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Sesión de clase 02: SUBCONJUNTOS
Dado un conjunto S se dice que A es subconjunto de S, si todos los elementos de A están contenidos en el conjunto S y se denota por A ⊆ S. El conjunto vacío es subconjunto de cualquier conjunto.
Ejemplo		Dados los conjuntos S = { x | x es dígito } y A = { 2, 4, 6, 8 }, verifica que A ⊆ S.
Solución
El conjunto S en forma enumerativa es: S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }
Los elementos de A están contenidos en S, por tanto, A ⊆ S.
Subconjunto propio. Dados dos conjuntos A y B, se dice que B es subconjunto propio de A si todos los elementos de B están en A y no son equivalentes.
Ejemplo		Sean los conjuntos L = { 2, 4, 5, 6, 8 } y M = { 2, 4, 6 }, verifique que M ⊂ L.
Solución
Los elementos de M están contenidos en L, y M no es equivalente a L, por consiguiente, 
M ⊂ L.
Si A no es un subconjunto de B —porque al menos un elemento de A no pertenece a B— se escribe A ⊈ B.
Ejemplo		 Considere los conjuntos: A = {1, 3, 4, 7, 8, 9}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C = {1, 3}.
Entonces C ⊆ A y C ⊆ B, ya que 1 y 3, los elementos de C, también son miembros de A y B. Pero B ⊈ A, puesto que algunos elementos de B, por ejemplo, 2 y 5, no pertenecen a A. 
En forma semejante, A ⊈ B.
Número de subconjuntos de un conjunto. El número de subconjuntos está dado por la fórmula:
N(s) = 2n con n = cardinalidad
Ejemplo		Determina el número de subconjuntos del conjunto: R = { a, b, c, d }
Solución
La cardinalidad del conjunto es 4, entonces n = 4 y al aplicar la fórmula se obtiene:
Número de subconjuntos = 24 = 16
Conjunto potencia. Se le llama así al conjunto que forman todos los subconjuntos de un conjunto.
Ejemplo		Encuentra el conjunto potencia de: T = { 2, 4, 6 }
Solución
El número de subconjuntos de T es: N(s) = 23 = 8
El conjunto potencia está formado por 8 subconjuntos de cero, uno, dos y tres elementos, los cuales son: {{ },{ 2 },{ 4 },{ 6 },{ 2,4 },{ 2,6 },{ 4,6 },{ 2, 4,6 }}
Conjunto universo. Sean A, B, C, …, subconjuntos de un conjunto U, a este último se le llama conjunto universo de los conjuntos dados.
Ejemplo		Sea U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y los conjuntos A, B y C tales que:
A = { 2, 4, 6, 8 }, B = { 1, 2, 3, 4 } y C = { 1, 2, 6, 7 }
Como A ⊆ U, B ⊆ U, C ⊆ U, siendo U el conjunto universo.
Conjunto universo y conjunto vacío
Todos los conjuntos que se estudian en cualquier aplicación de la teoría de conjuntos pertenecen a un gran conjunto fijo denominado universo, que se denota por U a menos que se establezca o implique otra cosa.
Dados un conjunto universo U y una propiedad P, en U puede no haber elementos que tengan la propiedad P. Por ejemplo, el siguiente conjunto no tiene elementos:
S = {x | x es un entero positivo, x2 = 3}
Un conjunto que no tiene elementos se denomina conjunto vacío o conjunto nulo y se denota por ∅
Sólo hay un conjunto vacío. Es decir, si S y T son vacíos, entonces S = T, ya que tienen exactamente los mismos elementos, a saber, ninguno.
El conjunto vacío ∅ también se considera como un subconjunto de cualquier otro conjunto. Así, el planteamiento formal de este sencillo resultado es que para cualquier conjunto A, se tiene 
∅ ⊆ A ⊆ U.
Diapositiva.
DIAGRAMAS DE VENN
Un diagrama de Venn es un gráfico donde los conjuntos se representan con regiones encerradas en un plano. Por lo general los círculos delimitan a los elementos del conjunto o conjuntos dados y los rectángulos delimitan al conjunto universo
Aquí el conjunto universo U es el interior de un rectángulo y los otros conjuntos se representan por círculos dentro del rectángulo.
Ejemplo:	Representa en un diagrama de Venn el conjunto: B = { x ∈ N | x es múltiplo de 3 menor que 17 }
Solución
El conjunto B en forma enumerativa es: B = { 3, 6, 9, 12, 15 } y el conjunto universo son los números naturales.
Por tanto, el diagrama es:
Ejemplo:	Representa en un diagrama de Venn los conjuntos Q = { 1, 3, 5 } y P = { 1, 2, 3, 4, 5 }.
Solución
El conjunto Q es un subconjunto propio de P, ya que todos los elementos de Q son elementos de P, por consiguiente, la representación de ambos conjuntos en un diagrama de Venn es:
Ejemplo:	Representa en un diagrama de Venn los conjuntos U = { 2, 4,6,8,10,12,14,16,17,18,19 }, 
A = { 2,6,10,12 } y B = { 4,6,8,10,17 }
Solución
Los elementos que se repiten se colocan en la región común de los conjuntos A y B. Los elementos faltantes de cada conjunto se colocan, respectivamente, en la región sobrante. Los elementos del universo que no aparecen en los conjuntos se colocan fuera de ellos.
Ejemplo:	Sean los conjuntos U = { 3, 4,6,9,10,12,13,17 }, P = { 3,6,9,10 } y Q = { 4,12 }, represéntalos en un diagrama de Venn.
Solución
No hay elementos en común; en el diagrama los conjuntos están separados con sus respectivos elementos y los elementos que no pertenecen a los conjuntos se colocan fuera de ellos.
Ejemplo		Dibuja en un diagrama de Venn los conjuntos U = { 2,4,5,6,9,10,11,12,13,16,21,23} , 
M = { 2,5,9,10 }, N = { 2, 4,6,9 } y L = { 2,4,5,16,21}
Solución
Los elementos que se repiten se colocan en la región común de los 3 conjuntos y los demás elementos se colocan en sus conjuntos correspondientes, de la misma forma que en los ejemplos anteriores.