P11_Newton Parte 2

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Flujo de carga usando el Método de Newton Raphson
Jesús María López Lezama
Facultad de Ingeniería
Universidad de Antioquia
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Subsistema I
Subsistema II
Subsistema III
Barra Ref
Barras PV y Ref
Para líneas y transformadores
2
2
Flujo de carga mediante Newton Raphson
El Subsistema I consiste en un sistema de 2 NPQ +NPV ecuaciones por igual número de incógnitas 
Se deben calcular la magnitud de las tensiones y el ángulo, de forma tal que la potencia calculada sea igual a la potencia especificada. 
Las incógnitas del Subsistema I se pueden escribir como:
3
3
Flujo de carga mediante Newton Raphson
Las ecuaciones de flujo de carga para el Subsistema I se pueden escribir como:
Missmatches o errores de potencias activa y reactiva
Al finalizar los cálculos de flujo de carga los errores o deltas de potencia deber ser menores a una tolerancia especificada. 
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Vectorialmente tenemos:
Esta función es la que queremos igualar a cero
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Aplicación del método de Newton al problema de flujo de carga:
El punto central de la solución de un sistema de ecuaciones g(x) por el método de Newton consiste en la determinación del vector de corrección de estado Δx en cada iteración. 
Para una iteración v, Δx es calculado usando: 
Donde:
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
La matriz Jacobiana está dada por:
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Entonces la matriz Jacobiana toma la siguiente forma:
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Las submatrices que componen la matriz Jacobiana se pueden expresar como:
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Las expresiones para las submatrices H N M L son obtenidas a partir de las ecuaciones de potencia nodales. 
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Características de las matrices H N M L:
Son estructuralmente simétricas y numéricamente asimétricas
Tienen las mismas características de esparcidad que la matriz Y
 Tienen dimensiones distintas en función de los datos del problema como se ilustra a continuación:
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Observaciones sobre criterios de convergencia:
- El criterio de convergencia normalmente usado es:
- Otros criterios usados consisten en verificar la variación de las tensiones entre dos iteraciones seguidas o también verificar la suma de los valores absolutos o cuadrados de los errores de potencia en cada iteración hasta que estos sean menores a cierta tolerancia. 
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
1. Inicializar el contador de iteraciones: 
 Escoger datos iniciales: 
Calcular :
 y los respectivos errores de potencia:
3. Verificar convergencia:
 Si no cumple con el criterio, ir al paso 4.
4. Calcular matriz Jacobiana
Algoritmo
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
5. Calcular las correcciones resolviendo el siguiente sistema: 
6. Incrementar el contador de iteraciones
 y volver al paso 2. 
Determinar la nueva solución como:
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Ejemplo: Calcular el flujo de carga para el siguiente sistema:
Tolerancia: 0.001
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TENER EN CUENTA
HACER LOS CÁLCULOS CON 5 CIFRAS DECIMALES. CON 4 LAS DIFERENCIAS SON ALTAS. EL EJEMPLO ES ILUSTRATIVO DEL PROCEDIMIENTO LOS CÁLCULOS DEBEN SER MÁS EXACTOS
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
 Iteración Cero:
Inicializo el contador de iteraciones k =0 
Selecciono los datos iniciales:
2. Calcular:
Barras PV, PQ
Barras PQ
18
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]
]
]
Flujo de carga mediante Newton Raphson
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Valores calculados 
Reemplazando en las ecuaciones anteriores se tiene:
Los valores calculados los comparo con los especificados para obtener los errores de potencia:
20
20
Flujo de carga mediante Newton Raphson
3. Verificar convergencia:
Los errores de potencia son mayores a la tolerancia especificada (0.001), seguir con el paso 4.
4. Calcular la matriz Jacobiana: 
J= [16.8 -16.8 -12.6
 -16.8 32.8 23.4
 12.6 -24.6 31.2]
Usando las expresiones matemáticas para H N M L y reemplazando se tiene:
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21
Flujo de carga mediante Newton Raphson
5. Encuentro los deltas de ángulo y tensión:
5. Incremento el contador de iteraciones k=1 y vuelvo al paso 2
Nuevos valores para la siguiente iteración
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22
Flujo de carga mediante Newton Raphson
Iteración Uno:
2. Usando los valores:
Calculo:
23
23
Flujo de carga mediante Newton Raphson
3. Verificar convergencia:
Los errores de potencia son mayores a la tolerancia especificada (0.0001), seguir con el paso 4.
4. Calcular la matriz Jacobiana: 
 
 J= [ 16.76015922 -16.76015922 -12.04649579
 -15.96095077 31.36381021 21.3775140 
 12.80322188 -24.7406431 30.16979534 ]
5. Encuentro deltas de ángulo y tensión:
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24
Flujo de carga mediante Newton Raphson
5. Incremento el contador de iteraciones k=2 y vuelvo al paso 2
Nuevos valores para la siguiente iteración
Iteración Dos:
2. Usando los valores:
Calculo:
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25
Flujo de carga mediante Newton Raphson
3. Verificar convergencia:
Los errores de potencia son menores a la tolerancia especificada (0.001).
El problema ya convergió. Solución:
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26
Flujo de carga mediante Newton Raphson
Solución por el método de Newton Raphson
En tres iteraciones (0, 1, 2) 
27
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Flujo de carga mediante Newton Raphson
Después de tener los valores de tensiones y ángulos se resuelven los subsitemas II y III 
Subsistema II
Subsistema III
Barra Ref
Barras PV y Ref
Para líneas y transformadores
28
28
()
kkmkmkmkmkm
mK
PVVGCosBSen
qq
Î
=+
å
()
kkmkmkmkmkm
mK
QVVGSenBCos
qq
Î
=-
å
2
()
kmkkmkmkmkmkmkm
PVgVVgCosbSen
qq
=-+
2
()()
sh
kmkkmkmkmkmkmkmkm
QVbbVVgSenbCos
qq
=-+--
121601216
012161216
121612162432
jj
Ybusjj
jjj
--+
éù
êú
=--+
êú
êú
-+-+-
ëû
(0)
2
(0)(0)
3
(0)
3
x
V
q
q
éù
êú
êú
=
êú
êú
êú
ëû
(0)
0
0
1
x
éù
êú
êú
=
êú
êú
ëû
(0)(0)(0)(0)
();()
kk
PVQV
qq
()
kkmkmkmkmkm
mK
PVVGCosBSen
qq
Î
=+
å
()
kkmkmkmkmkm
mK
QVVGSenBCos
qq
Î
=-
å
(0)
2
(0)
3
0.63
0.6
P
P
=
=-
(0)
3
0.8
Q
=-
(0)
22
(0)
33
0.63
(0.6)
esp
esp
PP
PP
D=-
D=--
(0)
33
(0.8)
esp
QQ
D=--
(0)
2
(0)
3
1.50.630.87
2(0.6)1.4
P
P
D=-=
D=---=-
(0)
3
1(0.8)0.2
Q
D=---=-
(0)
2
(0)
3
(0)
3
0.0167
0.0158
0.0256
V
q
q
D=
D=-
D=-
(1)(0)(0)
222
(1)(0)(0)
333
(1)(0)(0)
333
0.0167
0.0158
0.9744
VVV
qqq
qqq
=+D=
=+D=-
=+D=
(1)
2
(1)(1)
3
(1)
3
0.0167
0.0158
0.9744
x
V
q
q
éù
éù
êú
êú
êú
êú
==-
êú
êú
êú
êú
ëû
êú
ëû
(1)(1)(1)(1)
(,);(,)
kk
PVQV
qq
(1)(1)
222
(1)(1)
333
(1)(1)
333
espcalc
espcalc
espcalc
PPP
PPP
QQQ
D=-
D=-
D=-
(2)(1)(1)
222
(2)(1)(1)
333
(2)(1)(1)
333
0.0147
0.0175
0.9733
VVV
qqq
qqq
=+D=
=+D=-
=+D=
(2)
2
(2)(2)
3
(2)
3
0.0147
0.0175
0.9733
x
V
q
q
éù
éù
êú
êú
êú
êú
==-
êú
êú
êú
êú
ëû
êú
ëû
(2)(2)(2)(2)
(,);(,)
kk
PVQV
qq
(2)(2)
222
(2)(2)
333
(2)(2)
333
espcalc
espcalc
espcalc
PPP
PPP
QQQ
D=-
D=-
D=-
2
3
3
0.01470.8422
0.01751.0027
0.97330.9733
x
V
q
q
éù
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==-=-
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ëûëû
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