PROBABILIDAD Y ESTADISTICA BASICA PARA INGENIEROS-104

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MATLAB 
 
Regresión lineal simple usando notación matricial 
 
>> x=[1 39 ; 1 43 ; 1 21; 1 64; 1 57; 1 43; 1 38; 1 75;1 34;1 52] Matriz de diseño X 
 x = 
 1 39 
 1 43 
 1 21 
 1 64 
 1 57 
 1 43 
 1 38 
 1 75 
 1 34 
 1 52 
>> y=[ 65; 75; 52; 82; 92; 80; 73; 98; 56; 75] Vector de observaciones 
 y = 
 65 
 75 
 52 
 82 
 92 
 80 
 73 
 98 
 56 
 75 
>> [b, bint, e, eint, stats] = regress(y,x, 0.05) Regresión lineal simple α = 0.05 
 b = 
 35.8294 Coeficientes β0 , β1 del modelo 
 0.8363 de mínimos cuadrados 
 bint = 
 20.3497 51.3092 Intervalos de confianza para β0 , β1 
 0.5199 1.1527 
 e = Vector de residuales 
 -3.4443 
 3.2106 
 -1.3913 
 -7.3512 
 8.5027 
 8.2106 
 5.3920 
 -0.5503 
 -8.2629 
 -4.3159 
 
 stats = Coeficiente de determinación R2, valor 
 0.8228 37.1456 0.0003 del estadístico F, valor p de la prueba F 
 
Uso del modelo de mínimos cuadrados 
 
>> yp=b(1) + b(2)*50 Evaluar el modelo con x = 50 
 yp = 
 77.6433 
 
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Matriz de correlación de los datos de la muestra 
 
>> mc = corrcoef(x(:,2),y) Vectores columnas X, Y 
 mc = 
 1.0000 0.9071 Coeficiente de correlación lineal 
 0.9071 1.0000 r = 0.9071 
 
Gráfico de los puntos muestrales y la recta de regresión 
 
>> clf 
>> scatter(x(:,2),y,'filled'),grid on Gráfico de dispersión 
>> hold on, ezplot('35.8294+0.8363*x',[20, 80]) Gráfico de la recta de regresión 
>> legend('Recta de regresion','Datos muestrales',2) Rótulos 
 
Prueba de la normalidad del error de los residuales 
 
>> sce=sum(e.^2) Suma de los cuadrados de residuales 
 sce = 
 334.1363 
>> s2=sce/8 Estimación de la varianza S2 
 s2 = 
 41.7670 
>> t=sort(e); Residuales ordenados 
>> f=normcdf(t, 0, sqrt(s2)); Modelo a probar ei ∼ N(0, σ2)r 
>> [h,p,ksstat,vc]=kstest(t, [t f ], 0.05,0) Prueba K-S, α = 0.05 
 h = 
 0 No se puede rechazar el modelo 
 p = 
 0.9891 Valor p de la prueba 
 ksstat = 
 0.1339 Valor del estadístico de prueba 
 vc = 
 0.4093 Valor crítico de la región de rechazo 
 
Matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores βi 
 
>> mvc = inv(x' *x)*s2 Usando notación matricial 
 mvc = 
 45.0619 -0.8774 V(β0) = 45.0619, V(β1) = 0.0188 
 -0.8774 0.0188 Cov(β0 , β1) = -0.8774 
 
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12 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE 
Consideramos el caso de una variable Y que suponemos depende linealmente de otras k 
variables x1, x2, ... , xk . Para describir esta relación se propone un modelo de regresión 
lineal múltiple poblacional 
 
Definición: Modelo de regresión lineal múltiple 
 Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ... + βk xk + ε 
 
En donde β0, β2, . . . , βk son los parámetros que deben estimarse para el modelo, mientras 
que ε es el componente aleatorio de Y. 
 
Cuando k = 1, se obtiene el modelo de regresión lineal simple previamente estudiado. 
 
Suponer que se tiene una muestra aleatoria (x1,i, x2,i, ..., xk,i, yi), i = 1, 2, ..., n 
 
Para cada grupo de k valores x1,i, x2,i, ..., xk,i se tiene un resultado u observación yi. Este 
es uno de los posibles valores de la variable aleatoria Yi. Una variable aleatoria debe tener una 
distribución de probabilidad. La aleatoriedad de Yi está dada por εi. Se supondrá que para 
cada variable aleatoria Yi el componente aleatorio εi es una variable con la misma distribución 
de probabilidad, y que además son variables independientes. 
 
Para comprensión de conceptos se desarrolla paralelamente un ejemplo 
 
 
Ejemplo 
Se desea definir un modelo de regresión relacionando la calificación final en cierta materia 
con la calificación parcial y el porcentaje de asistencia a clases. Para el análisis se usará una 
muestra aleatoria de 6 estudiantes que han tomado esta materia. 
 
 
 
 
 
 
Diagramas de dispersión: y vs. x1, y vs. x2 
 
Modelo teórico de regresión lineal múltiple propuesto 
 
 Y = β0 + β1 x1 + β2 x2 + ε . 
Estudiante 1 2 3 4 5 6 
Nota Parcial X1 67 65 78 60 64 61 
% Asistencia X2 75 78 79 83 65 76 
Nota Final Y 80 77 94 70 51 70 
y vs. X1 
y vs. X2 
	12 REGRESIÓN LINEAL MÚLTIPLE