Clase_4 y 5

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FACULTAD DE INGENIERÍA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
	
		VISIÓN: "El programa de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Antioquia será reconocido por sus aportes al MANEJO EFICIENTE DE LA ENERGÍA ELÉCTRICA en la región y el país, manifestados en la formación de ingenieros emprendedores y en proyectos de INVESTIGACIÓN, INNOVACIÓN Y DESARROLLO."
Análisis de Sistemas de Potencia
	Clase No
	4 y 5
	Tema y subtema
	Ecuaciones y Matrices de redes.
Matriz Ybus o matriz de admitancia nodal.
Matriz Ybus
La matriz es una matriz de números complejos que proporciona información de la topología de un sistema de potencia. La parte real de es la matriz G, que corresponde a la conductancia (ecuación (1)). La parte imaginaria de es B, que corresponde a la susceptancia (ecuación (2)). La matriz se indica en la ecuación (3). 
	
	(1)
	
	
	
	(2)
	
	
	
	(3)
	
	
Para calcular la matriz se pueden utilizar dos métodos:
· Bloques constructivos.
· Por observación.
Método de bloques constructivos:
En este caso se debe analizar el diagrama unifilar (verificar si los datos están dados en impedancias o admitancias). El número de bloques dependerá del número de ramas, incluyendo las que están conectadas a tierra. En este caso el nodo tierra corresponde al nodo cero, y el resto se enumeran de 1 en adelante.
Para la figura 1 se asocia el bloque constructivo de la ecuación 4.
Figura 1. Diagrama del sistema.
Bloque constructivo de la matriz :
mn
m n
	
	(4)
Ejemplo 1:
Figura 2. Diagrama en impedancias.
Solución:
Se puede observar que el diagrama de la figura 2 está en impedancias; por lo tanto, se deben pasar datos de las ramas a admitancias y luego crear los bloques constructivos para cada rama.
Se inicia con la rama 1-0:
La impedancia de la rama 1-0 es 0.2j; además, hay una fuente de corriente inyectando 0,9∟0° en el nodo 1. Utilizando la ecuación 4 y pasando la impedancia de la rama a admitancia con la ecuación 5 se tiene:
	
	(5)
10
1 0
La fila y columna con etiqueta cero se eliminan (no se tiene en cuenta en la matriz ); por lo tanto, se tiene al final la siguiente matriz de 1x1:
1
1
Siempre haya conexión al nodo cero, se elimina la fila y columna de este nodo.
Se procede con otra rama conectada a tierra, la rama 2-0:
La impedancia de esta rama es -0.2j y no hay inyección de corriente. Utilizando las ecuaciones 4 y 5, y sabiendo que la fila y columna del nodo cero se eliminan, quedara la siguiente expresión:
2
2
Para las ramas 4-0, 3-0 y 5-0 se procede de la misma forma.
Ahora se continua con las ramas que están conectadas entre nodos diferentes de tierra:
Rama 3-5:
Esta rama tiene una impedancia de 0,2j, y una inyección de corriente en el nodo 5 de 1∟10°, utilizando las ecuaciones 4 y 5 se tiene:
3 5
35
La rama se puede tomar como 5-3 o 3-5, pues la matriz que la representa es simétrica.
Rama 4-5:
Esta rama tiene una impedancia de 0,25j, y hay una inyección de corriente en el nodo 5 de 1∟10°, usando las ecuaciones 4 y 5 se tiene:
45
4 5
Rama 1-3:
La impedancia de esta rama es 0,1j, y hay una inyección de corriente de 0,9∟0° en el nodo 1, utilizando las ecuaciones 4 y 5 se tiene:
1 3
13
Rama 1-2:
Esta rama tiene una impedancia de 0,125j, y hay inyección de corriente de 0,9∟0° en el nodo 1, utilizando las ecuaciones 4 y 5 se tiene:
12
1 2
Se debe hacer de forma análoga para todas las ramas del sistema. Posteriormente, para obtener los valores de cada posición de la matriz , se toman los valores en cada bloque constructivo que contenga esta posición y se suman, como se muestra en la ecuación 6, a continuación, se indica como hallar la posición (1,1) de la matriz :
· Posición (1,1) de la rama 1-0 = -5j 
· Posición (1,1) rama 1-3 = -10j
· Posición (1,1) rama 1-2 = -8j
	
	(6)
Luego de realizar el proceso para cada posición, sumando los valores de los bloques constructivos que contengan la misma posición, se llega a la matriz de 5x5:
Figura 3. Matriz Ybus 5x5.
Cálculo de la Matriz Ybus por observación:
Este método consiste en obtener directamente la matriz , del diagrama unifilar. Se debe tener en cuenta que los elementos de la diagonal corresponden a la suma de las admitancias de las ramas conectadas al nodo; mientras los elementos fuera de la diagonal corresponden a la admitancia que conecta estos dos nodos con signo contrario, para el ejemplo 1 se tiene:
Para la posición (3,3); diagonal de la matriz :
De la figura 2 se observa que al nodo 3 llegan la ramas 1-3, 4-3, 5-3, y 3-0, con impedancias de 0,1j, 0,2j, 0,2j y -0,1j respectivamente, que luego de pasarlos a admitancias se obtiene -10j, -5j y -5j y 10j; y al sumarlos se obtiene:
Ahora para la posición (3,4) y (4,3) de la matriz :
Debido a que la posición (3,4) y (4,3) comparten el mismo elemento, éstas dos tendrán el mismo valor, que corresponde al valor de la admitancia que comparten los nodos 3 y 4 con signo contrario; la admitancia es de -5j y con signo contrario sería 5j.
Cuando no hay conexión entre los nodos el valor correspondiente a la posición de Ybus es cero, como en el caso de la posición (1,4). 
El método por observación debe entregar los mismos resultados que el método por bloques constructivos.
Ejemplo 2:
Teniendo una matriz , obtener el diagrama de admitancias.
Figura 4. Matriz Ybus 4x4.
Siguiendo las instrucciones del método por observación se puede hacer el ejercicio inverso; es decir, a partir de una matriz Ybus se puede llegar a un diagrama unifilar. 
Solución:
Figura 5. Diagrama de admitancias.
Ramas mutuamente acopladas en Ybus
Cuando hay ramas acopladas ya no es posible utilizar el método por observación; por lo tanto, se debe hacer otro tipo de bloque constructivo, el cual se indica en la figura 6.
Figura 6. Matriz de nodos.
Los bloques indicados en la figura 6 se pueden obtener a partir de la figura 7.
Figura 7. Ramas mutuamente acopladas: parámetros de admitancia.
Donde , y se calculan con la inversa de la matriz de impedancias, que corresponde a la ecuación 7.
	
	(7)
Ejemplo 3: Calcular la matriz Ybus del sistema ilustrado en la figura 8. 
Figura 8. Diagrama de impedancias.
Se tiene:
· Za = 0,5j
· Zb = 0,3j
· Zm = 0,2j
De las figuras 7 y 8 se puede observar que el nodo 4 se puede etiquetar como m y p (ambos al tiempo); el nodo 1 se puede etiquetar como n y el nodo 3 se puede etiquetar como q.
Se continua entonces con el cálculo del bloque constructivo de la rama acoplada, con respecto a la figura 6:4 3
4 1
41
43
Se procede a calcular , y con la ecuación 7:
Así, el bloque de la rama acoplada queda como se indica a seguir:
41
43
4 1
4 3
Se procede entonces a calcular los bloques constructivos faltantes:
Rama 1-2:
De la figura 8 se puede observar que esta rama tiene una impedancia de 0,1j, y no hay inyección de corriente en ninguno de los dos nodos; así, utilizando las ecuaciones 4 y 5 se tiene:
12
1 2
Rama 2-3:
De la figura 8 se puede observar que esta rama tiene una impedancia de 0,2j, y no hay inyección de corriente en ninguno de los dos nodos; así, utilizando las ecuaciones 4 y 5 se tiene:
23
2 3
Rama 3-5:
De la figura 8 se puede observar que esta rama tiene una impedancia de 0,1j, y no hay inyección de corriente en ninguno de los dos nodos; así, utilizando las ecuaciones 4 y 5 se tiene:
3 5
35
Rama 5-0:
De la figura 8 se puede observar que esta rama tiene una impedancia de -0,5j, y no hay inyección de corriente; además, hay es una conexión al nodo 0, el cual corresponde a la tierra, sabiendo lo anterior y utilizando las ecuaciones 4 y 5 se tiene:
5 
5 
Rama 4-0:
De forma análoga para esta rama se obtiene:
4 
4 
Teniendo todos los bloques constructivos, se calcula cada posición de la matriz , (para este caso será una matriz 5x5). En este caso se procede de forma similar a como se indica en la ecuación (6):
Se inicia con la diagonal:
Luego se continua con las posiciones fuera de la diagonal:
Teniendo los valoresde las posiciones se procede a construir la matriz 
Figura 9. Matrix Ybus 5x5, por método de bloques constructivos.
Red de admitancias equivalente
Se puede obtener un circuito equivalente que “elimine” el acople de las ramas, para así utilizar el método por observación. En la figura 10 se ilustra el circuito del cual se parte para obtener la red equivalente de la figura 11.
Figura 10. Ramas mutuamente acopladas: parámetros de impedancias
Figura 11. Red equivalente en admitancias.
Tomando el ejemplo 3, se obtiene el circuito equivalente con respecto a la figura 11 (donde m y p son el mismo nodo).
Figura 12. Circuito equivalente del ejemplo 3.
Realizando el paralelo entre Ya y Ym, y Yb y Ym para el ejemplo dado se tiene:
Figura 13. Circuito equivalente reducido.
Ahora se procede a colocarlo en el diagrama de la figura 6, con todos los elementos en admitancias, para así poder aplicar el método por inspección.
Figura 14. Diagrama en admitancias.
Aplicando el método por inspección se obtiene:
Figura 15. Matriz Ybus 5x5, por inspección.
0,2j
0,125j
-0,2j
0,1j
0,1j
0,2j
-0,1j
0,1j
0,2j
0,25j
0,2j
0,9∟0°
1∟10°
1
2
3
4
5
-4j13-4j-2j5j-j 2-4j0,913j-8j4
-4j
1
3
-4j
-2j
5j
-j
2
-10j
-4j
0,9
13j
-8j
4
YaVa+-InnmYbVb+-IqIppqYm
Ya
Va
+
-
G
G
G
In
n
m
Yb
Vb
+
-
G
G
G
Iq
Ip
p
q
Ym
0,1jZa0,2j-0,2jZm 1234-0,5j5
0,1j
Za
0,2j
-0,2j
Zm
1
2
3
4
-0,5j
Zb
0,1j
5
ZaVa+-ImInnmZbVb+-IqIppqZm
Za
Va
+
-
G
G
G
Im
In
n
m
Zb
Vb
+
-
G
G
G
Iq
Ip
p
q
Zm
asYb-YmYmYmYa-YmmpnqImInIpIq
as
Yb
-Ym
Ym
Ym
Ya
-Ym
m
p
n
q
Im
In
Ip
Iq
m=p-Ymnq
m=p
Ya
Ym
Ym
Yb
-Ym
n
q
m=pnq-0,9091j-2,7273j-1,8182j
m=p
n
q
-0,9091j
-2,7273j
-1,8182j
-10j-5j5j12342j5-2,7273j-0,9091j-1,8182j
-10j
-5j
5j
1
2
3
4
2j
-10j
5
-2,7273j
-0,9091j
-1,8182j
VmVnYa = 1/ZamnImIn+-+-IaVa+-Nodo de referencia
Vm
Vn
Ya = 1/Za
m
n
G
G
Im
In
+
-
+
-
G
Ia
Va
+
-
Nodo de referencia
0,2j0,125j-0,2j0,1j0,1j0,2j-0,1j0,1j0,2j���Ŀ�° �Ŀ��° 12345