P10_Newton Parte 1

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Análisis de Sistema de Potencia
ANSISPOT
Pof. Jesús María López Lezama
jmaria.lopez@udea.edu.co
Facultad de Ingeniería
Universidad de Antioquia
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1
Solución de ecuaciones por el método de Newton 
El método de Newton y sus versiones desacopladas son los más utilizados en la práctica. Este método también es ampliamente utilizado en la solución de sistemas de ecuaciones no lineales.
El método de Newton transforma un problema no lineal en una secuencia de problemas lineales cuyas soluciones se aproximan a la solución del problema original. 
Sea
Una función continua y derivable
Se pretende encontrar el valor de x para el cual la función es igual a cero. 
2
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En términos geométricos resolver g(x)=0 consiste en encontrar el punto Xs en el cual la función g(x) corta el plano horizontal. 
Solución de ecuaciones por el método de Newton 
3
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Expandiendo g(x) en series de Taylor y despreciando los términos de orden superior se tiene:
Solución de ecuaciones por el método de Newton 
4
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Como el resultado es aproximado se tiene:
La diferencia entre x1 y Xs se denota como:
El proceso se hace de forma iterativa hasta que ε es suficientemente pequeño
Solución de ecuaciones por el método de Newton 
5
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Solución de ecuaciones por el método de Newton 
Proceso iterativo:
Iniciar el contador de iteraciones:
 Escoger el punto inicial 
2. Calcular el valor de en el punto 
3. Comparar el valor de con la tolerancia especificada
 Si el problema ya convergió. Si no ir al paso 4. 
4. Linealizar el problema usando series de Taylor y despreciando los términos de orden superior 
6
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Solución de ecuaciones por el método de Newton 
5. Resolver el problema linelizado:
Encontrar el nuevo punto:
6. Incrementar el contador y volver al paso 2.
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Solución de ecuaciones por el método de Newton 
El nuevo punto se calcula como:
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Solución de ecuaciones por el método de Newton 
Desarrollo del proceso iterativo
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Solución de ecuaciones por el método de Newton 
Versión modificada del método de Newton que usa derivadas constantes
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Otra forma del método de Newton es aplicar de forma iterativa la siguiente expresión hasta que la diferencia en dos iteraciones seguidas sea menor a una tolerancia
Ejemplo: Solucionar por el método de Newton
Valor de arranque inicial
Primera iteración 
Tolerancia o error 
Solución de ecuaciones por el método de Newton 
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 Método de Newton: caso n-dimensional 
Segunda iteración 
Tercera iteración 
Tolerancia o error 
Tolerancia o error 
5
 - = |5-4.2| = 0.8 
3.4
0118
 - = |4.2-4.0118| = 0.1882 
12
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 Método de Newton: caso n-dimensional 
Considere un sistema de n ecuaciones de la forma:
Ecuaciones
Incógnitas
Los pasos para el algoritmo n-dimensional son básicamente los mismos que para el algoritmo unidimensional, a diferencia del paso (4) en que se hace la linealización de g(x). 
La linealización de g(x) en torno al punto x(v) está dada por:
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 Método de Newton: caso n-dimensional 
Donde J es conocida como la matriz Jacobiana y está dada por:
El vector de correcciones se calcula como:
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 Método de Newton: caso n-dimensional 
Ejemplo 2: Solucionar por el método de Newton
Valores iniciales
15
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 Método de Newton: caso n-dimensional 
Para la primera iteración:
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 Método de Newton: caso n-dimensional 
Para la Segunda iteración:
17
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 Método de Newton: caso n-dimensional 
Características del método de Newton:
Es el más ampliamente utilizado para cálculos en sistemas de potencia
Converge para casos en que otros métodos divergen
El número de iteraciones necesarias para la convergencia es independiente del tamaño de la red
Requiere más memoria para almacenamiento debido a la matriz Jacobiana
El tiempo computacional por iteración es mayor
Es sensible a la selección del punto inicial
18
18
 Método de Newton: caso n-dimensional 
19
19
2
()54
fxxx
=-+
'()25
fxx
=-
(0)
7
x
=
(0)(0)
()18;'()9
fxfx
==
(0)
(1)(0)
(0)
()18
75
'()9
fx
xx
fx
=-=-=
(
)
1
(0)
752
xx
-=-=
()
(1)()
()
()
'()
i
ii
i
fx
xx
fx
+
=-
(1)
5
x
=
2
112112
2
212122
(,)340
(,)250
fxxxxx
fxxxxx
=+-=
=-+=
(0)
1
(0)
2
1
2
x
x
éù
éù
êú
=
êú
êú
êú
ëû
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112112
12
121
212
212212
12
(,)(,)
233
4
(,)(,)
fxxfxx
xx
xxx
J
xxx
fxxfxx
xx
¶¶
éù
êú
¶¶
+
éù
êú
==
êú
-
¶¶
êú
ëû
êú
¶¶
ëû
112
12
212
(,)
(,)
(,)
fxx
Fxx
fxx
éù
=
êú
êú
ëû
1
2
x
X
x
éù
=
êú
êú
ëû
(0)
(1)
1
1
(0)(0)(0)(0)
1
1212
(1)
(0)
2
2
(,)(,)
x
x
JxxFxx
x
x
-
éù
éù
êú
éùéù
=-
êú
ëûëû
êú
ëû
ëû
1
(1)
1
(1)
2
10.6935
833
271
21.7258
x
x
-
éùéù
éù
éùéù
=-=
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êú
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--
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êúêú
ëû
ëûëû
(1)
(2)
1
1
(1)(1)(1)(1)
1
1212
(2)
(1)
2
2
(,)(,)
x
x
JxxFxx
x
x
-
éù
éù
êú
éùéù
=-
êú
ëûëû
êú
ëû
ëû
1
(2)
1
(2)
2
0.69350.6741
6.56442.08050.0715
1.72586.20970.2401
1.72581.7580
x
x
-
éùéù
éù
éùéù
=-=
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êú
êúêú
-
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êúêú
ëû
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