PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-88

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10.8.3 INTERVALO DE CONFIANZA 
 
Muestras pequeñas (n<30) 
 
En esta sección se desarrolla la técnica para comparar las medias de dos poblaciones. 
Supongamos dos poblaciones de las cuales se toman muestras aleatorias independientes 
para usar la diferencia de las medias muestrales como una estimación de las medias 
poblacionales. 
 
 
Parámetro: µ1 - µ2 Diferencia de medias poblacionales 
 Poblaciones con distribuciones normales, con varianzas 21σ , 
2
2σ desconocidas 
 Estimador: 1X - 2X Diferencia de medias muestrales 
 Muestras aleatorias independientes de tamaños n1 y n2 menores a 30 
 
Media del estimador 
 2x1x −µ = E[ 1X - 2X ] = E[ 1X ] - E[ 2X ] = µ1 - µ2 (Estimador insesgado) 
 
Estadístico de prueba 
 T = 
1 2
1 2 1 2
X X
(X X ) ( )
S −
− − µ − µ , distribución T 
 
 
Nota: Si las varianzas poblacionales 2 21 2, σ σ fuesen conocidas teniendo las poblaciones 
distribución normal el estadístico tendría distribución normal estándar, sin importar el tamaño de 
las muestras 
 
La teoría estadística provee adicionalmente una prueba para verificar estas suposiciones acerca 
de las varianzas, la misma que se estudiará posteriormente. 
 
Se analizan dos situaciones acerca de las varianzas: 2 21 2 σ = σ y 
2 2
1 2 σ ≠ σ . 
 
 
a) Caso: 
2
2
2
1 σ=σ 
 
Estadístico de prueba 
 T = 
1 2
1 2 1 2
X X
(X X ) ( )
S −
− − µ − µ , distribución T con ν = n1 + n2 – 2 grados de libertad 
 
1 2X XS − = Sp 
1 2
1 1
n n
+ , 
2 2
2 1 1 2 2
p
1 2
(n 1)S (n 1)SS
n n 2
− + −
=
+ −
 
 
261 
 
 
Con un planteamiento similar al realizado en casos anteriores: 
 
 
Con probabilidad 1 – α, se tiene la desigualdad: -tα/2 ≤ T ≤ tα/2 
 
Sustituyendo T y despejando el parámetro de interés µ1 - µ2 se obtiene: 
 
Definición: Intervalo de confianza para µ1 - µ2 con nivel 1 - α, con 
2
2 
2
1σ = σ 
 
 
 ( 1x - 2x ) - tα/2 21 XXS − ≤ µ1 - µ2 ≤ ( 1x - 2x ) + tα/2 21 XXS − 
 
 
 
b) Caso: 
2
2
2
1 σ≠σ 
 
 Estadístico de prueba 
 T = 
1 2
1 2 1 2
X X
(X X ) ( )
S −
− − µ − µ , distribución T con ν = 
22 2
1 2
1 2
2 22 2
1 2
1 2
1 2
S S
n n
S S
n n
n 1 n 1
 
+  
 
   
      
   +
− −
 grados de libertad 
 
1 2X XS − = 
2 2
1 2
1 2
S S
n n
+ , 
 
 
Definición: Intervalo de confianza para µ1 - µ2 con nivel 1 - α, 
2
2 
2
1σ ≠ σ 
 
 
 ( 1x - 2x ) - tα/2 21 XXS − ≤ µ1 - µ2 ≤ ( 1x - 2x ) + tα/2 21 XXS − 
 
 
 
 
 
T = 
1 2
1 2 1 2
X X
(X X ) ( )
S −
− − µ − µ 
262 
 
 
10.8.4 PRUEBA DE HIPÓTESIS 
 
Muestras pequeñas (n<30) 
 
a) Caso: 
2
2
2
1 σ=σ 
 1) Ho: µ1 - µ2 = d0 (usualmente d0 = 0) 
 2) Ha: µ1 - µ2 < d0 
 µ1 - µ2 > d0 
 µ1 - µ2 ≠ d0 
 
3) α: nivel de significancia 
 4) Estadístico de prueba y región de rechazo 
 t = 
1 2
1 2 0
X X
(X X ) d
S −
− − , distribución T con ν = n1 + n2 – 2 grados de libertad 
 
 
1 2X XS − = Sp 
1 2
1 1
n n
+ , 
2 2
2 1 1 2 2
p
1 2
(n 1)S (n 1)SS
n n 2
− + −
=
+ −
 
 
 Ha Región de rechazo de Ho 
 µ1 - µ2 < d0 t < -tα 
 µ1 - µ2 > d0 t > tα 
 µ1 - µ2 ≠ d0 t < -tα/2 ∨ t > tα/2 
 
b) Caso: 
2
2
2
1 σ≠σ 
1) Ho: µ1 - µ2 = d0 (usualmente d0 = 0) 
2) Ha: µ1 - µ2 < d0 
 µ1 - µ2 > d0 
 µ1 - µ2 ≠ d0 
 
3) α: nivel de significancia 
 4) Estadístico de prueba y región de rechazo 
 T= 
1 2
1 2 0
X X
(X X ) d
S −
− − , distribución T con ν = 
22 2
1 2
1 2
2 22 2
1 2
1 2
1 2
S S
n n
S S
n n
n 1 n 1
 
+  
 
   
      
   +
− −
 grados de libertad 
 
1 2X XS − = 
2 2
1 2
1 2
S S
n n
+ 
 
Ha Región de rechazo de Ho 
 µ1 - µ2 < d0 t < -tα 
 µ1 - µ2 > d0 t > tα 
 µ1 - µ2 ≠ d0 t < -tα/2 ∨ t > tα/2 
	10 ESTADÍSTICA INFERENCIAL
	10.8 INFERENCIAS RELACIONADAS CON LA DIFERENCIA ENTRE DOS MEDIAS
	10.8.4 PRUEBA DE HIPÓTESIS (muestras pequeñas)