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Álgebra y Geometría Analítica 
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Trabajo Práctico Nº 8: VALORES Y VECTORES CARACTERÍSTICOS. 
DIAGONALIZACIÓN. 
 
Ejercicio 1: Dada , muestre si y son vectores propios de 
A e indique a qué valor propio está asociado. 
https://drive.google.com/file/d/1B32xd--
OcRAFaVXUBqMnCvq5a1xGcmCy/view?usp=sharing 
 
Ejercicio 2: Dada la matriz , calcula sus valores y vectores propios. ¿Es 
N inversible? 
 
Ejercicio 3: Dada la transformación lineal de en , reflexión de un vector con 
respecto al eje y, halle los valores y vectores propios e interprete geométricamente. 
https://drive.google.com/file/d/1hXnn6YfRkHCjjrPBuGyzKKLmYsRkEsmj/view?usp=
sharing 
 
 
Ejercicio 4: Para las siguientes matrices: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Encuentre, de ser posible: 
i. Los valores propios. 
ii.Los espacios propios asociados a cada valor propio. 
iii. Una base y la dimensión de los espacios propios. 
https://drive.google.com/file/d/1B32xd--OcRAFaVXUBqMnCvq5a1xGcmCy/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1B32xd--OcRAFaVXUBqMnCvq5a1xGcmCy/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1hXnn6YfRkHCjjrPBuGyzKKLmYsRkEsmj/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1hXnn6YfRkHCjjrPBuGyzKKLmYsRkEsmj/view?usp=sharing
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iv. Interprete geométricamente cada caso. 
 
SOLUCIÓN EN FOTO DE MATRIZ B Y D: 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/129079/mod_resource/content/
1/ejercicio4.%20diagonalizaci%C3%B3n.pdf 
 
Ejercicio 5: Demuestre que: 
 
a) Si es una matriz triangular superior o inferior entonces los valores propios son 
los elementos de la diagonal principal. 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/128991/mod_resource/content/
1/vyvp_5a_utn.pdf 
b) La transformación semejanza T(A) = C-1AC, es transformación lineal. 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/128992/mod_resource/content/
1/vyvp_5b_utn.pdf 
c) Si es valor propio de entonces es valor propio de 
 
Ejercicio 6: Busque una aplicación en el celular para calcular valores y vectores propios 
o investiga en las funciones de la calculadora. Utilice dicha aplicación para hallar valores 
y vectores propios de la matriz E. 
 
 
Ejercicio 7: Complete, de ser posible, la siguiente tabla, teniendo en cuenta que es 
una matriz que diagonaliza a cada matriz de la primer columna y que es la matriz 
diagonal semejante a dicha matriz, obtenida a partir de . 
 
Matriz 
Valores 
propios 
Vectores 
propios L.I. 
¿Es 
diagona
-
lizable? 
Matriz , si 
existe 
Matriz 
si existe 
A (punto 4) 
 
 
 
 
 
 
 
sí 
 
Matriz P de la matriz A 
 
 
 solo 
trabajaremos con 
valores y 
vectores reales 
 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/129079/mod_resource/content/1/ejercicio4.%20diagonalizaci%C3%B3n.pdf
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/129079/mod_resource/content/1/ejercicio4.%20diagonalizaci%C3%B3n.pdf
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/128991/mod_resource/content/1/vyvp_5a_utn.pdf
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/128991/mod_resource/content/1/vyvp_5a_utn.pdf
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/128992/mod_resource/content/1/vyvp_5b_utn.pdf
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/128992/mod_resource/content/1/vyvp_5b_utn.pdf
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B (punto 4) 
 
 
 
 
 
 
 
si 
 
 C (punto 4) 
 
 
 
λ1,2 = 2 
 
 
si 
 
D (punto 4) 
 
 
 
 
 
no 
E 
(ejercicio con link) 
λ1=λ2=1 
λ3=3 
v1=
, v2= , 
v3= , 
 
 
 
 
 
 
Matriz : 
https://drive.google.com/file/d/1wmn9fXqZx7Nzay64GKGbYHMtPWMVAZKC/view
?usp=sharing 
 
Ejercicio 8: Proporcione, si es posible, un ejemplo de una matriz que verifique las 
condiciones requeridas en cada caso: 
a) tiene valores propios distintos y es diagonalizable. 
b) A tiene valores propios distintos y no es diagonalizable. 
https://drive.google.com/file/d/1wmn9fXqZx7Nzay64GKGbYHMtPWMVAZKC/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1wmn9fXqZx7Nzay64GKGbYHMtPWMVAZKC/view?usp=sharing
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c) tiene valores propios iguales y no es diagonalizable. 
d) tiene valores propios iguales y es diagonalizable. 
e) es inversible y es diagonalizable. 
f) es inversible y no es diagonalizable. 
g) no es inversible y es diagonalizable. 
h) no es inversible y no es diagonalizable. 
 
 
Ejercicio 9: Encuentre, en cada caso, una matriz que diagonalice ortogonalmente a 
la matriz y determine . 
 
a) A= , b) B= I3 
a) 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/129084/mod_resource/content
/1/9a_diagonalizacion_utn.pdf 
b)https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/128994/mod_resource/conte
nt/1/vyvp_9b_utn.pdf 
Ejercicio 10: Si es una matriz de orden nxn, argumente la veracidad o falsedad de las 
siguientes proposiciones. 
 
a) Si λ es valor propio de A, entonces det(A- λI) = 0. 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44592 
b) Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son 
linealmente independientes. 
c) Los valores propios de A, son los elementos de la diagonal principal. 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44594 
d) Si A tiene n-2 valores propios, entonces no es diagonalizable. 
e) y tienen los mismos vectores propios. 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44596 
 
 
f) Si A es diagonalizable y A semejante a Bnxn, entonces Bnxn es también diagonalizable. 
 
g) La multiplicidad algebraica de λ es menor o igual a la multiplicidad geométrica 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44598 
 
 
h) Sea A una matriz de orden 3 cuyos valores propios son 3, 0 y 6, entonces todo sistema 
de ecuaciones lineales de matriz de coeficientes A es compatible. 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/129084/mod_resource/content/1/9a_diagonalizacion_utn.pdf
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/129084/mod_resource/content/1/9a_diagonalizacion_utn.pdf
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/128994/mod_resource/content/1/vyvp_9b_utn.pdf
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/pluginfile.php/128994/mod_resource/content/1/vyvp_9b_utn.pdf
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44592
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44594
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44596
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44598
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i) Si es diagonalizable ortogonalmente, entonces es simétrica. 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44600 
 
 
j) Si A es una matriz inversible y ortogonalmente diagonalizable, entonces A-1 es 
ortogonalmente diagonalizable. 
 
k) Si los subespacios propios de una matriz A4x4 son 
 
, z, t ∈ IR} 
Entonces la matriz A es diagonalizable. 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44601 
 
 
Ejercicio 11: En cada caso, indique la (o las) respuestas correctas: 
 
a) Si y son matrices semejantes de orden , entonces: 
1) 
2) y son diagonalizables. 
3) y son inversibles 
4) Ninguna respuesta anterior es correcta. 
 
 
b) Si es una matriz de orden 3 con valores propios 0, 1 y -1, entonces: 
1) es equivalente por filas a la identidad. 
2) es diagonalizable. 
3) tr (A) = 0 . 
4) Ninguna respuesta anterior es correcta. 
 
c) Si es una matriz de orden tal que , entonces: 
1) es inversible. 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44600https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=44601
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2) es diagonalizable ortogonalmente. 
3) es ortogonal. 
4) Ninguna respuesta anterior es correcta. 
 
d) Sea P(λ) el polinomio característico de A, P(λ) = (λ-1) (λ-3)2 (λ-4)3 entonces: 
1) A es de orden 3x3 
2) A es diagonalizable 
3) A tiene entre 3 y 6 vectores propios 
4) Ninguna respuesta anterior es correcta. 
 
 
 
Ejercicio 12: Sea una matriz de orden 2 cuyos valores propios son -2 y 5. Complete 
o responda según corresponda: 
 
 
a) 
……………………………………………………………………..……….. 
b) ¿Qué puede asegurar acerca de det(A-
5I)?.................................................................. 
c) Los valores propios de B = 4A son 
……………………………...……………………. 
d) Los valores propios de son………………………………...…………….. 
e) det (AT + I) es………..…………………………………...………. 
f) Si es una matriz semejante a , entonces sus valores propios 
son………….…… 
g) ¿ es inversible? Justifique su respuesta. En caso de serlo, los valores propios de 
 son ……………………………………………………………………...….. 
h) ………………………………………………………….………… 
i) ¿ es diagonalizable? Justifique su respuesta………………………………. 
 
https://www.campusvirtual.frm.utn.edu.ar/mod/resource/view.php?id=43898 
 
 
 
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