ESTADISTICA II UNIDAD 1

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¡Bienvenidos!
Unidad de competencia 1. Teoría de probabilidades.
Conceptos básicos.
Conceptos básicos.
Población:
Conjunto completo de individuos, objetos o medidas que poseen características comunes observables.
Dato:
Números o medidas que han sido recopilados como resultado de observaciones. Ejemplo: No. de alumnos inscritos en la UBA en la carrera de Ingeniería de Sistemas.
 Parámetro:
Cualquier característica de una población que sea medible. Ejemplo: La proporción de alumnos que aprobaron la unidad curricular de Estadística I.
Conceptos básicos.
Estadística inferencial.
Es la parte de la estadística matemática que comprende el estudio de los métodos y procedimientos para la obtención del modelo de probabilidad (forma funcional y parámetros que determinan la función de distribución) que sigue una variable aleatoria de una determinada población, a través de una muestra (parte de la población) obtenida de la misma para sacar conclusiones generales.
La estadística inferencial comprende como aspectos importantes.
La toma de muestras o muestreo
La estimación de parámetros o variables estadísticas.
El contraste de hipótesis.
El diseño experimental.
La inferencia bayesiana.
Los métodos no paramétricos
Conceptos básicos.
Estadística inferencial.
En estadística, un fenómeno aleatorio es aquel que bajo el mismo conjunto aparente de condiciones iniciales, puede presentar resultados diferentes, es decir, no se puede predecir el resultado exacto de cada experiencia particular. (Ej: Lanzamiento de un dado).
Un experimento o fenómeno se dice que es aleatorio cuando genera dos o más resultados posibles, no predecibles. Es todo proceso por medio del cual una observación o medición es registrada.
Fenómenos Aleatorios, Experimento Aleatorio y Determinístico, Variable Aleatoria y Determinística
Se puede observar que cada vez que repitamos un experimento se puede generar toda una población y, si seleccionamos sólo un grupo de estos, conformaríamos una muestra de la población estudiada.
Ejemplo: Al lanzar un dado “normal” (no cargado) no obtendríamos siempre el mismo resultado pero, luego de repetir muchas veces el experimento existirá cierta regularidad en la presentación de los diferentes resultados donde cada uno de ellos se presentará, caprichosamente, en igual magnitud.
 
Fenómenos Aleatorios, Experimento Aleatorio y Determinístico, Variable Aleatoria y Determinística
Características de un fenómeno aleatorio.
 
Fenómenos Aleatorios, Experimento Aleatorio y Determinístico, Variable Aleatoria y Determinística
Es un fenómeno del que no se sabe que va a ocurrir, está relacionado con el azar o probabilidad.
Ejemplo: 
Sí lanzamos una moneda, no sabemos sí saldrá cara o sello.
Sí lanzamos un dado tampoco se puede determinar el resultado que se va a obtener.
 
Fenómenos Aleatorios, Experimento Aleatorio y Determinístico, Variable Aleatoria y Determinística
Fenómeno aleatorio.
Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cuál será el resultado.
Ejemplo: Sí se deja caer una piedra desde la ventana, la piedra caerá, ahora, sí la lanzamos hacia arriba, subirá en un determinado tiempo para después bajar.
 
Fenómenos Aleatorios, Experimento Aleatorio y Determinístico, Variable Aleatoria y Determinística
Fenómeno determinista.
Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cuál será el resultado.
Ejemplo: Sí se deja caer una piedra desde la ventana, la piedra caerá, ahora, sí la lanzamos hacia arriba, subirá en un determinado tiempo para después bajar.
 
Fenómenos Aleatorios, Experimento Aleatorio y Determinístico, Variable Aleatoria y Determinística
Fenómeno determinista.
Una variable aleatoria es una función que asigna un valor, usualmente numérico, al resultado de un experimento aleatorio.
Las variables determinísticas siguen leyes determinísticas. Ejemplo: La distancia (D) que recorre un móvil con velocidad constante V, en un tiempo (T) está dada por:
D=   V x T
Las variables aleatorias siguen leyes probabilísticas. Ejemplo: La precipitación anual de un lugar es una variable aleatoria.
.
 
Fenómenos Aleatorios, Experimento Aleatorio y Determinístico, Variable Aleatoria y Determinística
VARIABLE ALEATORIA Y DETERMINISTICA.
Muestra:
Es un subconjunto de la población, Una muestra puede estar constituida por todos los elementos de la población.
 
Estadística inferencial.
Muestreo, Punto Muestral y Espacio Muestral
Punto Muestral
Es un elemento del espacio muestral de cualquier experimento dado.
 Un espacio muestral “S”, es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento.
 Ejemplo: El espacio muestral correspondiente al fenómeno aleatorio E1 es:
E1: Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior.
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 
Muestreo, Punto Muestral y Espacio Muestral
Probabilidad:
Usaremos la palabra probabilidad cada vez que necesitemos indicar la posibilidad de ocurrencia o no de un evento cualquiera previamente definido.
Recordemos que un objetivo básico de la Estadística es hacer inferencias respecto a la población teniendo como base la información que proporciona la Muestra. Es lógico pensar que la Muestra sólo proporciona una formación parcial de la población pero para poder inferir sobre la naturaleza de un conjunto mayor de datos (la población) recurriremos a un mecanismo que nos permita utilizar esta información parcial:
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
Probabilidad:
En adelante, probabilidad tratará con problemas referidos al azar o aleatorios.
Suceso o Evento “A”: Llamaremos Sucesos o Evento “A” a un subconjunto del Espacio Muestral “S” previamente definido.
 Nótese que un suceso “A” depende de un experimento “E” que genera un conjunto de resultados posibles “S”.
Ejemplo:
El espacio muestral “S” asociado al experimento E: “Lanzar un dado y observar el número que aparece en la cara superior”, se escribe como:
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
PROBABILIAD DE UN EVENTO O SUCESO
Sea “A” un evento cualquiera donde:
a: número de formas posibles de que A ocurra y
b: número de formas posibles de que A no ocurra
De tal manera que “a” y “b” son igualmente probables y mutuamente excluyentes (no se interceptan), entonces la Probabilidad de que “A” ocurra está dada por expresión:
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
PROBABILIAD DE UN EVENTO O SUCESO
y la Probabilidad de que A no ocurra está dada por:
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
PROBABILIAD DE UN EVENTO O SUCESO
o también: si el suceso “A” puede ocurrir en “h” formas de la “n” formas posibles, la Probabilidad de ocurrencia de “A” está dada por:
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
PROBABILIAD DE UN EVENTO O SUCESO
Entonces:
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
PROBABILIAD DE UN EVENTO O SUCESO
Ejemplo:
 Se lanza un dado y se observa a cara superior “a” ¿Cuál es la posibilidad de que aparezca un “3” en la cara superior?
:
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
PROBABILIAD DE UN EVENTO O SUCESO
Solución:
Tenemos que su espacio muestral es S  = { 1,2,3,4,5,6} donde # S = 6 y el suceso A: “que salga el número 3” lo describe el conjunto  A ={3} donde # A = 1, luego
P (A)  =  h/n  =    P(A)  = 1/6.
 
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
PROBABILIAD DE UN EVENTO O SUCESO
b) ¿Cuál es la probabilidad de que no salga el numero 3?
 Si A: “que salga el 3”, A: “que no salga el número 3”; como  = 1 entonces:
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
PROBABILIAD DE UN EVENTO O SUCESO
c) ¿Cuál es la probabilidad de que salga un número impar?
Si B: “que salga un número impar” entonces:           
  B = {1,3,5} y # B = 3, 
Luego   
  P (B) = 3/6   = P (B) = ½
 
Clasificaciónde los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
PROBABILIAD DE UN EVENTO O SUCESO
d) ¿Cuál es la probabilidad que salga un par menor que 6?
Si C: “que salga un par menor que 6”                
 C = {2,4}   y # C = 2; luego:
 P (C) = 2/6 
 P (C) = 1/3 
 
Clasificación de los eventos, Axiomas Probabilísticos y Aplicación
Si “A” y “B” son dos sucesos cualesquiera, entonces:
“A y B” es un suceso que ocurre si ocurre A o B  (o ambos): 
 
Teoremas Fundamentales de la Teoría de la Probabilidad.
Si “A” y “B” son dos sucesos cualesquiera, entonces:
“A y B” es un suceso que ocurre si ocurre A y B =: 
 
Teoremas Fundamentales de la Teoría de la Probabilidad.
 
Teoremas Fundamentales de la Teoría de la Probabilidad.
Dos sucesos son equiprobables cuando tienen la misma probabilidad de ocurrencia.
Ejemplo: Si lanzamos una moneda, la probabilidad de que salga cara o de que salga sello es de 1 / 2    es decir,
P (cara) = P (sello) = 1 / 2
 
SUCESOS EQUIPROBABLES.
 
SUCESOS CONTRARIOS.
Sea “A” un suceso cualquiera, llamaremos suceso contrario de “A” a la no ocurrencia del suceso “A”.
Notación: La no ocurrencia de “A” la denotamos 
Gráficamente se tiene que:
 
SUCESOS CONTRARIOS.
Ejemplo: Sea el siguiente fenómeno aleatorio “S”: Lanzar un dado y observar la cara superior, de aquí tenemos que  S = {1,2,3,4,5,6} Supongamos que A; “que no un impar” es un suceso donde A= {1,3,5} el suceso contrario de “A” será: A “que no salga un número impar” donde:       A = {2,4,6}.
 
 
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES O INCOMPATIBLES.
Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir conjuntamente; es decir: la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la posibilidad d ocurrencia de los otros.
Propiedades:
Si “A” y “B” son dos sucesos mutuamente excluyentes entonces:
i) La probabilidad que “A” o “B” ocurran está dada por:
P(A UB) =   P (A) + P (B)
ii) P (A ∩ B) = 0 ya que A ∩ B = Ø (por lo lógico tenemos que “A ∩ B” es verdadero si ambos sucesos son verdaderos)
 
 
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES O INCOMPATIBLES.
Dos o más sucesos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir conjuntamente; es decir: la ocurrencia de cualquiera de ellos excluye la posibilidad d ocurrencia de los otros.
Propiedades:
Si “A” y “B” son dos sucesos mutuamente excluyentes entonces:
i) La probabilidad que “A” o “B” ocurran está dada por:
P(A UB) =   P (A) + P (B)
ii) P (A ∩ B) = 0 ya que A ∩ B = Ø (por lo lógico tenemos que “A ∩ B” es verdadero si ambos sucesos son verdaderos)
 
 
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES O INCOMPATIBLES.
Ejemplo:
Se tiene una urna con 50 bolas de colores 15 rojas, 5 moradas, 9 verdes, 11 naranjas y 10 azules.
Cuál es la probabilidad de salir una bola azul o una bola verde?
  
A= Sale una bola azul ► P(A) = h / n    ► P(A)= 10 / 50 = 1 / 5
B = Sale una bola   verde ► P (B) = h / n    ► P (B)= 9 / 50 
 P(A o B)= P(A u B)= P(A)+P (B) = P (sale un azul)+P (sale 1 verde ) =10/50 + 9/50 =19/50
 
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES O INCOMPATIBLES.
Luego:
Si A1, A2, A3…. An son sucesos mutuamente excluyentes entonces:
P (A1 U  A2  U  A3 U… …U An)  = P(A1)  + P(A2) +  P(A3) + …. + P (An)
 
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES O INCOMPATIBLES.
Otro ejemplo:
Si lanzamos un dado y observamos la cara superior. ¿Cuál es la probabilidad de salida de un 2 o un 3 o un 6 o un 8?
Solución: Sean los siguientes eventos:
 A: “que salga el 2” ► P (A)= 1/6
 B: “que salga el 3” ► P (B)= 1/6
 C: “que salga el 6” ► P (C)= 1/6
 D: “que salga el 8” ► P (D)= 0   Evento Imposible
 
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES O INCOMPATIBLES.
Luego:
P(A U B U C UD) = P (A) + P (B) + P(C) + P (D)
P(A U B U C UD) = 1 / 6 + 1/6 + 1 / 6 + 0 = 3/6 = 1/2
 
SUCESOS TRASLAPADOS.
Dos sucesos se traslapan parcialmente si parte d uno de ellos y parte del otro ocurren en forma simultánea.
 El diagrama siguiente muestra dos sucesos “A” y “B” que se interceptan parcialmente.
Donde  A  ∩  B  ≠ 0;  de allí que: P (A  U  B) = P(A)  + P(B)  -  P(A ∩  B)
 
SUCESOS TRASLAPADOS.
Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de extraer una figura o una espada en un mazo de 40 cartas?
Solución:
Sabemos que un mazo de 40 cartas tiene 10 cartas de cada: sota, oro, bastos y espada donde cada palo toma un valor en el siguiente conjunto:
S= Espacio Muestral
 
SUCESOS TRASLAPADOS.
Sean los eventos:   A: Extraer una figura y B: Extraer una espada
El conjunto de espacios muestrales que describen esos sucesos son:
A = {10 c, 10 o, 10 b, 10 e, 11 c, 11 o, 11 b, 11 e, 12 c, 12 o, 12 e, 12 b}
 Son # A = 12 combinaciones
B = {1 e, 2 e, 3 e, 4 e, 5 e, 6 e, 7 e, 10 e, 11 e, 12 e}
Son # B = 10 combinaciones
 
SUCESOS TRASLAPADOS.
Se puede observar que ambos conjuntos tienen elementos comunes por lo tanto se traslapan parcialmente:  
Luego:            
      
 
SUCESOS INDEPENDIENTES.
Dos o más eventos son independientes si los eventos en ningún modo se afectan uno al otro; este es: “A” y “B” son dos eventos independientes. entonces la ocurrencia de “A” no afecta la ocurrencia de “B” y viceversa.
La probabilidad de que “A” y “B” ocurran está dada
                                               P(A ∩ B)   = P (A) . P (B)
De igual forma:          P (AU B) = P(A) + P (B) – P(A) . P (B)     
 
SUCESOS INDEPENDIENTES.
Ejemplo:
Si lanzamos un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una “cara” en una moneda y un 5 en el dado?
Solución:
Sean los eventos: A: “que salga cara en la moneda” B: “que salga un 5 en el dado”
Luego:  P(A) = 1/2       y P (B) = 1 / 6; por lo tanto:
P (A ∩ B) = P (A). P (B) = P (A ∩ B) = 1 / 2 . 1/ 6 = 1/ 12
 
SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONALES.
Si “A” y “B” son dos sucesos tales que, la ocurrencia de “B” depende de la ocurrencia de “A” entonces, “A” y “B” son llamados sucesos dependientes. La probabilidad del suceso “B” dependiendo del suceso “A” es llamado PROBABILIDAD CONDICIONAL y se denota:
 
SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONALES.
Y la probabilidad de que ocurra “A” dado que “B” ya ocurrió está dada por:
 
SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONALES.
Ejemplo:
Un informe meteorológico indica que el 20 % de los días son lluviosos y nublados y 30 % de los días son nublados. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva un día sabiendo que es nublado?
 
SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONALES.
Solución:
 Sean los sucesos:      A: día lluvioso                                               
                                    B: día nublado
Luego              P (A∩ B) = 20 %  = P (A ∩  B) = 20 /  100 = P(A ∩ B) = 0,2
De igual forma:   P (B) = 30 %   =   P (B) = 30 / 100 =  P(B) = 0,3
Por lo tanto:               
 
SUCESOS DEPENDIENTES O CONDICIONALES.
P (A /B) = 0,66…… =P(A/B)  = 66,67 %
La conclusión: existe el 66,67 % de que llueva dado que el día está nublado.
 
TIPOS DE AXIOMAS DE PROBABILIDAD.
Los axiomas de probabilidad son las condiciones mínimas que deben verificarse para que una función que definamos sobre unos sucesos determine consistentemente valores de probabilidad sobre dichos sucesos. La probabilidad P de un suceso E, denotada por P(E), se define con respecto a un "universo" o espacio muestralΦ, conjunto de todos los posibles sucesos elementales, tal que P verifique los Axiomas de Kolmogórov, enunciados por el matemático ruso de este nombre en 1933. En este sentido, el suceso E es, en términos matemáticos, un subconjunto de A.
 
AXIOMAS DE KOLMOGÓROV.
Dado un conjunto de sucesos elementales, A, diremos que P es una probabilidad sobre (A, σ) si se cumplen los siguientes tres axiomas.
 
AXIOMAS DE KOLMOGÓROV.
De los axiomas anteriores se deducen otras propiedades de la probabilidad:
 
TEOREMA DE BAYES.
El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría de la probabilidad, es el resultado que da la distribución de probabilidad condicional de una variable aleatoria A dada B en términos de la distribución de probabilidad condicional de la variable B dada A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.
 
TEOREMA DE BAYES.
Teorema:
Sea{A1, A2,..., An} un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el total y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P (B | Ai). Entonces, la probabilidad P (Ai | B) viene dada por la expresión.
 
TEOREMA DE BAYES.
Teorema:
Sea {A1, A2,..., An} un conjunto de sucesos incompatibles cuya unión es el total y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales P (B | Ai). Entonces, la probabilidad P (Ai | B) viene dada por la expresión.
dónde:
P (Ai) son las probabilidades a priori.
P (B | Ai) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai.
P (Ai | B) son las probabilidades a posteriori.
Esto se cumple 
 
TEOREMA DE BAYES.
El teorema de Bayes es válido en todas las aplicaciones de la teoría de la probabilidad. Sin embargo, hay una controversia sobre el tipo de probabilidades que emplea. En esencia, los seguidores de la estadística tradicional sólo admiten probabilidades basadas en experimentos repetibles y que tengan una confirmación empírica mientras que los llamados estadísticos bayesianos permiten probabilidades subjetivas.
 
TEOREMA DE BAYES.
El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento demostrando así su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.
 
TEOREMA DE BAYES.
El teorema puede servir entonces para indicar cómo debemos modificar nuestras probabilidades subjetivas cuando recibimos información adicional de un experimento demostrando así su utilidad en ciertas estimaciones basadas en el conocimiento subjetivo a priori y permitir revisar esas estimaciones en función de la evidencia es lo que está abriendo nuevas formas de hacer conocimiento.
Como observación, se tiene y su demostración resulta trivial.
Próxima clase
 
Teoremas Fundamentales de la Teoría de la Probabilidad
Muchas gracias