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Regresión lineal simple 109
EJERCICIOS
1. ¿ Por qué son iguales los signos del coeficiente de correlación y de la pendiente
de la recta de regresión de mínimos cuadrados?. Rp.'r=bsx/sr.
2. Dadas las rectas de regresión de mínimos cuadrados Y = a + b X y 
X = c + d Y . Verificar que bd es igual al coeficiente de determinación.
3. Si las gráficas de las rectas de regresión de Y en X y de X en Y forman un ángulo
de 90 grados, ¿qué se puede afirmar del índice de correlación?. Rp. es cero.
4. Si ( JCj JC2 •>'2 ) » - - - »3Vi) son n Pares de datos observados que se 
encuentran en la recta L: Y = mX + b, ¿por qué L es la recta de regresión de 
mínimos cuadrados para estos puntos?, ¿qué porcentaje de la varianza total de 
los >’,• es explicado por L?.
Rp. por que E (y - >, )2=0, 100%.
5. Dada la recta de regresión de mínimos cuadrados Y = a + bX, si se produce un
incremento igual a c en uno de los valores de X, ¿cuánto es el incremento 
respectivo que se produce en K?. Rp. be.
6 . AI realizar la regresión de Y en X basado en una muestra de 10 pares de datos
(J t/.y ,) , se tiene que la varianza de los y¡ es igual a 16 y que la suma de 
cuadrados debido a la regresión es 140. ¿Qué porcentaje de la varianta de los y, 
es explicada por la regresión ?. Rp. 87.5%.
7. El coeficiente de correlación entre dos variables X e Y es r= 0.60. Si s x = 1.50,
5 }/ = 2 .0 0 , x = 1 0 , y = 2 0 , hallar la recta de regresión:
a) de Y en X, b) de X en Y.
Rp. a) K= 12 + 0.8X. b )X = 1 +0.45KO Y = -2 .2 + 2 2 X
8 . Si n pares (jC|, y , ) , . . . , (x n , y n) son tales que cumplen la relación
-V| — 5 ^ , y si y = 0, ¿es válida la relación S XY = S% / 5 ?. Rp. si
9. Si la ecuación de regresión de Y en X es : Y = 3 + I X , hallar la ecuación de 
regresión de Y en X ’, donde X ’ = X + 3 e Y = Y + 6.
Rp. r - 9 = 2(X’ - 3)
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110 Estadística
10. Al estudiar la regresión lineal entre los ingresos medios (Y en $) y el número de 
hijos por familia (X), se obtuvo la siguiente información:
x = 3, y - 7 0 0 , s x = 0 .5 -J sXY ,
estimar los ingresos de las familias con 4 hijos, ¿a cuántos hijos por familia 
correspondería un ingreso estimado en $712?.
Rp Y = 6 8 8 + 4X. >' = $704. X = b
11. Al estimar las ventas (10 de un artículo en función de los precios (X) se usó una
recta de mínimos cuadrados basado en una muestra de 4 datos. Si las ventas 
observadas fueron 10, 8 , 6 , 14 y si las ventas estimadas respectivas son 10.8. 
8.2, 5.6, 13.4, ¿qué porcentaje de la varianza de las ventas es explicada por la 
recta de regresión?. Rp. 96.57%.
12. En un estudio de la relación entre ingresos mensuales y gastos de educación de 
las familias, una muestra proporciona un coeficiente de determinación del 
90.25%, medias respectivas de $420 y $120, y desviaciones estándar respectivas 
de $10 y 7$. Según este estudio
a) ¿En cuánto se estima los gastos por educación de una familia cuyo ingreso 
mensual es de $300?.
b) Si una familia estima su gasto por educación en $370, ¿cuánto debería ser 
su ingreso mensual?.
c) Si una familia tiene un aumento de $50, ¿en cuanto se incrementaría la 
estimación de sus gastos en educación?.
Rp. Y=-159.3+0.6665^. a) $40.2, b) $795.94, 0.665x50=33.25
13. Al estudiar la relación entre la edad (X) y la presión sanguínea (10 a partir de
una muestra de mujeres, se obtuvo la siguiente información:
s x = 7 .5 , s Y = 10, x = 50 , y = 120, r = 0.90
a) Hallar la relación lineal de la presión con respecto a 3a edad y predecir la
presión sanguínea para una mujer de 45 años.
b) ¿Qué porcentaje de la varianza de la presión es explicada por la regresión de 
la presión sanguínea con respecto a la edad ?.
Rp. a) y=60+l ,2X , si jc=45, y = 114. b) 81%.
14. Al estudiar la relación entre el costos(X) y las utilidades (10 en dólares de 
ciertos productos a partir de una muestra se obtuvo la siguiente información:
s x = 5 , s Y = 4 , x = 100, y = 50, K=-26+0.76X.
a) ¿Qué porcentaje de la varianza de las utilidades es explicada por la regresión 
de utilidades sobre costos?.
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Regresión lineal simple 111
b) Si cada valor del costo se aumenta en $3 y el valor correspondiente a la 
utilidad se aumenta en 6 $, ¿en cuanto se estima la utilidad para un costo de 
$ 120?.
Rp. a) r=0.95. ^=0.9025. el 90 25%, b) K-56=0.76(A"-1()3), 68.92.
15. Utilizando los n pares de datos ,y-¡) .(x „ , y n ) se obtiene una ecuación de
regresión lineal con pendiente igual a -1 . Determinar el índice de correlación
entre los valores x¡ e y¡ si además, s x / sr = 0.9
Rp. r = -0.9.
16. Si n pares (x, (x„ , y n ) tienen índice de correlación r, comprobar que
la recta de regresión para los puntos (xj*,>■*),...,(x * ,> '*), en donde
* x.: - x . y : - y . , „
x, = -------- , y¡ = --------- para i = l,2 , . . . , / i , es y = rx .
S x Sy
Rp. x * = 0. v* = 0, r * = r , entonces y ' = rx'
17. Si n pares (x ,, y , ) , . . . , (x„ , y n ) son tales que cumplen la relación: Y =bX ,
deducir b usando el método de mínimos cuadrados. Rp. b='LxyfZx
18. Una compañía de alimentos maneja una cadena de tiendas al menudeo. Para 
medir la eficiencia de las tiendas se estudió la relación del número de empleados 
(X) y el promedio del volumen de ventas mensuales (J7) expresado en cientos de 
dólares para todas las tiendas durante el año pasado. La gráfica de los datos 
sugiere una relación lineal entre las variables. Se tiene la siguiente información:
« = 1 0 0 , I X =600, I K = 1600, I X K = 13600. I X 2 =5200, I K 2 =37700
a) Hallar la recta de mínimos cuadrados para estimar las ventas partir del número 
de empleados. ¿En cuánto se estiman las ventas para una tienda de 8 
empleados?.
b) ¿Qué porcentaje de la varianza de las ventas es explicada por la variabilidad 
del número de empleados?.
c) ¿Cuántos empleados tiene la tienda cuya venta promedio se estima en $1,100?.
Rp. a) Y=l+2.5X, 21 o $2100. b) >=0.909 , 82.6%, c) 4.
19. Un estudio de mercado trata de averiguar si es efectiva la propaganda 
televisada de un producto que salió a la venta con relación al tiempo de 
publicidad (en horas/semana). Se recopilaron datos a partir de la segunda 
semana de iniciada la publicidad resultando el cuadro que sigue. No se pudo 
recopilar datos de la cuarta semana.
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112 Estadística
Semana 2 3 4 5 6 7
Tiempo de propaganda 2 0 25 2 2 28 36 40
Venta del Producto($) 300 310 - 320 350 420
a) ¿Es efectiva la publicidad del producto?.
b) ¿En cuanto estimaría las ventas para la semana 4?
Rp. a) Y= 176.82 + 5.467X, r = 0.92. b) 297.
20. Un editor tomó una muestra de 7 libros anotando el precio y el número de 
páginas respectivo, obteniendo los siguientes datos:
No. de páginas 630 550 400 250 370 320 610
Precio ($) 1 0 8 7 4 6 6 9
a) Determine una función lineal entre el precio y el número de páginas con el 
fin de predecir precios. ¿ Que porcentaje de la varianza total de precios se 
explica por esta función?.
b) Estimar el precio de un libro de 300 páginas. Si a este libro se le incrementa
2 0 páginas en una segunda edición, ¿en cuánto se incrementaría su precio?.
c) ¿Cuántas páginas debería tener un libro cuyo precio se estima en $12.27?.
Rp. a) Y= 1.22 + 0.013X; 94.5%, b) $5 12. $ 0.26, c) 850
21. Una muestra de 5 varones adultos de quienes se observaron las estaturas (X en 
pies, pulgadas) y los pesos (y en libras) ha dado los siguientes resultados:
X 5'1" 5'2" 5'3" 5'4" 5'5"
Y 125 130 140 145 160
a) Realice una regresión lineal y utilice los datos para verificar que la varianza 
total de Y es igual a la varianza residual más la varianza explicada por la 
recta de regresión.
b) Usando la descomposición de la varianza calcule r 2 e interprete el 
resultado.
Rp. a) Y= 114.5 + 8.5X', X 1 = 1 r.3,4,5. 750 = 27.5 + 722.5. b) r = 0.96.
22. Se quiere estudiar la relación entre las edades en años (X) de un tipo de 
máquinas que se utiliza en la fabricación de cierto artículo y el número de 
artículos (y) queproducen. A partir de la muestra de la tabla siguiente:
a) Determinar la recta de regresión de mínimos cuadrados para predecir la
producción. Estimar la producción para 4, 7 y 8 años.
b) Calcular el porcentaje de la varianza explicada por la regresión de la
producción.
c) Si realmente cada máquina de la muestra produce 10 artículos menos
determinar la recta de regresión. ¿Cuánto es el porcentaje de la varianza 
explicada por la regresión de la producción?.
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Regresión lineal simple 113
X Y
2 95
3 70, 80
4 -
5 75
6 60
7 -
8 _
9 45, 50
1 0 25
Rp. a) Y= 101.5 - 6.64X b) 8 8 %, c) = 91 .5-6 .64X y r novaría.
23. Sea Y el índice de precios al consumidor, tomando como base al año 1980 ( es 
decir 1980 = 100). Para los datos que siguen:
Año 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987
Y 106.0 1 1 1 . 1 117.2 121.3 125.2 128 0 132.6
a) Hallar la recta de mínimos cuadrados que se ajuste a los datos.
b) Predecir el índice de precios para el año 1988 y compararlo con el valor 
verdadero (144.4). ¿En que año podemos esperar que el índice de precios 
sea 150.57, suponiendo que las tendencias presentes continúen?.
Rp. a) Y= 102.83 + 4.34X, r = 0.994 b) año 1991.
24. Los porcentajes en gastos de publicidad y los porcentajes de beneficios netos 
de ventas en una muestra de 9 negocios es como sigue:
Gastos 2.3 1.9 3.5 1 . 0 1.5 4.0 2 . 6 3.0 2.4
Beneficios 4.0 3.8 6 . 2 2.9 3.4 6 . 8 4.5 5.0 4.2
a) Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados para predecir beneficios 
netos.
b) Determine el beneficio si el gasto es 5%. ¿Cuánto es el porcentaje de la 
varianza explicada de los beneficios con respecto al gasto?.
Rp. a) K= 1.274 + 13 2 X b) 7.88 y 95.99%.
25. Una fábrica de cierta marca de refresco ha tomado al azar 9 semanas del año, 
observando la temperatura media correspondiente en grados centígrados (X) y 
la cantidad de los refrescos en miles (y) pedidos durante cada uno de dichos 
períodos. Los datos se resumen en la siguiente tabla:
X 28 14 1 2 31 30 19 24 15 16
Y 60 19 1 2 75 70 40 55 25 25
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Hallar la recta de regresión de mínimos cuadrados para predecir la cantidad de 
pedidos. ¿Se puede planificar la producción en base a la temperatura?.
Rp. a) Y = -23.9 + 3.154* . b) r = 0.9868.
26. Los siguientes datos son los precios de venta en dólares Y de una marca de 
automóviles usados X años:
X 1 2 3 4 5 6
Y 6350 5695 5790 - 4985 4890
a) Ajustar una curva de mínimos cuadrados de la forma Y = AB x .
b) Estimar el precio de venta de un automóvil que tenga 4 años de uso.
Rp. a) Y = 6559.78(0.95)* ■ r =-0.9658. b) 3" = 5,342.98
27. Los siguientes datos son la inversión neta (X) y la tasa de interés (10
X 1 2 8 1 0 7 6 5 5
Y 4 5 6 7 8 9 1 0
Se plantean dos modelos para relacionar Y con X
Y = A X b e Y = a + b X
¿Qué modelo se ajusta mejor a los datos?, ¿por qué?
Rp ivlodelo no lineal. l'=40.29(X)_ow)86, r=0.93, ^=0.87, Modelo lineal. K= 12.63 0.74X í-0 .9 1 ,
r=0.82. Mejor ajusta el modelo no lineal.
28. Ajustar por el método de mínimos cuadrados una curva de la forma:
Y = -----í-----
A + BX
a los siguientes pares de datos:
X 4 8 1 2 16 2 0 24 28 32
Y 24 2 1 2 0 15 14 1 0 7 5
Rp. r= \IY . Y'=0.003146+0.005176X, <=0.9127
29. Ajustar por el método de mínimos cuadrados una curva de la forma:
Y = 5 + -----?-----
A + BX
a los datos del problema 19. ( hacer primero Y'= Y - 5 ).
30. La presión P (kg./cm2.) de un gas correspondiente a diferentes volúmenes V 
(cm3.) se registró en la siguiente tabla:
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Regresión lineal simple 1 15
£
Ajustar a los datos una curva de mínimos cuadráticos de la forma: P V = A y 
estimar P cuando Ues 110 cm A
V 50 60 70 80 90 1 0 0
p 79.7 65.1 52.6 36.8 25.7 8.7
Rp. K’= 6.84 + 2 .83X ', PV2m =6918309.709.11.56,1- =0.908
31. El número Y de bacterias por unidad de volumen presentes en un cultivo de X 
horas se registró en la siguiente tabla:
X 0 I 2 3 4
Y 2 0 35 50 80 190
Ajustar a los datos una curva de mínimos cuadráticos de la forma:
y estimar el número de bacterias a las 5 horas.
Rp. a) Y = -1 0 + 27.7(1.57)*, 254, r =0.98.
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