U6 Ejercicios Teorema de Green

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𝟑 𝒂) ∮
 
 + ; siendo 𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 ; => ∮ = ∫ + ∫ + ∫ 
𝐶
𝑦 = 1
1 ≤ 𝑥 ≤ 4
 ; 𝐶
𝑥 = 4
1 ≤ 𝑦 ≤ 2
 ; 𝐶 𝑦 = √𝑥
1 ≤ 𝑥 ≤ 4
 
 
 
 
𝑃(𝑥, 𝑦) = 
1
𝑦
𝑃′ = −
1
𝑦
𝑄(𝑥, 𝑦) = 
1
𝑥
𝑄′ = − 
1
𝑥
 => 𝑄′ − 𝑃′ = 
1
𝑦
−
1
𝑥
 
Vemos las hipótesis del teorema si se cumplen: la región es un conjunto simplemente conexo y la curva C es 
rectificable a trozos, las funciones y sus derivadas primeras existen y son continúas en todos los puntos de 
la región y su frontera, por lo tanto es aplicable el teorema de Green: 
 
 Por teorema de Green 
𝑑𝑥 
𝑦
 + 
𝑑𝑦
𝑥
 = 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
 − 
𝜕𝑃
𝜕𝑦ℛ
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 ; 
 
∮ = ∫ ∫ − 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =
√
∫ − −
√𝑥
1
 𝑑𝑥 = − ∫
√
+
√
− 1 − 𝑑𝑥 = 
= − 𝑥 + 𝑥 − 1 − 𝑥 𝑑𝑥 = − 2 𝑥 + 2 𝑥 + 𝑥 − 𝑥 
4
 
1
 = 
3
4
 
 
𝟑 𝒃) ∮ 𝑦𝑑𝑥 + (𝑥 − 𝑦)𝑑𝑦 ; siendo 𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 => ∮ = ∫ + ∫ 
𝐶
𝑦 = 𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 ; 𝐶 𝑦 = 𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 ; 
 
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑃′ = 1
𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 𝑄′ = 1
 => 𝑄′ − 𝑃 = 1 − 1 = 0 
𝜕𝑄
𝜕𝑥
 − 
𝜕𝑃
𝜕𝑦ℛ
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = 0
ℛ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curva 1 
Curva 2 
𝟑 𝒄) ∮ (𝑦 − 𝑥)𝑑𝑥 + 𝑦𝑑𝑦 siendo 𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 ; => ∮ = ∫ + ∫ + ∫ 
𝐶
𝑦 = 2𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 1
 ; 𝐶 𝑦 = 4 − 2𝑥
1 ≤ 𝑥 ≤ 2
 ; 𝐶 𝑦 = 0
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
 
 
 
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 𝑥 𝑃′ = 1
𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑄′ = 0
 => 𝑄′ − 𝑃 = −1 
=
𝜕𝑄
𝜕𝑥
 − 
𝜕𝑃
𝜕𝑦ℛ
 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = (−1) 𝑑𝑥 𝑑𝑦 = − 2 −
𝑦
2
−
𝑦
2
 𝑑𝑦 = −2 𝑑𝑦 = −4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Curva 1 
Curva 2 
Curva 3 
VERIFICACION DEL TEOREMA DE GREEN 
4_ compruebe el teorema de Green en el plano 
 
Revisar siempre las hipótesis del teorema antes de aplicarlo. 
 
4 𝑎) ∮ (𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 ; siendo 𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 ; 
 
𝐶
𝑦 = 0
0 ≤ 𝑥 ≤ 4
 ; 𝐶
𝑥 = 4
0 ≤ 𝑦 ≤ 4
 ; 𝐶 𝑦 = 4 𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 4
 
 
Vemos las hipótesis del teorema si se cumplen: la región es un conjunto simplemente conexo y la curva C es 
rectificable a trozos, las funciones y sus derivadas primeras existen y son continúas en todos los puntos de 
la región y su frontera, por lo tanto es aplicable el teorema de Green: 
 
I_ Resolvemos primero la integral doble. 
 
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑦 𝑃′ = − 1
𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑦 𝑄′ = 0 
 => 𝑄′ − 𝑃′ = 1 
 
= 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 2 √𝑥 𝑑𝑥 = 2 
2
3
 𝑥
4
0
 = 
32
3
 
 √
 
 
II_ Resolvemos ahora la integral curvilínea. 
𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 ; => = + + 
 
𝐶
𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑦 = 0 𝑑𝑦 = 0
0 ≤ 𝑥 ≤ 4
 
= 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑥
2
4
0
 = 8 
 
𝐶
𝑦 = 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦
𝑥 = 4 𝑑𝑥 = 0
0 ≤ 𝑦 ≤ 4
 
= 𝑦 𝑑𝑦 = 
𝑦
2
4
0
 = 8 
 
 
𝐶
𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑦 = 2 √𝑥 𝑑𝑦 = 
1
√𝑥
 𝑑𝑥
0 ≤ 𝑥 ≤ 4
 
 
= (𝑥 − 2 √𝑥 ) + 2 √𝑥 
1
√𝑥
 𝑑𝑥 = 
𝑥
2
−
4
3
 𝑥 + 2 𝑥
0
4
 =
32
3
− 16 
 
= + + = 8 + 8 +
32
3
 − 16 = 
32
3
 
 
 
 
Verifica! 
 
 
4 𝑏) ∮ (𝑥 − 𝑥 𝑦 ) 𝑑𝑥 + (𝑦 − 2 𝑥 𝑦) 𝑑𝑦 ; siendo 𝐶 el contorno del cuadrado de vértices: (0, 0); (2, 
0); (2, 2) y ( 0, 2) 
 
 
I_Resolvemos primero la integral doble. 
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 − 𝑥 𝑦 𝑃′ = − 3 𝑥 𝑦
𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑦 − 2 𝑥 𝑦 𝑄′ = − 2 𝑦 
 => 𝑄′ − 𝑃′ = − 2 𝑦 + 3 𝑥 𝑦 
= − 2 𝑦 + 3 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑦 + 𝑥 𝑦
2
0
 𝑑𝑥 = 
 
 
= −4 + 8 𝑥 𝑑𝑥 = − 4 𝑥 + 4 𝑥
2
0
 = 8 
 
 
II_Resolvemos ahora la integral curvilínea. 
 
 
𝐶 = 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 ∪ 𝐶 ; => = + + + 
 
𝐶
𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑦 = 0 𝑑𝑦 = 0
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
 
= 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑥
3
2
0
 = 
8
3
 
 
 
𝐶
𝑦 = 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦
𝑥 = 2 𝑑𝑥 = 0
0 ≤ 𝑦 ≤ 2
 
= 𝑦 − 4 𝑦 𝑑𝑦 = 
𝑦
3
 − 2 𝑦
2
0
 = 
8
3
 − 8 
 
 
𝐶
𝑥 = 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑑𝑥
𝑦 = 2 𝑑𝑦 = 0
0 ≤ 𝑥 ≤ 2
 
= 𝑥 − 8 𝑥 𝑑𝑥 = 
𝑥
3
− 4 𝑥
0
2
 = −
8
3
 + 16 
 
 
𝐶
𝑦 = 𝑦 𝑑𝑦 = 𝑑𝑦
𝑥 = 0 𝑑𝑥 = 0
0 ≤ 𝑦 ≤ 2
 
= 𝑦 𝑑𝑦 = 
𝑦
3
0
2
 = −
8
3
 
 
 
= + + + = 
8
3
 + 
8
3
− 8 −
8
3
 + 16 −
8
3
 = 8 
Verifica! 
 
 
 
 
 
4 𝑐) ∮ (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 + 𝑥 𝑑𝑦 ; siendo 𝐶 una circunferencia de radio 2 centrada en el origen 
 
I_Resolvemos primero la integral doble. 
𝑃(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 𝑃′ = 2𝑦
𝑄(𝑥, 𝑦) = 𝑥 𝑄′ = 1 
 => 𝑄′ − 𝑃′ = 1 − 2 𝑦 
= 1 − 2 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 
√ 
√
= 𝑟 (1 − 2 𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜑)) 𝑑𝜑𝑑𝑟 = 𝑟𝜑 + 2𝑟 cos(𝜑)
2𝜋
0
 𝑑𝑟 = 
= 2𝜋𝑟 𝑑𝑟 = 𝜋 𝑟 |
2
0
= 4𝜋 
 
II_Resolvemos ahora la integral curvilínea. 
𝐶 => = 4 (−2 𝑠𝑒𝑛(𝑡)) 𝑑𝑡 + 2 cos (𝑡) (2 cos (𝑡))𝑑𝑡 
 
𝐶
𝑥 = 2 cos(𝑡) 𝑑𝑥 = −2 𝑠𝑒𝑛(𝑡)𝑑𝑡
𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛(𝑡) 𝑑𝑦 = 2 cos(𝑡)𝑑𝑡
0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
 
 
= −8 𝑠𝑒𝑛(𝑡) + 4 [cos(𝑡)] 𝑑𝑡 = 8 cos(𝑡) + 4
𝑡
2
+
𝑠𝑒𝑛 2𝑡
4
 
2𝜋
0
= 4𝜋