+<A>. �a	 + a4�. 1	̆ − <A?. �a	 + a4�. ,	̆ − C	. D. '	. ()*+. 1	̆ + C4. D. '4. ()*+. 1	̆= �'	. ()*+�. �4. `C	. �a	 − '	. ./(+� − C4. �a	 + '4. ./(+�b. 1	̆ 
 
Agrupando las expresiones según las direcciones x1; y1: 
−<A?. �a	 + a4� = 0 ∴ TWV = n Por lo tanto, de la ecuación (II): TUV = n 
<A>. �a	 + a4� − C	. D. '	. ()*+ + C4. D. '4. ()*+ = �'	. ()*+�. �4. `C	. �a	 − '	. ./(+� −C4. �a	 + '4. ./(+�b 
TW8 = �o".p7qr�.�Z.`Y".�:"so".tupr�sYZ.�:"voZ.tupr�bvY".[.o".p7qrsYZ.[.oZ.p7qr�:"v:Z� 
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Despejando de la ecuación (I): 
<=> = �4. ()*+. �C	. '	 − C4. '4�−<A> 
TU8 = �Z. p7qr. �Y". o" − YZ. oZ� − �o".p7qr�.�Z.`Y".�:"so".tupr�sYZ.�:"voZ.tupr�bvY".[.o".p7qrsYZ.[.oZ.p7qr�:"v:Z� 
 
Resultados: 
<=> = �4. ()*+. �C	. '	 − C4. '4� −�wx.yPHz�.{|.`}x.�Kxswx.~�yz�s}|.�Kxvw|.~�yz�bv}x.�.wx.yPHzs}|.�.w|.yPHz�KxvK|� 
<=? = 0 
<=@ = �C	 + C4�. D 
<A> = �wx.yPHz�.{|.`}x.�Kxswx.~�yz�s}|.�Kxvw|.~�yz�bv}x.�.wx.yPHzs}|.�.w|.yPHz�KxvK|� 
<A? = 0 
 El análisis realizado es para el caso más genérico, sin dar magnitudes a los parámetros geométricos. 
 Reemplazando las magnitudes según los casos, se pueden obtener los siguientes valores de las 
reacciones volcados en la tabla. 
 RAx RAy RAz RCx RCy 
CASO A -2,09 N 0 N 12,26 N 4,15 N 0 N 
CASO B -2,28 N 0 N 9,81 N 2,28 N 0 N 
CASO C 0 N 0 N 12,26 N 0 N 0 N 
CASO D 0 N 0 N 9,81 N 0 N 0 N 
 
 Los resultados negativos, implican que ladirección de la fuerza es opuesta a la planteada en el 
diagrama de cuerpo libre. 
 Para el caso de una configuración simétrica donde d1= d2= d; L1= L2= L y m1= m2= m; las expresiones 
obtenidas de las reacciones toman la siguiente forma: 
<=> = �4. ()*+. �C. ' − C. '� − �w.yPHz�.{|.`}.�Ksw.~�yz�s}.�Kvw.~�yz�bv}.�.w.yPHzs}.�.w.yPHz�KvK� 
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<=> = − �w.yPHz�.{|.`s4.}.w.~�yzb4.K = &w|.yPHz0.{|.}.z~�yK = �4. C. �w|K � . ()*+. ./(+ = �4. C. �w|K � . � 
Donde: � = ()*+. ./(+ 
<=? = 0 
<=@ = 2. m. D 
<A> = �w.yPHz�.{|.`}.�Ksw.~�yz�s}.�Kvw.~�yz�bv}.�.w.yPHzs}.�.w.yPHz�KvK� 
<A> = �w.yPHz�.{|.`s4.}.w.~�yzb4.K = − &w|.yPHz0.{|.}.z~�yK = −�4. C. �w|K � . ()*+. ./(+ = −�4. C. �w|K � . � 
<A? = 0 
Conforme se va variando el ángulo α se puede ver como el coeficiente � cambia en la siguiente gráfica. 
 
 Esto nos dice que para la configuración de las masa alineadas con el eje de rotación (α=0o) no existen 
reacciones laterales, ya que � = 0. Lo mismo sucede cuando las masas se encuentran en el mismo plano 
horizontal (α=90o). Esto es debido a que los momentos de sus cantidades de movimiento se anulan, por 
lo que no existen pares de fuerzas reactivas que los compensen. 
 En el primer caso, los momentos de las cantidades de movimiento son nulos porque no existen brazos 
de palanca respecto del eje de rotación (masas alineadas verticalmente). En el segundo caso, los brazos 
de palanca son idénticos y las velocidades son opuestas, razón por la que los momentos de la cantidad 
de movimiento se anulan respecto del eje de rotación (masas horizontales). En ambos casos, la 
distribución de la masa en torno al eje de rotación es simétrica. 
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
C
o
e
fi
ci
e
n
te
 K
Ángulo α
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 La reacción vertical no cambia en ningún momento debido a que es la reacción estática debida el peso 
de las masas, no hay componente dinámica en esa dirección. Solo cambia de magnitud cuando lo hace la 
masa (0,5 kg →0,75 kg). 
 No olvidar que el análisis hecho hasta acá es respecto a una terna móvil. Para poner las reacciones en 
referencia a un sistema cartesiano fijo, deberá encontrarse la ecuación de transformación entre ambos 
sistemas de referencia. 
 Fácilmente, se puede ver la siguiente equivalencia entre las coordenadas de los sistemas propuestos: 
 
� = �	. cos��. j� � �	. ()*��. j�	 
� 
 �	. sen��. j� � �	. ./(��. j� 
� 
 �	 
����� 
 �
cos��. j� �()*��. j� 0sen��. j� ./(��. j� 00 0 1��
�	�	�	� 
De manera que para las reacciones se tiene: 
�<=�<=�<=�� 
 �
cos��. j� �()*��. j� 0sen��. j� ./(��. j� 00 0 1��
<=><=?<=@� 
<=� 
 <=> . cos��. j� � <=?. ()*��. j� 
 <=> . cos��. j� 
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<=� = <=> . sen��. j� + <=?. ./(��. j� = <=> . sen��. j� 
<=� = <=@ 
�<A�<A�<A�� = �
cos��. j� −()*��. j� 0sen��. j� ./(��. j� 00 0 1� �
<A><A?<A@� 
<A� = <A>. cos��. j� − <A?. ()*��. j� = <A> . cos��. j� 
<A� = <A>. sen��. j� + <A?. ./(��. j� = <A>. sen��. j� 
<A� = <A@ 
 Se puede apreciar la variación de las fuerzas conforme el ángulo α como así también respecto de la 
velocidad angular ω. 
 Para el CASO B: 
 
 Conforme aumenta la velocidad angular, la frecuencia de la reacción aumenta y también lo hace la 
magnitud de la misma debido a que la fuerza centrífuga causada por el movimiento circular uniforme 
depende también de ω. Esto se puede ver en la expresión obtenida para la reacción RCX: 
<A� = <A>. cos��. j� = −�Z. C. �'4a � . �. cos��. j� 
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
0,0 0,1 0,1 0,2 0,2 0,3 0,3 0,4 0,4 0,5 0,5 0,6 0,6 0,7 0,7 0,8 0,8 0,9 0,9 1,0 1,0
Fu
e
rz
as
 -
[N
]
Tiempo - [s]
RCX según ω
RCX RCX-1 RCX-2 RCX-3
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 Los valores de la velocidad angular del gráfico son los siguientes: 
ω = 100 rpm = 10,50 rad/s ω2 = 300 rpm = 31,42 rad/s 
ω1 = 200 rpm = 20,94 rad/s ω3 = 400 rpm = 41,89 rad/s 
 Para la variación del ángulo α: 
 
 Conforme se acerca a los 0o las reacciones se anulan. 
 Los valores dados a los ángulos para el gráfico fueron los siguientes: 
α = 30o α1 = 70o α2 = 80o α3 = 90o 
 Las reacciones en la dirección X se pueden ver desfasadas π rad una de otra, dado que las masas se 
encuentran diametralmente opuestas una de la otra: 
 
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
,0
0
0
,0
5
0
,1
0
0
,1
5
0
,2
0
0
,2
5
0
,3
0
0
,3
5
0
,4
0
0
,4
5
0
,5
0
0
,5
5
0
,6
0
0
,6
5
0
,7
0
0
,7
5
0
,8
0
0
,8
5
0
,9
0
0
,9
5
1
,0
0
Fu
e
rz
as
 -
[N
]
Tiempo - [s]
RCX según ángulo α
RCX RCX-1 RCX-2 RCX-3
-4
-2
0
2
4
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
Fu
e
rz
a 
 -
[N
]
Tiempo - [s]
Reacciones en X
RAX RCX
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UTN - FRH Mecánica Racional 12 
 
Esquemáticamente, los vectores del sistema se dispondrían de la siguiente manera: