244-Calculo-Vectorial-Deberes

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Universidad Nacional Autónoma de México
Facultad de Estudios Superiores
Plantel Aragón
INGENIERIA INDUSTRIAL
CALCULO VECTORIAL
REPORTE DE PRACTICA N.2
TEMA: CONCEPTOS FUNDAMENTALES. 
SUBTEMA: PRESIÓN.
GRUPO:8027
NOMBRE DEL PROFESOR: VELAZQUEZ VELAZQUEZ DAMASO
NOMBRE DEL ALUMNO: CORTES HERNANDEZ RICARDO 
FECHA DE ENTREGA: OCTUBRE DEL 2020
CÁLCULO VECTORIAL
	EJERCICIOS PROPUESTOS	
1. Graficar los siguientes campos escalares:
a) f: R2 R
 f(x,y)= sen(x)
b) g: R2 R
 g(x,y)= xy
c) h: R2 R
 h(x,y)= y3
d) l: R2 R
 l(x,y)= x2 + 3y2
e) w: R2 R
 w(x,y)= -x-y
f) k: R2 R
 k(x,y)= x2+xy+y2
2. Construir los conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares
a) f: R3 R
 f(x,y,z)= x + y + z 		para c=1, -1 ,0
b) g: R2 R
 g(x,y)= 		para c= -2,2,0
c) h: R3 R
 h(x,y,z)= x2 + y2 – z2 		para c= -2, 2 ,0
d) l: R3 R
 l(x,y,z)= 4x2 + 9y2 + z2 		para c= -1 , 4, 0
	
3. Determinar si los siguientes conjuntos son abiertos, cerrados, ni abiertos, ni cerrados
a) A= { (x,y) R2 / 2<x<3 , 1<y<5 }
b) B= { (x,y) R2 / 2<x≤3 , 0<y<4 }
c) C= { (x,y) R2 / 1<x<5 , y<x2 }
d) D= { (x,y,z) R3 / x2+y2+z2 < 9 }
e) E= { (x,y,z) R3 / x2+6y2+3z2 ≤ 9}
f) F= { (x,y,z) R3 / -x-y <z<2 }
4. Calcular los siguiente limites:
a) 
b) 
c) 
5. En cada ejemplo, determine el conjunto de puntos (x,y) en los que f es continua
a) f(x,y) = tg(x2/y)
b) f(x,y) = ln(x4+y4)
c) f(x,y) = arc cos 
6. Sea 		f(x,y)= 		 
Demuestre que f(x,y) 0 cuando (x,y) (0,0); pero que 
7. Sea T: Rn Rn una transformación lineal dada. Calcular la derivada f’(x,y) para el campo escalar definido en Rn mediante la ecuación f(x)=T(x).T(x)
¿A qué sería igual f’(x,y) en el caso de que f esté definida así: f(x)=x . T(x) ?
Y si f está definida por f(x)=. A qué sería igual f’(x,y)?
8. En cada uno de los siguientes literales, calcule todas las derivadas parciales de primer orden del campo escalar dado
a) f(x,y)= sen(cos(x2 + y2))
b) f(x,y)= tg()
c) f(x,y)= ; x≠y
d) f(x,y)= ex+y + cos(xy)
9. En cada uno de los siguientes literales, calcule todas las derivadas parciales de 2° orden :
a) f(x,y)= ln(x2y2)
b) f(x,y)= x3+y3+x2y
c) f(x,y)= , x>0
d) f(x,y)= arc cos ; 	y≠0
e) f(x,y)= ; 	y≠0
10. Dada z=u(x,y) eax+by ,y, . Hallar valores de las constantes a y b tales que:
11. Encontrar el vector gradiente en cada punto en el que exista para los campos escalares definidos por las ecuaciones siguientes:
a) f(x,y)= x3+y2 cos(xy)
b) f(x,y,z)= x3y2z3
c) f(x,y,z)= x3-y2+z2y
d) f(x,y,z)= ln(x2+3y2)
e) f(x,y,z)= exy+zx
12. Calcular las derivadas direccionales de los siguientes campos escalares en los puntos y direcciones que se indican
a) f(x,y,z)= x2+y3+z2 en el punto (1,1,0) en la dirección 
b) f(x,y,z)= zexy en el punto (1,1,1) en la dirección 
13. Sean f y g dos campos escalares diferenciables en un conjunto abierto S. Deducir las siguientes propiedades del gradiente
a) grad f=0 				si f es constante en S
b) grad (f+g)= grad f + grad g
c) grad (cf)= c grad f			si c es constante
d) grad (fg)= f grad g + g grad f
e) grad = 	en los puntos en los que g≠0
14. Las ecuaciones u= f(x, y), x= X(t), y= Y(t) definen u como función de t, pongamos u= F(t). Calcular F’(t) y F’’(t), en función de t, en cada uno de los siguientes casos particulares:
a) f(x,y) = x2 + y2, X(t)=t, Y(t) =t2
b) f(x,y)= ln , X(t)=et , Y(t)= t
15. 
a) Hallar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie z= x+y3 en el punto (1,3,5)
b) Encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente a la superficie xyz= a3 en un punto genérico (xo, yo, zo). Demostrar que el volumen del tetraedro limitado por ese plano y los tres planos coordenados es 9 
16. Hallar la derivada direccional del campo escalar: f(x,y)= x3+3x2y a lo largo de la curva y=x2 – x +2 en el punto (1, 2)
Considerar . ∇<a;r’(t)> ; a=r(t)
17. La sustitución u=(x-y)/2 , v= (x+y)/2 cambia f(u,v) en F(x,y). Aplicar en forma adecuada la Regla de la cadena para expresar las derivadas parciales y en función de las derivadas parciales y 
18. Las tres ecuaciones 		x2-ycos(uv)+z2=0
X2 + y2-sen(uv)+2z2=2
xy- sen(u)cos(v) + z=0
definen x, y, z como funciones de u, v. Calcular las derivadas parciales y en el punto 
19. Mostrar que la función u= ϕ(x-at) + ψ(x+at) donde ϕ y ψ son funciones arbitrarias dos veces diferenciables, satisface la ecuación de oscilaciones de una cuerda:
20. Sea la función z= definida por la ecuación x2+y2+z2= ϕ(ax+by+cz) donde ϕ es una función arbitraria diferenciable y a, b, c son constantes. Mostrar que 
21. Transforme la siguiente ecuación a nuevas variables independientes u y v:
si u = x, v= x2+y2
22. Transforme la ecuación de Laplace
a otra en coordenadas polares x= rcos(θ ), y= r sen(θ)
23. Sean f, g campos escalares y F, G, H campos vectoriales (de R3 en R y de R3 en R3, respectivamente). Demostrar que:
a) div(F+G)= div F + div G
b) ∇( F.G)= (F. ∇)G + (G. ∇)F + F x rotG + G x rot F
c) div(fF)= f div F+ F. ∇f
d) ∇2(fg)= f∇2g + g∇2f + 2(∇f. ∇g)
e) H.((F x ∇) x G)=((H. ∇)G).F – H.(F. ∇)G
Donde V=(F. ∇)G tiene componentes Vi=F.( ∇Gi) para i=1,2,3 donde G=(G1,G2,G3). En la expresión (F x ∇) x G, la ∇ opera sólo en G
INTEGRALES DE LÍNEA
24. En cada uno de los siguientes literales calcule la integral de línea del campo vectorial f a lo largo del camino que se indica
a) f(x,y)=(x2+y2) + (x2-y2) a lo largo de la curva y=1 - |1-x|, desde (0,0) a (2,0)
b) donde C es la circunferencia x2 + y2=a2, recorrida en sentido contrario al de las agujas del reloj
c) donde C es el contorno del cuadrado de vértices (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1), recorrido en sentido contrario al de las agujas del reloj
d) donde σ(t)=(cost), sen( t)) con 0≤t≤2
e) donde σ consta de los segmentos de rectas que unen (1, 0 ,0) con (0, 1, 0) con (0, 0, 1)
f) para cada una de las trayectorias σ(t)= (t,tn,0); 0≤t≤1; n=1,2,3…
g) ¿Cuál es el valor de la integral de cualquier campo gradiente alrededor de una curva cerrada C?
25. 
a) Hallar el trabajo realizado por la fuerza f(x,y)=(x2-y2) + 2xy al mover una partícula en sentido contrario al de las agujas del reloj recorriendo una vez el contorno del cuadrado limitado por los ejes coordenados y las rectas x=a e y=a, cono a>0
b) Un campo de fuerzas f en el espacio de 3 dimensiones viene dado por la fórmula:
f(x,y,z)=yz + xz + x(y+1) 
Calcular el trabajo realizado por f al mover una partícula recorriendo una vez el contorno del triángulo de vértices (0, 0, 0); (1, 1, 1); (-1, 1, -1) en este orden
26. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas f(x,y,z)= y2 + z2 + x2 a lo largo de la curva de intersección de la esfera x2+y2+z2=a2 y el cilindro x2+y2=ax, siendo z≥0 y a>0. El camino es recorrido de modo que observando el plano xy desde el eje z positivo, el sentido sea el que sigue las agujas del reloj
27. Calcular la integral de línea con respecto a la longitud de arco en cada uno de los siguientes literales:
a) , siendo C es el triángulo de vértices (0, 0) (1,0) y (0,1) recorrido en sentido contrario al de las agujas del reloj
b) donde C tiene la ecuación vectorial 
α(t)= a(t-sen(t))+a(1-cos(t)),			 0≤t≤2
28. Un campo de fuerzas f está definido en el espacio de 3 dimensiones por la ecuación f(x,y,z)= y+z+ yz
a) Determinar si f es o no conservativo
b) Calcular el trabajo realizado al mover una partícula a lo largo de la curva de ecuación 		α(t)= cos(t) + sent + et ,			0≤t≤
29. Un campo de fuerzas viene dado en coordenadas polares por la ecuación
F(r,θ)= -4 sen( θ ) + 4sen( θ ) 
Calcular el trabajo realizado al mover una partícula desde el punto (1, 0) al origen siguiendo la espiral cuya ecuación polar es r=e –θ
30. En cada uno de los siguientes literales determinar si f es o no el gradiente de un campo escalar. Cuando f sea un gradiente, hallar la correspondiente función potencial ϕ
a) f(x,y)= x + y
b) f(x,y,z)= x+y+z
c) f(x,y,z)= (x+z)+(y+z)+(x-y)
d) f(x,y,z)= (y2 cos(x) + z3 ) – (4-2y sen(x)) + (3xz2+2)
31. Un alambre tienela forma de un círculo x2+y2=a2. Determine su mana y su momento de inercia respecto a un diámetro si la densidad en (x,y) es |x| + |y|
INTEGRALES DOBLES
32. Calcule las integrales dobles por integración sucesiva en los siguientes literales, supuesta la existencia de cada integral:
a) , 		donde Q=[0,1] x [0,1]
b) , 		donde Q=[0,1] x [0,1]
c) , 		donde Q=[0,] x [0,]
d) , 			donde Q=[0,] x [0,]
e) , 			donde Q=[0,] x [1,] ; t<0, t<1
33. Sea f una función definida en el rectángulo Q, Q=[0,1]x[0,1] del siguiente modo:
f(x,y)= 	
Represente el conjunto de ordenadas de f sobre Q y calcular su volumen por doble integración. (Supóngase la existencia de la integral)
34. En los siguientes literales, dibuje la región de integración y calcule la integral doble.
a) , 		siendo S={(x,y) / |x| + |y| ≤1}
b) , 		siendo S la porción acotada del 1° cuadrante situada entre las dos hipérbolas xy=1 y xy=2 y las líneas rectas y=x e y=4x
c) , 		siendo S la región limitada por y=sen(x) y el intervalo [0, ]
35. 
a) Calcule el volumen del sólido limitado por la superficie z= - x2-y2+4 y el plano z=0. Represente el sólido
b) Calcule el volumen del sólido limitado por la superficie x= y el plano XoY. Represente el sólido
c) Muestre que el volumen de la región obtenida al hacer girar la gráfica de la parábola y= -x2+ 2x +3, -1≤ x ≤3 alrededor del eje x es 512 /15
d) Encuentre el volumen acotado por la gráfica de: f(x,y)= 1+2x+3y, el rectángulo R=[1,2]x[0,1] y los cuatro lados verticales de este rectángulo
36. En los siguientes literales, suponga que la integral doble de una función positiva f extendida a una región S, se reduce a la integral reiterada que se da. En cada caso, represente la región S e invierta el orden de integración:
a) 
b) 
c) ;		D: -1 ≤ x ≤1 ; 0 ≤ y ≤ln(x)
37. Una lámina delgada de densidad constante c, está limitada por dos circunferencias concéntricas de radios a y b, y centro en el origen, siendo 0<b<a. Calcule el momento polar de inercia
38. En los siguientes literales, transforme la integral a coordenadas polares y calcule su valor. (a es una constante positiva)
a) 
b) 
c) 
d) 		R=[0,1]x[0,1]
39. En los siguientes literales establezca las igualdades que se dan mediante la introducción de un conveniente cambo de variable en cada caso.
a) ; donde S={(x,y)/|x|+|y|≤1} 
b) ; siendo S la región del 1° cuadrante limitada por las curvas xy=1, xy=2, y=x, y=4x
40. Calcule el volumen de un elipsoide de semiejes a, b, c.
Calcule el área de una elipse de semiejes a, b utilizando integrales dobles
Calcule el área de un círculo usando integrales dobles
INTEGRALES TRIPLES
41. Calcule cada una de las integrales triples en los siguientes literales. Represente en cada caso la región de integración. Suponga la existencia de todas las integrales que se cita
a) , siendo S el sólido limitado por la superficie z=xy y los planos y=x, x=1 y z=0
b) , siendo S el sólido formado por la hoja superior del cono z2=x2+y2 y el plano z=1
42. Calcular las integrales de los siguientes literales pasando a coordenadas cilíndricas. Puede suponerse la existencia de todas las integrales que se cita.
a) , siendo S el sólido limitado por la superficie x2+y2=2z y el plano z=2				Sol. 16/3
b) , siendo S el sólido limitado por los tres plano coordenados, la superficie z=x2+y2 y el plano x + y=1	Sol. 1/6
43. Calcule las siguientes integrales mediante la transformación a coordenadas esféricas
a) , siendo S el sólido limitado entre dos esferas concéntricas de radios a y b (0<a<b) y con centro en el origen 		Sol. 4(b3-a3)/3
b) , siendo S una esfera de radio R. y centro en el origen y (a, b, c) es un punto fijo en el exterior de una esfera
c) Evaluar el volumen acotado por el cono x2+y2=z2 y el plano 2z-y-2=0
44. 
a) Calcular el volumen de un sólido limitado por encima por la esfera x2+y2+z2 = 5 y por debajo por el paraboloide x2+y2=4z		Sol. 2(5 -4) /3
b) Determine el centro de gravedad de un cono de altura h si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia de ese punto a la base 
c) Encuentre el volumen entre las superficies x2+y2= z y x2+y2+z2 = 2
d) Excavamos un hoyo cilíndrico de diámetro 1 a través de una esfera de radio 2. Suponga que el eje del cilindro es el mismo que el eje de la esfera. Encuentre el volumen del sólido que queda
e) Sean C1 y C2 dos cilindros de extensión infinita, de diámetro 2 y con ejes en el eje x y en el eje y, respectivamente. Encuentre el volumen de C1 C2 
Sol. 4 ( )3 /3
f) Encuentre el volumen determinado por z ≤ b-x2-y2 y z ≤ 
Sol. 32/3
g) Sea D la bola unitaria. Evalúe
Mediante un cambio apropiado de variables
h) Determine la masa de un cono de altura h si su densidad en cada punto es proporcional a la distancia de ese punto al eje del cono. Determine su centro de gravedad
TEOREMA DE GREEN
45. Calcule la integral cuando:
a) C es el cuadrado de vértices (1,1)
b) C es la circunferencia de radio 2 y centro en el origen
c) C tiene la ecuación vectorial α(t)= 2cos3(t) + 2sen3(t) con 0≤t≤2
46. Evalúe , donde C es el perímetro de [0,1]x[0,1] en dirección contraria al sentido en que se mueven las agujas del reloj
47. Evalúe , donde σ es la trayectoria σ(t)= (t8, t10); 0≤t≤1
48. Muestre que si C es una curva cerrada simple que acota una región en la cual es aplicable el teorema de Green, entonces el área de la región D acotada por C es
A=
INTEGRALES DE SUPERFICIE – TEOREMA DE STOKES
49. 
a) Calcule el área de la porción de superficie cónica x2+y2=z2 situada por encima del plano XoY y limitada por la esfera x2+y2+z2= 2ax		Sol. 
b) Calcular el área de la porción de superficie cónica x2+y2=z2 situada entre los dos plano z=0 y x+2z=3						Sol. 2
c) Calcule el área de la porción de superficie z2= 2xy que se proyecta en el primer cuadrante del plano XoY y limitada por los planos x=2 e y=1
d) Calcule el área de la porción del paraboloide x2+z2= 2ay cortada por el plano y=a							Sol. 2
50. Sea S la semiesfera x2+y2+z2 =1; z ≥ 0 y F(x,y,z)= x+y. Sea el vector normal unitario exterior a S. Calcule el valor de la integral de superficie , empleando:
a) La representación vectorial:
b) La representación explícita z=
51. 
a) Hallar el centro de gravedad de la porción de superficie esférica homogénea x2+y2+z2=a2 situada sobre el 1° cuadrante del plano XoY
b) Sea S la porción del plano limitada por un triángulo de vértices (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1); y sea Representemos por la normal unitaria a S que tiene componente z no negativa. Calcule la integral de superficie , utilizando:
a. La representación vectorial:
b. La representación explícita de la forma z=
52. Un flujo de fluido tiene como vector densidad de flujo 
Designemos con S el hemisferio x2+y2+z2 =1; z ≥ 0 ; y con la normal unitaria orientada hacia el exterior de la esfera. Calcule la masa de fluido que atraviesa S en la unidad de tiempo en la dirección de 
53. Utilice el teorema de Gauss para calcular:
a) El flujo del campo vectorial 
Por la superficie externa de la esfera x2+y2+z2 =R2 
b) El flujo del campo vectorial 
A través de la parte externa del tetraedro limitado por los planos x=0, y=0, z=0, x + y + z=a
54. Calcule la circulación de 
A lo largo de la línea de corte 	x2+y2+z2 =a2
					x + z =a
a) Parametrizando la curva
b) Utilizando el teorema de Stokes
55. Calcule cuando 
L: 
Aplicando Stokes
56. Sea el campo de velocidad de un fluido. Cuántos metros cúbicos de fluido por segundo cruzan la superficie x2+z2 =y, 0 ≤ y ≤ 1 ( F está dada en metros/ seg)
57. Evalúe , donde S es la superficie , 
58. Evalúe , donde S es la frontera del cubo C= [-1,1]x[-1,1]x[-1,1]
59. Evalúe , donde y S es la superficie 
, 
60. Sea . Calcule: 
a) div F
b) 
c) 
d) x(
Ing. Edison Guamán 	Página 14