PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-86

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3) Seleccionar el nivel de significancia α 
 
4) Estadístico de prueba 
 χ2 = (n-1) 2
o
2S
σ
, distribución ji-cuadrado con ν = n-1 grados de libertad 
 Región crítica 
 
 Ha Región de rechazo de Ho en favor de Ha 
 σ2 < 2oσ χ
2 < 21 α−χ 
 σ2 > 2oσ χ
2 > 2αχ 
 σ2 ≠ 2oσ χ
2< 2 2/1 α−χ ∨ χ
2 > 2 2/αχ 
 
5) Calcular el valor del estadístico de prueba con los datos de la muestra 
 
6) Tomar una decisión. 
 
 
Ejemplo 
Un fabricante afirma que la duración de su producto tiene distribución aproximadamente normal 
con una desviación estándar de 0.9 años. 
 
Una muestra aleatoria de 10 productos tuvo una desviación estándar de 1.2 años. Pruebe, con 
una significancia de 5%, si esta evidencia es suficiente para afirmar que la desviación estándar 
poblacional es mayor a la especificada 
 
La prueba es aplicable a la varianza σ2 por lo tanto σ2 = (0.9)2 = 0.81 
 
1) Ho: σ2 = 0.81 
2) Ha: σ2 > 0.81 
3) α = 0.05 
4) Estadístico de prueba 
 χ2 = (n-1)
2
2
o
S
σ
, distribución ji-cuadrado con ν = n-1 grados de libertad 
 Región de rechazo 
 α = 0.05, ν = n - 1 = 9 ⇒ 20.05χ = 16.91 
 Rechazar Ho si χ2 > 16.91 
5) χ2 = (n-1)
2
2
o
S
σ
= 9
2(1.2)
0.81
=16.0 
6) Con 5% de significancia se puede concluir que no hay evidencia suficiente para 
 rechazar la afirmación del fabricante 
 
 
255 
 
 
10.7.3 EJERCICIOS 
 
1) Se tomó una muestra aleatoria de 15 observaciones de una población normal y se obtuvo que 
la media y la varianza muestrales fueron respectivamente 3.92 y 0.325. Encuentre un intervalo 
de confianza de 90 para varianza de la población. 
 
2) Una muestra aleatoria de 20 observaciones tomada de una población normal produjo una 
varianza muestral igual a 18.2. Determine si los datos proporcionan suficiente evidencia para 
afirmar que ñla varianza poblacional es mayor a 15. Haga la prueba con 5% de significancia. 
 
3) El fabricante de un artículo afirma que la resistencia media de su artículo tiene distribución 
normal con una desviación estándar de 0.5. Una muestra aleatoria 4 observaciones produjo los 
siguientes resultados de su resistencia: 5.2 4.3 3.7 3.9 5.7. Realice una prueba con 5% de 
sigificancia para determinar si la desviación estándar especificada por el fabricante es cierta. 
 
4) Un fabricante de cables de cobre afirma que la resistencia de su producto tiene distribución 
normal con varianza de 100. 
Al probar la resistencia de cuatro artículos de una muestra aleatoria se obtuvieron los siguientes 
resultados: 130, 152, 128, 145. 
Pruebe con una significancia de 5% que la varianza excede a la especificación. 
 
 
 
 
MATLAB 
 
Obtención de un intervalo de confianza para la varianza σ2 
 
Vector conteniendo una muestra de diez datos 
 
>> u=[46.4 46.1 45.8 47.0 46.1 45.9 45.8 41.9 45.2 46.0]; 
>> v=var(u) Varianza muestral 
 v = 
 1.9196 
>> ja=chi2inv(0.975,9) Valor del estadístico χ2 para α = 0.025, ν = 9 
 ja = 
 19.0228 
>> j1a=chi2inv(0.025,9) Valor del estadístico χ2 para α = 0.975, ν = 9 
 j1a = 
 2.7004 
>> x=[9*v/ja, 9*v/j1a] Intervalo de confianza bilateral para σ2 
 x = 
 0.9082 6.3976 
 
 
 
 
256 
 
 
10.8 INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA DIFERENCIA 
ENTRE DOS MEDIAS 
 
10.8.1 ESTIMACIÓN PUNTUAL E INTERVALO DE CONFIANZA 
 
CASO: Muestras grandes (n≥30) 
 
En esta sección se desarrolla la técnica para comparar las medias de dos poblaciones. 
 
Supongamos dos poblaciones de las cuales se toman muestras aleatorias independientes y 
se usa la diferencia de las medias muestrales para estimar la diferencia de las medias 
poblacionales. 
 
 
Parámetro: µ1 - µ2 Diferencia de medias poblacionales 
 Poblaciones con distribuciones desconocidas, con varianzas 21σ , 
2
2σ 
 Estimador: 1X - 2X Diferencia de medias muestrales 
 Muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 mayores o iguales a 30 
 
Media y varianza del estimador: 
 
2x1x −µ = E( 1X - 2X ) = E( 1X ) – E( 2X ) = µ1 - µ2 (Es un estimador insesgado) 
 
1 2
2
X X−σ = V( 1X - 2X ) = V[(1) 1X + (-1) 2X ] = (1)
2V( 1X ) + (-1)2V( 2X ) =
2 2
1 2
1 2n n
σ σ
+ 
 
Adicionalmente, pueden aproximarse las varianzas poblacionales con las varianzas 
muestrales: 21σ ≅ 
2
1S , 
2
2σ ≅ 
2
2S 
 
 Siendo las muestras grandes, por el Teorema del Límite Central, el estadístico 
 
1 2
1 2
1 2 x x
x x
(x x )
Z −
−
− − µ
=
σ
= 1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
(x x ) ( )
n n
− − µ − µ
σ σ
+
, 
 tiene distribución normal estándar aproximadamente, 
	10 ESTADÍSTICA INFERENCIAL
	10.7 INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA VARIANZA
	10.7.3 EJERCICIOS
	10.8 INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS
	10.8.1 ESTIMACIÓN PUNTUAL E INTERVALO DE CONFIANZA (Muestras grandes)