Resolución Tarea 3

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Resolución Ejercicio 1 
𝑆(𝑢, 𝑣) 
𝑥 = 𝑢 + 𝑣
𝑦 = 2𝑢 − 𝑣
𝑧 = 𝑢 + 𝑣
 en 𝑃 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ) = (2,1,0) 
 Hallo las coordenadas del punto para 𝑢 , 𝑣 
2 = 𝑢 + 𝑣
1 = 2𝑢 − 𝑣
0 = 𝑢 + 𝑣
 Sumando las 2 primeras queda 𝑢 = 1 ⇨ 𝑢 = ±1 
Tomo solo el valor negativo porque satisface la tercer ecuación, entonces 𝑃 (𝑢 ; 𝑣 ) = (−1,1) 
 Calculo los vectores derivados 𝑟′ 𝑦 𝑟′ en el punto 𝑃 
𝑟′ = (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )| 
𝑟′ = (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )| 
𝑥′ | = 2𝑢| = −2 𝑦′ | = 4𝑢| = −4 𝑧′ | = 3𝑢 | = 3 
𝑥′ | = 1 𝑦′ | = −1 𝑧′ = 2𝑣| = 2
 
 Utilizaremos el producto mixto para definir el plano tangente. 
𝑃 �⃗� . ( 𝑟′ 𝒙 𝑟′ ) = 0 
𝑥 − 𝑥 𝑦 − 𝑦 𝑧 − 𝑧
𝑥′ 𝑦′ 𝑧′
𝑥′ 𝑦′ 𝑧′
 = 0 
𝑥 − 2 𝑦 − 1 𝑧 
−2 −4 3
1 −1 2
 = 0 => −5(𝑥 − 2) + 7(𝑦 − 1) + 6𝑧 = 0 => −5𝑥 + 7𝑦 + 6𝑧 + 3 = 0 - es 
el plano tangente 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 1,0) + 𝜆 (−2, −4, 3) + 𝜂 (1, −1,2) Ecuación del plano en forma vectorial 
 Hallo la recta normal 
 
 =
 
 = 
 - ecuación de la recta normal 
 
 =
 
 = 
 Recta normal (forma simétrica) 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2, 1, 0) + 𝜆 (−5, 7, 6) Recta normal (forma vectorial) 
𝑟(𝑡) 
𝑥 = 2 − 5𝑡
𝑦 = 1 + 7𝑡
𝑧 = 6𝑡
 Recta normal (forma parametrica) 
 
 
Resolución Ejercicio 2 
 Armo la función implícita haciendo un cambio de variables 𝑤 = 𝑓 (𝑢, 𝑣) 
Entonces queda 𝑢 + 𝑣 + 𝑒 + 𝑤 − 12 = 0 
Y la función vectorial queda 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
𝑢 = 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧
𝑣 = 𝑥 + 𝑦𝑧
 
 Verifico la función en el punto 𝑃(2, −1,1) 
𝑔(2, −1,1) 
𝑢 = (2) + 2(−1) + (1) = 3
𝑣 = (2) + (−1)(1) = 1
𝑤 = 1 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑)
 
𝐹(𝑤, 𝑢, 𝑣) = 𝐹(1,3,1) = 0 
(3) + (1) + 𝑒( ) + (1) − 12 = 0 Ok Verifica 
 Hallo las derivadas parciales y armo la red de variables de la función compuesta ℎ = 𝑓 𝑜 𝑔 
 
 
Red de variables 
 
 
 
 
 
 
𝑤´ = 𝑤´ 𝑢´ + 𝑤´ 𝑣´ 
𝑤´ = 𝑤´ 𝑢´ + 𝑤´ 𝑣´ 
𝑤´ = 𝑤´ 𝑢´ + 𝑤´ 𝑣´ 
𝑤′ = −
𝐹
𝐹
 = −
2𝑢
𝑒 + 4𝑤
⇢ 𝑤 |𝑃𝑜 = −
2(3)
𝑒( ) + 4(1)
= −
6
5
 
𝑤′ = −
𝐹
𝐹
 = −
2𝑣
𝑒 + 4𝑤
⇢ 𝑤 |𝑃𝑜 = −
2(1)
𝑒( ) + 4(1)
= −
2
5
 
𝑢′ | = 2𝑥| = 4 𝑢′ | = 2 𝑢′ | = 1 
𝑣′ | = 1 𝑣′ | = 𝑧 | = 1 𝑣′ = 2𝑦𝑧| = −2
 
𝑤´ = 𝑤´ 𝑢´ + 𝑤´ 𝑣´ ⇨ 𝑤´ = −
6
5
∗ (4) −
2
5
∗ (1) = −
26
5
 
𝑤´ = 𝑤´ 𝑢´ + 𝑤´ 𝑣´ ⇨ 𝑤´ = −
6
5
∗ (2) −
2
5
∗ (1) = −
14
5
 
𝑤´ = 𝑤´ 𝑢´ + 𝑤´ 𝑣´ ⇨ 𝑤´ = − ∗ (1) − ∗ (−2) = − 
w 
u 
v 
x 
y 
z 
x 
y 
z 
 Hallo la dirección de mayor crecimiento de la función compuesta h con el vector gradiente 
𝑔𝑟𝑎𝑑 ℎ⃗ = (− ; − ; − ) 
Dirección �̆� = 
⃗
 ⃗
 = (− ; − ; − )