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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE Escuela de Ingenieŕıa A2 - Álgebra Lineal Primer Semestre 2020 Clase 1 Sistemas lineales y matrices Problema 1: Encuentre el valor de t para que el sistema mostrado a continuación tenga infinitas soluciones. x+ 4y − 2z = 1 x+ 7y − 6z = 6 3y − 4z = t Para dicho valor de t, encuentre la solución al sistema si z = 1. Solución: Ampliando la matriz y pivoteando el sistema tenemos que:1 4 −2 11 7 −6 6 0 3 −4 t F2−F1−→ 1 4 −2 10 3 −4 5 0 3 −4 t F3−F2−→ 1 4 −2 10 3 −4 5 0 0 0 (t− 5) Es decir, si t = 5 el sistema tiene infinitas soluciones. Luego, si z = 1 tomando la segunda ecuación tenemos que: 3y − 4z = 5⇒ 3y − 4 = 5⇒ 3y = 9⇒ y = 3 Reemplazando estos valores en la primera ecuación obtenemos que x+ 4(3)− 2(1) = 1⇒ x = −9 Luego la solución al sistema con z = 1 es (−9, 3, 1) Problema 2: Dados los dos sistemas mostrados a continuación: 2x + y = 0 x + 2y + z = 0 y + 2z + t = 0 z + 2t = 5 1 2x − y = 0 −x + 2y − z = 0 − y + 2z − t = 0 − z + 2t = 5 a) Encuentre los pivotes y la solución para ambos sistemas. b) Propuesto Si extendemos los sistemas siguiendo el patrón 1,2,1 o el patrón -1,2,-1, cual seŕıa el quinto pivote? Cual seŕıa el n-ésimo pivote? Solución: Para el primer sistema tenemos que 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 5 2F2−F1−→ 2 1 0 0 0 0 3 2 0 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 5 3F3−F2−→ 2 1 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 4 3 0 0 0 1 2 5 4F4−F3−→ 2 1 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 4 3 0 0 0 0 5 20 Luego los pivotes son 2, 3, 4 ,5 y la solución del sistema: 5t = 20⇒ t = 4 4z + 3t = 0⇒ 4z + 12 = 0⇒ z = −3 3y + 2z = 0⇒ 3y − 6 = 0⇒ y = 2 2x+ y = 0⇒ 2x+ 2 = 0⇒ x = −1 Luego la solución del sistema es (x, y, z, t) = (−1, 2,−3, 4) Para el segundo sistema tenemos que: 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 5 2F2−F1−→ 2 −1 0 0 0 0 3 −2 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 2 5 3F3−F2−→ 2 −1 0 0 0 0 3 2 0 0 0 0 4 −3 0 0 0 −1 2 5 4F4−F3−→ 2 −1 0 0 0 0 3 −2 0 0 0 0 4 −3 0 0 0 0 5 20 Luego los pivotes son 2, 3, 4 ,5 y la solución del sistema: 5t = 20⇒ t = 4 4z − 3t = 0⇒ z = 3 3y − 2z = 0⇒ y = 2 2 2x− y = 0⇒ x = 1 Luego la solución del sistema es (x, y, z, t) = (1, 2, 3, 4) Problema 3: Para cuales tres valores de a la eliminación de filas de A no generará 3 pivotes? A = a 2 3a a 4 a a a Solución: Resolviendo el sistema anterior tenemos quea 2 3a a 4 a a a F2−F1−→ a 2 30 (a− 2) 1 a a a F3−F1−→ a 2 30 (a− 2) 1 0 (a− 2) (a− 3) F3−F2−→ a 2 30 (a− 2) 1 0 0 (a− 4) luego por inspección es claro que si a=0 no habrá pivotes en la primera columna, si a=2 no habra pivote en la segunda columna y si a=4 no habrá pivote en la tercera columna Problema 4: Sea A una matriz de 4× 4, encuentre los cuatro componentes x1 , x2 , x3 y x4 del sistema Ax = b mostrado a continuación, en términos de los componentes del vector b. Ax = 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 1 x1 x2 x3 x4 = b1 b2 b3 b4 = b Solución: Podemos escribir la solución del sistema Ax= b realizando la multiplicación de la matriz A con el vector x quedando de la siguiente forma: x1 −x1 + x2 −x2 + x3 −x3 + x4 = b1 b2 b3 b4 Luego utilizando el resultado anterior tenemos que: x1 = b1 −x1 + x2 = b2 ⇒ x2 = b2 + b1 3 −x2 + x3 = b3 ⇒ x3 = b3 + b2 + b1 −x3 + x4 = b4 ⇒ x4 = b4 + b3 + b2 + b1 Problema 5: Si A = [~v1, ~v2, ~v3] es una matriz de n× 3 con columnas ~vi 6= ~0 y ~v2 = ~v1 + 3~v3, Determine infinitas soluciones de A~x = ~v1 + 3~v3. Justifique. Hint: Recordar que toda solución se puede escribir como solución particular + solución homogénea. Solución: Puesto que A~x = x1 ~v1 + x2 ~v2 + x3 ~v3, tenemos que ~v2 = ~v1 + 3~v3 =⇒ ~v1 − ~v2 + 3~v3 = ~0, por lo que el vector (1, −1, 3) vendŕıa siendo una solución homogénea. Ahora necesitamos una combinación lineal de ~x= x1x2 x3 tal que x1 ~v1 +x2 ~v2 +x3 ~v3 = −~v1 + 3~v2 Es claro ver que la combinación lineal buscada es: ~x = −13 0 Por lo tanto, la solución general al sistema viende dada por: λ 1−1 3 + −13 0 Problema 6: Sean r, s ∈ R, y el sistema de ecuaciones Ax = b donde la matriz escalonada de la matriz aumentada [A|b] es: 1 0 2 1 10 1 r 0 1 0 0 s s r Determine los valores de r, s para que el sistema: 1. no tenga solución. 2. tenga solución única (además encuentrela). 3. tenga infinitas soluciones (describa el conjunto solución). Solución: Dividiremos esto en casos. Supondremos que el vector solución es de la forma: (a, b, c, d). 1. r = s = 0: 4 En este caso la matriz queda: 1 0 2 1 10 1 0 0 1 0 0 0 0 0 La primera ecuación nos dice que a + 2c + d = 1, y la segunda ecuación nos dice que b = 1. Usando c y d como variables libres, el vector solución se ve de la siguiente forma: x = (a, b, c, d) = (1− 2c− d, 1, c, d). Entonces tenemos un sistema con infinitas soluciones (2 variables libres). 2. r 6= 0, s = 0: En este caso la matriz queda: 1 0 2 1 10 1 r 0 1 0 0 0 0 r De la ultima fila, se tiene que el sistema no tiene solución. 3. r = 0, s 6= 0: En este caso la matriz queda: 1 0 2 1 10 1 0 0 1 0 0 s s 0 La primera ecuación nos dice que a + 2c + d = 1, la segunda que b = 1, y dividiendo la tercera por s tenemos que c+ d = 0. La variable libre entonces es d, y el vector solución es de la forma: x = (1 + d, 1, −d, d)T Entonces, el sistema tiene infinitas soluciones (1 variable libre). 4. r 6= 0, s 6= 0: La matriz del sistema es: 1 0 2 1 10 1 r 0 1 0 0 s s r Pivoteando hasta la forma escalonada reducida, se obtiene que el vector solución queda: x = 1− 2r s − d 1− r2 s + rd r s − d d 5 Por lo cual vemos que el sistema tiene infinitas soluciones (1 variable libre). Por último, se concluye que el sistema no posee valores para r, s tal que la solución es única. Esto tiene sentido, porque el sistema tiene más columnas que filas, por lo que siempre habrá al menos una variable libre. Pregunta 7: Demuestre que para todo conjunto de vectores en R, el ~0 siempre está en el espacio que generan. Solución: Sean x1, ..., xn un conjunto de vectores en Rd. Luego, 0 ∈ 〈{x1, ..., xn}〉 si y solo existe una colección {αi}ni=1 ⊂ R tales que: ~0 = n∑ i=1 αixi Tomando αi = 0 para todo i se obtiene que ~0 siempre pertenece al generado de un conjunto de vectores. Pregunta 8: Construya una matriz de 3x3, no en forma escalonada, cuyas columnas no generen a R3. Demuestre que la matriz que construyo tiene la caracteristica deseada. Solución: Veamos la siguiente matriz A = 1 0 12 1 1 0 1 −1 Es fácil verificar que las columnas de A no generan R3 pues la tercera columna es una combi- nación lineal de las primeras 2. Esto es: a3 = a1 − a2, A = [a1|a2|a3] Esta solución no es única y depende de la creatividad de cada uno. El hecho de que la tercera columna se escriba como una combinación de las primeras hará que esta columna no tenga pivote, y por lo tanto la matriz no podrá generar a todo R3. Pregunta 9: Sea B = −1 5 13 8 0 1 2 0 3 4 −1 1 2 −5 −16 −8 las columnas de B. ¿Generan R4? La ecuación B~x = ~y, ¿tiene solución para cada ~y en R4? 6 Solución: Para ver si las columnas de la matriz B generan R4, hay que ver si todas las filas de B tienen pivote. Para esto, debemos pivotear la matriz hasta su forma escalonada: −1 5 13 8 0 1 2 0 3 4 −1 1 2 −5 −16 −8 F3+3F1−→ −1 5 13 8 0 1 2 0 0 19 38 25 2 −5 −16 −8 F4+2F1−→ −1 5 13 8 0 1 2 0 0 19 38 25 0 5 10 8 F3−19F2−→ −1 5 13 8 0 1 2 0 0 0 0 25 0 5 10 8 F4−5F2−→ −1 5 13 8 0 1 2 0 0 0 0 25 0 0 0 8 F4−8/25F3−→ −1 5 13 8 0 1 2 0 0 0 0 25 0 0 0 0 Como no hay pivote en todas sus columnas, no es posible generar todo R4, y por ende, no tiene solución para cada y en R4. 7