Tema Numero 4

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INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
La probabilidad es una rama de las matemáticas que se encarga de estudiar los experimentos aleatorios y los eventos que se pueden dar dentro de estos. La teoría de la probabilidad es muy importante en muchas áreas de la ciencia, la tecnología y la vida cotidiana. En general, la probabilidad se utiliza para cuantificar la incertidumbre sobre los resultados futuros de un experimento.
En una variable discreta, se puede determinar la probabilidad de cada uno de los posibles resultados observables de la variable, pero esto no siempre es posible en una variable continua. Típicamente, se utilizan modelos matemáticos o métodos de simulación para estimar la probabilidad de eventos en variables continuas.
Las reglas básicas de la probabilidad incluyen la regla de la suma, la regla del producto y la regla de Bayes. Además, es importante distinguir entre eventos independientes y eventos dependientes al calcular la probabilidad.
BREVE HISTORIA DE LA PROBABILIDAD.
La historia de la probabilidad comienza en el siglo XVII con los estudios y experimentos de Pierre Fermat y Blaise Pascal relacionados con los juegos de azar . A partir de este momento, el desarrollo de la teoría de la probabilidad fue avanzando gracias a otros matemáticos destacados como Christiaan Huygens, Jacob Bernoulli, Thomas Bayes, y otros. En la actualidad, la teoría de la probabilidad se utiliza en una amplia variedad de campos, como la física, la estadística, la ingeniería, la economía, la biología, y la informática, entre otros.
INTERPRETACIÓN FRECUENTISTA DE LA PROBABILIDAD
La interpretación frecuentista de la probabilidad considera que la probabilidad de un evento se refiere a la frecuencia relativa con que ocurre el evento en un gran número de ensayos repetidos . Es decir, la probabilidad es una proporción a largo plazo que se aproxima a una tasa de frecuencia basada en observaciones empíricas. Esta interpretación se basa en la idea de que la probabilidad se puede describir en términos de la ocurrencia de eventos repetidos en condiciones similares.
INTERPRETACIÓN CLÁSICA DE LA PROBABILIDAD
La interpretación clásica de la probabilidad se refiere a la probabilidad de un evento en términos de la relación entre el número de formas en que el evento puede suceder y el número total de posibles resultados . Es decir, la probabilidad clásica depende únicamente del número de resultados favorables en relación al total de resultados posibles. Esta interpretación se basa en la idea de que todos los resultados posibles ocurren con igual probabilidad.
EXPERIMENTOS Y SUCESOS ESPACIO MUESTRAL
El espacio muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y se denota generalmente por la letra E. Un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral y se refiere a un evento que podría ocurrir en el experimento aleatorio . Es importante entender estos conceptos para poder aplicar la teoría de probabilidad en el análisis de experimentos aleatorios y la estimación de la ocurrencia de eventos futuros.
CONJUNTO VACÍO
El conjunto vacío es un conjunto sin elementos y se denota con el símbolo "∅" o "{}". Es decir, es un conjunto que no tiene elementos y, por lo tanto, no hay posibles resultados en un experimento aleatorio asociado con él. El conjunto vacío es importante en la teoría de conjuntos y en la teoría de la probabilidad, ya que ayuda a definir los límites y las propiedades de los conjuntos. Por ejemplo, cuando se realiza la unión entre un conjunto y el conjunto vacío, el resultado siempre será el conjunto original, y cuando se realiza la intersección entre un conjunto y el conjunto vacío, el resultado siempre será el conjunto vacío.
OPERACIONES DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Las operaciones básicas de la teoría de conjuntos son la unión, la intersección, la diferencia y el complemento. Además, hay otras operaciones más complejas, como la diferencia simétrica y el producto cartesiano. Estas operaciones se utilizan para crear nuevos conjuntos a partir de uno o varios conjuntos existentes y son fundamentalmente importantes para el análisis y el cálculo de probabilidades en la teoría de la probabilidad.
DEFINICIÓN DE LA PROBABILIDAD.
La probabilidad es la medida de la posibilidad o chance de que ocurra un evento determinado . Se puede definir como el cálculo matemático de todas las posibilidades que existen de que un fenómeno determinado ocurra en determinadas circunstancias . Esta medida se expresa como un número entre 0 y 1 , donde un evento imposible corresponde a cero y un evento seguro corresponde a uno.
AXIOMAS Y TEOREMAS BÁSICOS
Los axiomas y teoremas básicos se refieren a los principios fundamentales y las reglas matemáticas que se utilizan para calcular probabilidades. Los axiomas son proposiciones que se consideran verdaderas sin necesidad de demostración y son la base para la teoría de la probabilidad . Los teoremas, por su parte, son proposiciones que se deducen de los axiomas y que sirven como herramientas para resolver problemas de probabilidad . Algunos de los axiomas y teoremas básicos más importantes en la teoría de la probabilidad incluyen el axioma de la probabilidad total, el teorema de Bayes, el teorema de combinación y el teorema de la ley de los grandes números.
* AXIOMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL: El axioma de la probabilidad total establece que si {B1, B2, ..., Bn} es una partición del espacio muestral S, es decir, los eventos Bi son mutuamente excluyentes y su unión equivale al espacio muestral, entonces para cualquier evento A se cumple que la probabilidad de A es igual a la suma de las probabilidades condicionales de A dado Bi multiplicadas por la probabilidad de Bi. En otras palabras,
P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn)
donde P(A|Bi) es la probabilidad de que ocurra A dado que Bi ha ocurrido y P(Bi) es la probabilidad de que ocurra Bi.
* EL TEOREMA DE BAYES: El teorema de Bayes es una herramienta útil en probabilidad y estadística que permite calcular la probabilidad de un evento posterior , dada la ocurrencia de otro evento. Este cálculo se realiza a partir de información previa sobre la probabilidad de los eventos y su relación condicional. * El teorema de Bayes lleva el nombre del matemático y estadístico Thomas Bayes , quien lo formuló en el siglo XVIII. Se utiliza en muchos campos, incluyendo la medicina, la economía, la ingeniería y la inteligencia artificial.
* EL TEOREMA DE COMBINACIÓN: El teorema de combinación se refiere al número de formas diferentes en que es posible elegir un subconjunto de r elementos de un conjunto de n elementos. Esta cantidad se representa por el símbolo nCr, donde n es el número total de elementos y r es el número de elementos seleccionados. El teorema de combinación establece que nCr es igual a n!/r!(n-r)!.
* EL TEOREMA DE LA LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS: El teorema de la ley de los grandes números es un resultado fundamental de la teoría de la probabilidad que establece que , en general, la media de una muestra de valores aleatorios tiende a acercarse cada vez más a la media de la población a medida que el tamaño de la muestra se hace más grande . En resumen, el teorema indica que cuanto mayor sea el número de observaciones, mayor será la precisión con la que se puede estimar la media de la población.
PROPIEDADES ADICIONALES DE LA PROBABILIDAD.
Existen diversas propiedades adicionales de la probabilidad, entre ellas se incluyen:
1. PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD CONDICIONAL: se refiere a la probabilidad de un evento A dado que ha ocurrido otro evento B. Se representa como P(A|B) y se calcula como P(A intersección B)/P(B). La propiedad básica de la probabilidad condicional establece que la probabilidad de un evento A dado que ha ocurrido otro evento B es igual a la probabilidad de la intersección de A y B dividida por la probabilidad de B. En fórmula : P(A|B) = P(A intersección B) / P(B).
2. PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD CONJUNTA: se refiere a la probabilidad de que dos o más eventos ocurran simultáneamente. Se representacomo P(A intersección B) y se calcula como P(B|A) x P(A). La propiedad básica de la probabilidad conjunta establece que la probabilidad de que dos eventos A y B ocurran simultáneamente es igual a la probabilidad de A dada B , multiplicada por la probabilidad de B. En fórmula : P(A intersección B) = P(B|A) x P(A). Además, la probabilidad conjunta es adimensional y su valor siempre se encuentra entre 0 y 1.
3. PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD MARGINAL: se refiere a la probabilidad de un evento sin tener en cuenta otros eventos que puedan o no haber ocurrido. Se representa como P(A) y se calcula sumando las probabilidades conjuntas de todos los eventos que contienen a A. La propiedad de la probabilidad marginal establece que la probabilidad de un evento es igual a la suma de las probabilidades conjuntas de todos los eventos que contienen ese evento. Se representa como P(A) y se calcula sumando las probabilidades conjuntas de todos los eventos que contienen A.
4. PROPIEDAD DE LA PROBABILIDAD COMPLEMENTARIA: se refiere a la probabilidad de que un evento no ocurra. Se representa como P(A') y se calcula como 1 – P(A). La propiedad de la probabilidad complementaria establece que la probabilidad de que no ocurra un evento A es igual a 1 menos la probabilidad de que ocurra A. Se representa como P(A') y se calcula como 1 – P(A).
ESPACIOS MUÉSTRALES FINITOS
Los espacios muéstrales finitos en probabilidad consisten en un conjunto discreto y conocido de posibles resultados de un experimento aleatorio. Cada posible resultado se llama evento y se encuentra en el interior del espacio muestral. Ejemplos de espacio muestral finito son el lanzamiento de un dado, el lanzamiento de una moneda, entre otros, en los cuales los posibles resultados son bien definidos. La probabilidad de cada evento individual se puede calcular dividiendo el número de resultados favorables para ese evento por el número total de posibles resultados en el espacio muestral.
PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE SUCESOS.
La probabilidad de la unión de sucesos se calcula sumando las probabilidades de cada suceso individual, pero es importante tener en cuenta que si los sucesos no son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de la intersección de los sucesos debe ser restada de la suma para evitar la doble contabilización de las probabilidades. La fórmula general para la probabilidad de la unión de sucesos es:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Donde P(A) es la probabilidad del suceso A, P(B) es la probabilidad del suceso B y P(A ∩ B) es la probabilidad de la intersección de los sucesos A y B.
SUCESOS INDEPENDIENTES.
En probabilidad, se dice que dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no afecta la probabilidad del otro suceso . Es decir, si la probabilidad de que ocurra el suceso A es igual a la probabilidad de que ocurra A dado que B ha ocurrido , entonces A y B son independientes. La fórmula para sucesos independientes es P(A|B) = P(A), lo que significa que la probabilidad de A no se ve afectada por la ocurrencia del suceso B. Ejemplos comunes de sucesos independientes incluyen tirar una moneda al aire múltiples veces o lanzar dados múltiples, donde la probabilidad de uno de los eventos no se ve afectada por el resultado de los otros eventos.