PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-92

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10.10.3 EJERCICIOS 
 
Las siguientes son las calificaciones obtenidas en el examen final de una materia por dos grupos 
de 8 mujeres y 8 hombres: 
 
Hombres 55 68 70 66 91 78 81 
Mujeres 73 65 74 80 76 63 82 
 
Suponiendo que los datos pueden considerarse como muestras aleatorias independientes 
tomadas de poblaciones con distribución normal, pruebe con 5% de significancia que la varianza 
de las calificaciones de los hombres es mayor a la de las mujeres. 
 
 
 
 
 
 
MATLAB 
 
>> alfa=0.1; 
>> F1=finv(1-alfa/2,9,7) Valores de la distribución F 
 F1 = 
 3.6767 
>> F2=finv(1-alfa/2,7,9) 
 F2 = 
 3.2927 
>> IC = [4/5*1/F1, 4/5*F2] Intervalo de confianza 
 IC = 
 0.2176 2.6342 
 
 
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10.11 PRUEBA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CON 
 MUESTRAS PAREADAS 
 
Esta prueba permite comparar las medias de dos poblaciones usando dos muestras aleatorias 
que no son independientes. Esto significa que las observaciones de una muestra influyen en 
los resultados de la otra. 
 
Suponga que se quiere conocer la opinión acerca de la calidad de dos marcas de cierto 
producto. Si se eligiera una muestra aleatoria del producto de la una marca y se la probara con 
un grupo de personas, y se eligiera una muestra aleatoria del producto de la otra marca y se las 
probara con otro grupo de personas, entonces las muestras serían independientes. 
 
Pero, si se las muestras aleatorias de las dos marcas del producto se las probase con el mismo 
grupo de personas, entonces los resultados obtenidos ya no son independientes pues la opinión 
de cada persona respecto a la una marca, afecta a su opinión acerca de la otra marca. Este es 
un caso de muestras pareadas. 
 
Supongamos dos poblaciones acerca de las cuales es de de interés estimar el valor de la 
diferencia entre estas medias poblacionales. De estas poblaciones se toman muestras aleatorias 
pareadas. Al no ser muestras independientes, no se puede usar como estimador la diferencia de 
las medias muestrales, siendo necesario definir otro estadístico. 
 
 
 µ1 - µ2: Parámetro de interés 
 n: Tamaño de la muestra pareada 
 X1: Observaciones obtenidas en la muestra tomada de la población 1 
 X2: Observaciones obtenidas en la muestra tomada de la población 2 
 
 Di = X1,i – X2,i , i=1, 2, ..., n: Diferencias entre observaciones 
 
 Di son variables aleatorias independientes. 
 
Estimador D : media de las diferencias entre las observaciones 
 D =
n n
i 1,i 2,i
i 1 i 1
1 1D (X X )
n n= =
= −∑ ∑ con varianza 
n
2 2
iD
i 1
1S (D D)
n 1 =
= −
− ∑ 
D es un estimador insesgado del parámetro µ1 - µ2: 
 
 
 
10.11.1 PRUEBA DE HIPÓTESIS 
 
1) Ho: µ1 - µ2 = d0 (algún valor especificado, por ejemplo 0) 
 
2) Ha: µ1 - µ2 < d0 
 µ1 - µ2 > d0 
 µ1 - µ2 ≠ d0 
 
3) α: nivel de significancia 
 
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4) Estadístico de prueba 
 
Caso: n ≥ 30 
 0
D
D dZ S
n
−
= 
 Con distribución aproximadamente normal estándar por el Teorema del Límite Central 
 
Caso: n < 30. Suponer poblaciones con distribución normal aproximadamente 
 0
D
D dT S
n
−
= 
 Con distribución T con ν = n –1 grados de libertad 
 
Ejemplo 
Los siguientes datos corresponden a un estudio de las horas perdidas mensualmente por 
accidentes de trabajo en 6 fábricas antes y después de implantar un programa de seguridad 
industrial. 
 
Fábrica Antes (horas perdidas) 
Después 
(horas perdidas) 
1 45 36 
2 73 60 
3 46 44 
4 39 29 
5 17 11 
6 30 32 
 
Suponiendo que la población es normal, probar con 5% de significancia que el programa 
es eficaz. 
 
Solución 
Sean µ1 media de las horas perdidas antes del programa 
 µ2 media de las horas perdidas después del programa 
 
Se desea probar que µ1 > µ2 ⇒ µ1 – µ2 > 0 
 
1) Ho: µ1 – µ2 = 0 
2) Ha: µ1 – µ2 > 0 
3) α = 0.05 
 
4) Estadístico de prueba, n < 30 
 0
D
D dT S
n
−
= 
 Distribución T con ν = n –1 grados de libertad 
 
 tα = t0.05 = 2.015, con ν = n – 1 = 5 grados de libertad 
 
 Región de rechazo para Ho: t > 2.015 
	10 ESTADÍSTICA INFERENCIAL
	10.10 INFERENCIAS PARA DOS VARIANZAS
	10.10.3 EJERCICIOS
	10.11 PRUEBA PARA LA DIFERENCIA DE MEDIAS CONMUESTRAS PAREADAS
	10.11.1 PRUEBA DE HIPÓTESIS