Clase01_Solucion

Vista previa del material en texto

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
Escuela de Ingenieŕıa
A2 - Álgebra Lineal
Primer Semestre 2020
Clase 1
Sistemas lineales y matrices
Problema 1:
Encuentre el valor de t para que el sistema mostrado a continuación tenga infinitas soluciones.
x+ 4y − 2z = 1
x+ 7y − 6z = 6
3y − 4z = t
Para dicho valor de t, encuentre la solución al sistema si z = 1.
Solución:
Ampliando la matriz y pivoteando el sistema tenemos que:1 4 −2 11 7 −6 6
0 3 −4 t
 F2−F1−→
1 4 −2 10 3 −4 5
0 3 −4 t
 F3−F2−→
1 4 −2 10 3 −4 5
0 0 0 (t− 5)

Es decir, si t = 5 el sistema tiene infinitas soluciones.
Luego, si z = 1 tomando la segunda ecuación tenemos que:
3y − 4z = 5⇒ 3y − 4 = 5⇒ 3y = 9⇒ y = 3
Reemplazando estos valores en la primera ecuación obtenemos que
x+ 4(3)− 2(1) = 1⇒ x = −9
Luego la solución al sistema con z = 1 es (−9, 3, 1)
Problema 2:
Dados los dos sistemas mostrados a continuación:
2x + y = 0
x + 2y + z = 0
y + 2z + t = 0
z + 2t = 5
1
2x − y = 0
−x + 2y − z = 0
− y + 2z − t = 0
− z + 2t = 5
a) Encuentre los pivotes y la solución para ambos sistemas.
b) Propuesto Si extendemos los sistemas siguiendo el patrón 1,2,1 o el patrón -1,2,-1, cual
seŕıa el quinto pivote? Cual seŕıa el n-ésimo pivote?
Solución:
Para el primer sistema tenemos que
2 1 0 0 0
1 2 1 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 2 5
 2F2−F1−→

2 1 0 0 0
0 3 2 0 0
0 1 2 1 0
0 0 1 2 5
 3F3−F2−→

2 1 0 0 0
0 3 2 0 0
0 0 4 3 0
0 0 1 2 5
 4F4−F3−→

2 1 0 0 0
0 3 2 0 0
0 0 4 3 0
0 0 0 5 20

Luego los pivotes son 2, 3, 4 ,5 y la solución del sistema:
5t = 20⇒ t = 4
4z + 3t = 0⇒ 4z + 12 = 0⇒ z = −3
3y + 2z = 0⇒ 3y − 6 = 0⇒ y = 2
2x+ y = 0⇒ 2x+ 2 = 0⇒ x = −1
Luego la solución del sistema es (x, y, z, t) = (−1, 2,−3, 4) Para el segundo sistema tenemos
que: 
2 −1 0 0 0
−1 2 −1 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 5
 2F2−F1−→

2 −1 0 0 0
0 3 −2 0 0
0 −1 2 −1 0
0 0 −1 2 5
 3F3−F2−→

2 −1 0 0 0
0 3 2 0 0
0 0 4 −3 0
0 0 −1 2 5

4F4−F3−→

2 −1 0 0 0
0 3 −2 0 0
0 0 4 −3 0
0 0 0 5 20

Luego los pivotes son 2, 3, 4 ,5 y la solución del sistema:
5t = 20⇒ t = 4
4z − 3t = 0⇒ z = 3
3y − 2z = 0⇒ y = 2
2
2x− y = 0⇒ x = 1
Luego la solución del sistema es (x, y, z, t) = (1, 2, 3, 4)
Problema 3:
Para cuales tres valores de a la eliminación de filas de A no generará 3 pivotes?
A =
a 2 3a a 4
a a a

Solución:
Resolviendo el sistema anterior tenemos quea 2 3a a 4
a a a
 F2−F1−→
a 2 30 (a− 2) 1
a a a
 F3−F1−→
a 2 30 (a− 2) 1
0 (a− 2) (a− 3)
 F3−F2−→
a 2 30 (a− 2) 1
0 0 (a− 4)

luego por inspección es claro que si a=0 no habrá pivotes en la primera columna, si a=2 no
habra pivote en la segunda columna y si a=4 no habrá pivote en la tercera columna
Problema 4:
Sea A una matriz de 4× 4, encuentre los cuatro componentes x1 , x2 , x3 y x4 del sistema Ax =
b mostrado a continuación, en términos de los componentes del vector b.
Ax =

1 0 0 0
−1 1 0 0
0 −1 1 0
0 0 −1 1


x1
x2
x3
x4
 =

b1
b2
b3
b4
 = b
Solución:
Podemos escribir la solución del sistema Ax= b realizando la multiplicación de la matriz A
con el vector x quedando de la siguiente forma:
x1
−x1 + x2
−x2 + x3
−x3 + x4
 =

b1
b2
b3
b4

Luego utilizando el resultado anterior tenemos que:
x1 = b1
−x1 + x2 = b2 ⇒ x2 = b2 + b1
3
−x2 + x3 = b3 ⇒ x3 = b3 + b2 + b1
−x3 + x4 = b4 ⇒ x4 = b4 + b3 + b2 + b1
Problema 5:
Si A = [~v1, ~v2, ~v3] es una matriz de n× 3 con columnas ~vi 6= ~0 y ~v2 = ~v1 + 3~v3, Determine infinitas
soluciones de A~x = ~v1 + 3~v3. Justifique.
Hint: Recordar que toda solución se puede escribir como solución particular + solución homogénea.
Solución:
Puesto que A~x = x1 ~v1 + x2 ~v2 + x3 ~v3, tenemos que ~v2 = ~v1 + 3~v3 =⇒ ~v1 − ~v2 + 3~v3 = ~0, por
lo que el vector (1, −1, 3) vendŕıa siendo una solución homogénea.
Ahora necesitamos una combinación lineal de ~x=
x1x2
x3
 tal que x1 ~v1 +x2 ~v2 +x3 ~v3 = −~v1 + 3~v2
Es claro ver que la combinación lineal buscada es: ~x =
−13
0

Por lo tanto, la solución general al sistema viende dada por: λ
 1−1
3
 +
−13
0

Problema 6:
Sean r, s ∈ R, y el sistema de ecuaciones Ax = b donde la matriz escalonada de la matriz aumentada
[A|b] es: 1 0 2 1 10 1 r 0 1
0 0 s s r

Determine los valores de r, s para que el sistema:
1. no tenga solución.
2. tenga solución única (además encuentrela).
3. tenga infinitas soluciones (describa el conjunto solución).
Solución:
Dividiremos esto en casos. Supondremos que el vector solución es de la forma: (a, b, c, d).
1. r = s = 0:
4
En este caso la matriz queda: 1 0 2 1 10 1 0 0 1
0 0 0 0 0

La primera ecuación nos dice que a + 2c + d = 1, y la segunda ecuación nos dice que
b = 1. Usando c y d como variables libres, el vector solución se ve de la siguiente forma:
x = (a, b, c, d) = (1− 2c− d, 1, c, d).
Entonces tenemos un sistema con infinitas soluciones (2 variables libres).
2. r 6= 0, s = 0:
En este caso la matriz queda: 1 0 2 1 10 1 r 0 1
0 0 0 0 r

De la ultima fila, se tiene que el sistema no tiene solución.
3. r = 0, s 6= 0:
En este caso la matriz queda: 1 0 2 1 10 1 0 0 1
0 0 s s 0

La primera ecuación nos dice que a + 2c + d = 1, la segunda que b = 1, y dividiendo la
tercera por s tenemos que c+ d = 0. La variable libre entonces es d, y el vector solución
es de la forma:
x = (1 + d, 1, −d, d)T
Entonces, el sistema tiene infinitas soluciones (1 variable libre).
4. r 6= 0, s 6= 0:
La matriz del sistema es: 1 0 2 1 10 1 r 0 1
0 0 s s r

Pivoteando hasta la forma escalonada reducida, se obtiene que el vector solución queda:
x =

1− 2r
s
− d
1− r2
s
+ rd
r
s
− d
d

5
Por lo cual vemos que el sistema tiene infinitas soluciones (1 variable libre). Por último,
se concluye que el sistema no posee valores para r, s tal que la solución es única. Esto
tiene sentido, porque el sistema tiene más columnas que filas, por lo que siempre habrá
al menos una variable libre.
Pregunta 7:
Demuestre que para todo conjunto de vectores en R, el ~0 siempre está en el espacio que generan.
Solución:
Sean x1, ..., xn un conjunto de vectores en Rd. Luego, 0 ∈ 〈{x1, ..., xn}〉 si y solo existe una
colección {αi}ni=1 ⊂ R tales que:
~0 =
n∑
i=1
αixi
Tomando αi = 0 para todo i se obtiene que ~0 siempre pertenece al generado de un conjunto
de vectores.
Pregunta 8:
Construya una matriz de 3x3, no en forma escalonada, cuyas columnas no generen a R3. Demuestre
que la matriz que construyo tiene la caracteristica deseada.
Solución:
Veamos la siguiente matriz
A =
1 0 12 1 1
0 1 −1

Es fácil verificar que las columnas de A no generan R3 pues la tercera columna es una combi-
nación lineal de las primeras 2. Esto es:
a3 = a1 − a2, A = [a1|a2|a3]
Esta solución no es única y depende de la creatividad de cada uno. El hecho de que la tercera
columna se escriba como una combinación de las primeras hará que esta columna no tenga
pivote, y por lo tanto la matriz no podrá generar a todo R3.
Pregunta 9:
Sea B =

−1 5 13 8
0 1 2 0
3 4 −1 1
2 −5 −16 −8
 las columnas de B. ¿Generan R4? La ecuación B~x = ~y, ¿tiene
solución para cada ~y en R4?
6
Solución:
Para ver si las columnas de la matriz B generan R4, hay que ver si todas las filas de B tienen
pivote. Para esto, debemos pivotear la matriz hasta su forma escalonada:
−1 5 13 8
0 1 2 0
3 4 −1 1
2 −5 −16 −8
 F3+3F1−→

−1 5 13 8
0 1 2 0
0 19 38 25
2 −5 −16 −8
 F4+2F1−→

−1 5 13 8
0 1 2 0
0 19 38 25
0 5 10 8
 F3−19F2−→

−1 5 13 8
0 1 2 0
0 0 0 25
0 5 10 8
 F4−5F2−→

−1 5 13 8
0 1 2 0
0 0 0 25
0 0 0 8
 F4−8/25F3−→

−1 5 13 8
0 1 2 0
0 0 0 25
0 0 0 0

Como no hay pivote en todas sus columnas, no es posible generar todo R4, y por ende, no
tiene solución para cada y en R4.
7