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Sesión de Clase 07: Relaciones
Par ordenado
Un par ordenado de elementos a y b, donde a es el primer elemento y b es el segundo, se denota por (a, b). En particular, (a, b) = (c, d) si y sólo si a = c y b = d. Así, (a, b) ≠ (b, a), a menos que a = b.
Producto de Conjuntos
Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todos los pares ordenados (a, b), donde a ∈ A y b ∈ B se denomina producto, o producto cartesiano, de A y B. Una notación abreviada para indicar este producto es A × B, que se lee “A cruz B”. Por definición,
A × B = { {(a, b)} | a ∈ A y b ∈ B}
A menudo, en vez de A × A se escribe A2.
Ejemplo:	Sean A = {1, 2} y B = {a, b, c}. Entonces 	A × B = {(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)}
B × A = {(a, 1), (b, 1), (c, 1), (a, 2), (b, 2), (c, 2)}
También, 	A × A = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)}.
Hay dos cosas que vale la pena observar en los ejemplos presentados. En primer lugar, A × B ≠ B × A. El producto cartesiano tiene que ver con pares ordenados, de modo que, naturalmente, el orden en que se consideran los conjuntos es importante. En segundo lugar, si n(S) se usa para indicar el número de elementos que hay en un conjunto S, se tiene:
n(A × B) = 6 = 2(3) = n(A)n(B)
Relación
Sean A y B conjuntos. Una relación binaria, o simplemente una relación de A a B, es un subconjunto
de A × B. Suponga que R es una relación de A a B. Entonces R es un conjunto de pares ordenados donde el primer elemento proviene de A y el segundo proviene de B. Es decir, para cada par a ∈ A y b ∈ B, es verdadera exactamente una de las siguientes proposiciones:
i) (a, b) ∈ R; entonces se dice “a está relacionado con b”.
ii) (a, b) ∉ R; entonces se dice “a no está relacionado con b”.
Representaciones de relaciones sobre conjuntos finitos
Suponga que A y B son conjuntos finitos. Una forma de representar una relación R de A a B se presenta a continuación. Los elementos de A y de B se escriben en dos óvalos ajenos y luego se traza una flecha de a ∈ A a b ∈ B siempre que a esté relacionado con b. Esta representación se denomina diagrama sagital de la relación.
Otra forma consiste en formar un arreglo rectangular (matriz) cuyos renglones se identifican mediante los elementos de A y cuyas columnas se identifican mediante los elementos de B. En cada posición del arreglo se escribe 1 o 0 según a ∈ A esté o no relacionado con b ∈ B. Este arreglo se denomina matriz de la relación.
Producto de Conjuntos
Dados A = {1, 2}, B = {x, y, z} y C = {3, 4}, encuentre: A × B × C.
A × B × C consta de todas las ternas ordenadas (a, b, c) donde a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C. Estos elementos de A × B × C se pueden obtener en forma sistemática mediante un diagrama de árbol (ver figura siguiente). Los elementos de A × B × C son precisamente las 12 ternas ordenadas a la derecha del diagrama de árbol.
Observe que n(A) = 2, n(B) = 3 y n(C) = 2 y, como era de esperar, 
n(A × B × C) = 12 = n(A) · n(B) · n(C)
Función
El concepto de función es uno de los más importantes en el mundo de las matemáticas. Las funciones no solo representan formulas, o lugares geométricos, también se utilizan como modelos matemáticos que resuelven problemas de la vida real.
A continuación se dan algunas definiciones de función:
· Es una regla de correspondencia que asocia a los elementos de dos conjuntos. La cual a cada elemento del primer conjunto (dominio) le asocia un solo elemento del segundo conjunto (contradominio).
· Sean A y B dos conjuntos y f una regla que a cada x ∊ A asigna un único elemento f (x) del conjunto B, se dice que f es una función que va del conjunto A al B, y se representa de la siguiente forma: f: A B, donde al conjunto A se le llama dominio y al B contradominio, que también se representa por medio de un diagrama de flechas:
 (
Contradominioo
 Rango
) (
Dominio
)
Una función es una colección de pares ordenados con la siguiente propiedad: Si (a, b) y (a, c) pertenecen a una colección, entonces se cumple que b = c; es decir, en una función no puede haber dos pares con el mismo primer elemento.
Ejercicio: 	Determina si los siguientes diagramas representan una función o una relación:
Solución
El primer y el tercer diagramas corresponden a una función ya que a cada elemento del conjunto A se le asigna un solo elemento del conjunto B.
En el segundo diagrama al menos a un elemento del conjunto A se le asignan dos elementos del conjunto B, mientras que en el cuarto diagrama el elemento 8 se asocia con tres elementos del conjunto B, por tanto, se concluye que estos conjuntos representan una relación.
Ejercicio: Determina si los siguientes conjuntos de pares ordenados corresponden a una función o a una relación:
A = {(-2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)}
B = {(3, 2), (3, 6), (5, 7), (5, 8)}
C = {(2, 4), (3, 4), (5, 4), (6, 4)}
M = {(2, 4), (6, 2), (7, 3), (4, 12), (2, 6)}
Solución
Los conjuntos A y C son funciones ya que el primer elemento de cada par ordenado no se repite. En el conjunto B el 3 y el 5 aparecen dos veces como primer elemento del par ordenado mientras que en el conjunto M al 2 se le están asignando el 4 y el 6 como segundo elemento, por tanto, B y M son relaciones.
Gráfica de relaciones y funciones en el plano cartesiano.
ℝ denota el conjunto de números reales, así que ℝ2 = ℝ× ℝ es el conjunto de pares ordenados de números reales. El lector ya conoce la representación geométrica de ℝ2 como puntos en el plano que se muestra en la figura. Aquí cada punto P representa un par ordenado (a, b) de números reales y viceversa; la recta vertical que pasa por P corta al eje x en a, y la recta horizontal que pasa por P corta al eje y en b. ℝ2 a menudo se denomina plano cartesiano. 
Las funciones y relaciones pueden tener una representación grafica en el plano cartesiano. Para distinguir si se trata de una función o una relación basta con trazar una recta paralela al eje “Y” sobre la grafica; si esta interseca en dos o más puntos es una relación, si solo interseca un punto será una función.
Ejercicio: Determina si las siguientes graficas representan una relación o una función.
Solución
Se traza una recta vertical en ambas graficas y se observa que en la primera interseca en dos puntos a la grafica, por tanto, representa una relación y en la segunda, la recta vertical interseca en un punto a la grafica, por consiguiente representa una función.