1er Parcial matematica aplicada Ejemplos

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UTN FRH – MATEMÁTICA APLICADA 
 
1er. Parcial Turno Noche 08-10-19 
 
APELLIDO NOMBRE: ....................................................................................................................................... 
 
 1 2 3 4 Nota 
 
Todas sus respuestas deben ser justificadas adecuadamente para ser tenidas en cuenta. 
Condición mínima de aprobación (6 puntos): 50% del examen correctamente resuelto. 
1. Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: 
ya sea mostrando un contraejemplo o proporcionando un argumento basado en las herramientas 
teóricas que conoce, según corresponda. 
 
a.- La función 𝒘 =
𝒛𝟐+𝟐𝒊𝒛
𝒛 (𝒛+𝟐𝒊)𝟐
 presenta una singularidad evitable en 𝒛 = 𝟎 y un polo de orden 2 
en 𝒛 = −𝟐𝒊 
 
b.- 𝒘 = √𝟏𝟔(𝒄𝒐𝒔𝟔𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟔𝟎°) → 𝒘 = 𝟐(𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎°) ⋁ 𝒘 = 𝟐(𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟎° +
𝒊𝒔𝒆𝒏𝟐𝟏𝟎°) 
 
2. 
a.- Demuestre que la transformación lineal transforma circunferencias en circunferencias. 
b.- Dada la transformación 𝒘 = 𝒊𝟐𝒛 + 𝟏 + 𝒊, describe que tipo de rotación, homotecia y traslación 
aplica en forma sucesiva a una región del plano z. 
c.- Encuentre la imagen del semiplano 𝒚 − 𝒙 ≤ 𝟏 mediante la transformación lineal 
𝒘 = (𝟏 + 𝒊)𝒛 
3. Represente gráficamente. Indique en cada caso si es un conjunto cerrado o abierto, conexo o 
no conexo. 
a.- [𝑰𝒎(𝒛)]𝟐 > 𝟏 
b.- 𝟏 ≤ |𝒛 − 𝒊| ≤ 𝟑 
 
4. 
a.- Si 𝒘 = 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙; 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙; 𝒚) es analítica entonces que propiedad cumplen las funciones 
𝒖(𝒙; 𝒚) y 𝒗(𝒙; 𝒚) 
c.- Encuentre la función analítica 𝒘 = 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙; 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙; 𝒚) tal que v(𝒙; 𝒚) = 𝟒𝒙𝒚 + 𝟏 y 
𝒇(𝒊) = −𝟐 + 𝒊 
UTN FRH – MATEMÁTICA APLICADA 
 
1er. Parcial Turno Tarde 08-10-19 
 
APELLIDO NOMBRE: ....................................................................................................................................... 
 
 1 2 3 4 Nota 
 
Todas sus respuestas deben ser justificadas adecuadamente para ser tenidas en cuenta. 
Condición mínima de aprobación (6 puntos): 50% del examen correctamente resuelto. 
1. Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: 
ya sea mostrando un contraejemplo o proporcionando un argumento basado en las herramientas 
teóricas que conoce, según corresponda. 
 
a.- La función 𝒘 =
𝒔𝒆𝒏(𝒛)
𝒛 (𝒛−𝒊)𝟑
 presenta una singularidad evitable en 𝒛 = 𝟎 y un polo de orden 3 
en 𝒛 = 𝒊 
 
b.- 𝒘 = √ 
𝒆
𝒊𝝅
𝟑
𝟒
 → 𝒘 = 𝟎. 𝟓(𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎°) ⋁ 𝒘 = 𝟎. 𝟓(𝒄𝒐𝒔𝟐𝟏𝟎° + 𝒊𝒔𝒆𝒏𝟐𝟏𝟎°) 
 
2. 
a.- Demuestre que la transformación lineal transforma circunferencias en circunferencias. 
b.- Dada la transformación 𝒘 = 𝒊𝟑𝒛 − 𝟐 + 𝒊𝟒, describe que tipo de rotación, homotecia y 
traslación aplica en forma sucesiva a una región del plano z. 
c.- Encuentre la imagen del semiplano 𝒙 + 𝒚 ≥ 𝟎 mediante la transformación lineal 
𝒘 = (𝟏 + 𝒊)𝒛 
3. Represente gráficamente. Indique en cada caso si es un conjunto cerrado o abierto, conexo o 
no conexo. 
a.- [𝑹𝒆(𝒛)]𝟐 ≤ 𝟒 
b.- 𝟏 < |𝒛 + 𝟐 − 𝒊| < 𝟐 
 
4. 
a.- Si 𝒘 = 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙; 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙; 𝒚) es analítica entonces que propiedad cumplen las funciones 
𝒖(𝒙; 𝒚) y 𝒗(𝒙; 𝒚) 
c.- Encuentre la función analítica 𝒘 = 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙; 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙; 𝒚) tal que 𝒖(𝒙; 𝒚) = 𝟐𝒙𝟐 − 𝟐𝒚𝟐 y 
𝒇(𝒊) = −𝟐 + 𝒊 
1.- Dada la transformación por inversión 𝑤 =
1
𝑧
 , 
a.- Demuestre que transforma circunferencias en circunferencias. 
b.- Halle la imagen de la recta 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0. Grafique la recta y su imagen. 
c.- Halle la imagen de la circunferencia |𝑧 − 2| = 2 . Grafique la circunferencia y su imagen. 
 
1.- Dada la transformación por inversión 𝑤 =
1
𝑧
 , 
a.- Presente un cuadro sobre las imágenes de 𝑎(𝑥2 + 𝑦2) + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 = 0 mediante la 
transformación por inversión según los valores de a y d. 
b.- Halle la imagen de la recta 2𝑥 − 3𝑦 = 0. Grafique la recta y su imagen. 
c.- Halle la imagen de la circunferencia |𝑧 − 2𝑖| = 2 . Grafique la circunferencia y su imagen. 
 
1.- Dada la transformación por inversión 𝑤 =
1
𝑧
 , 
a.- Demuestre que transforma circunferencias en circunferencias. 
b.- Halle la imagen de la recta 𝑥 + 𝑦 + 1 = 0. Grafique la recta y su imagen. 
c.- Halle la imagen de la circunferencia |𝑧 + 1| = 1 . Grafique la circunferencia y su imagen. 
 
UTN FRH – MATEMÁTICA APLICADA 
 
1er. Parcial RECUPERATORIO 03-12-19 
 
APELLIDO NOMBRE: ....................................................................................................................................... 
 
 1 2 3 4 Nota 
 
Todas sus respuestas deben ser justificadas adecuadamente para ser tenidas en cuenta. 
Condición mínima de aprobación (6 puntos): 50% del examen correctamente resuelto. 
1. Analice si las afirmaciones siguientes son verdaderas (V) o falsas (F). Justifique las respuestas: 
ya sea mostrando un contraejemplo o proporcionando un argumento basado en las herramientas 
teóricas que conoce, según corresponda. 
 
a.- La función 𝒘 =
𝒛𝟐−𝒛
𝒛 (𝒛−𝒊)𝟒
 presenta una singularidad evitable en 𝒛 = 𝟎 y un polo de orden 4 
en 𝒛 = 𝒊 
 
b.- La función 𝒇(𝒙; 𝒚) = 𝒆𝒙 𝒄𝒐𝒔(𝒚) es armónica. 
 
2. 
a.- Demuestre que la transformación lineal transforma circunferencias en circunferencias. 
b.- Dada la transformación 𝒘 = 𝒊𝒛 + 𝟒 − 𝒊, describe que tipo de rotación, homotecia y traslación 
aplica en forma sucesiva a una región del plano z. 
c.- Encuentre la imagen de la circunferencia |𝒛 + 𝟐𝒊| = 𝟐 mediante la transformación lineal 
𝒘 = (𝟏 + 𝒊)𝒛 − 𝟏 
3. Represente gráficamente. Indique en cada caso si es un conjunto cerrado o abierto, conexo o 
no conexo. 
 
a.- [𝑹𝒆(𝒛)]𝟐 > 𝟑 
b.- 𝟏 ≤ |𝒛 + 𝟐𝒊| ≤ 𝟐 
 
4. 
a.- Si 𝒘 = 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙; 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙; 𝒚) es analítica, enuncie y demuestre una de las propiedades 
que cumplen las funciones 𝒖(𝒙; 𝒚) y 𝒗(𝒙; 𝒚) 
c.- Encuentre la función analítica 𝒘 = 𝒇(𝒛) = 𝒖(𝒙; 𝒚) + 𝒊𝒗(𝒙; 𝒚) tal que v(𝒙; 𝒚) = 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝒚 con 
𝒇(𝟎) = 𝟏