introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-124

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346 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
E J E M P L O 9.3 Para la prueba de hipótesis del ejemplo 9.1, el promedio de salario por hora x� para una 
muestra aleatoria de cien carpinteros en California podría dar un buen estadístico de 
prueba para probar
H0 : m � 14 contra Ha : m � 14
Si la hipótesis nula H0 es verdadera, entonces la media muestral no debe estar demasiado 
lejana de la media poblacional m � 14. Suponga que esta muestra produce una media 
muestral x� con desviación estándar s � 2. ¿Es probable o improbable que ocurra esta 
evidencia muestral, si en realidad H0 es verdadera? Se pueden usar dos medidas para 
averiguarlo. Como el tamaño muestral es grande, la distribución muestral de x� es aproxi-
madamente normal con media m � 14 y error estándar s/ �
__
 n , estimada como
SE � s ____ 
 �
__
 n 
 � 2 _____ 
 �
____
 100 
 � .2
• El estadístico de prueba x� � 15 está a
 z � 
x� � m______ 
s/ �
__
 n 
 � 15 � 14 _______ .2 � 5
desviaciones estándar de la media poblacional m.
• El valor p es la probabilidad de observar un estadístico de prueba tanto o más 
extremo que el valor observado, si en realidad H0 es verdadera. Para este ejem-
plo, defi nimos “extremo” tan abajo o tan arriba de lo que hubiéramos esperado. 
Esto es,
 valor p � P(z � 5) � P(z � �5) Δ 0
El valor grande del estadístico de prueba y el valor p pequeño quieren decir que se ha 
observado un evento muy poco probable, si en realidad H0 es verdadera y m � 14.
¿Cómo se decide si rechazar o aceptar H0? Todo el conjunto de valores que pueda 
tomar el estadístico de prueba se divide en dos conjuntos o regiones. Un conjunto, for-
mado de valores que apoyan la hipótesis alternativa y llevan a rechazar H0, se denomina 
región de rechazo. El otro, formado de valores que apoyan la hipótesis nula, recibe el 
nombre de región de aceptación.
Por ejemplo, en el ejemplo 9.1, uno estaría inclinado a creer que el promedio de 
salario por hora en California fuera diferente de $14 si la media muestral es mucho 
menor de $14 o mucho mayor de $14. La región de rechazo de dos colas está formada 
por valores muy pequeños y muy grandes de x�, como se ve en la fi gura 9.1. En el 
ejemplo 9.2, como se desea demostrar que el porcentaje de defectos ha disminuido, 
estaríamos inclinados a rechazar H0 para valor de p̂ que sean mucho menores a .03. 
Sólo valores pequeños de p̂ pertenecen a la región de rechazo de cola izquierda que 
se ilustra en la fi gura 9.2. Cuando la región de rechazo está en la cola izquierda de la 
distribución, la prueba se llama prueba de cola izquierda. Una prueba con su región 
de rechazo en la cola derecha recibe el nombre de prueba de cola derecha.
Región de 
rechazo
Región de 
aceptación
Región de 
rechazo
Valor crítico $14 Valor crítico
x
FIGURA 9.1
Regiones de rechazo y 
aceptación para el 
ejemplo 9.1
●
3
4
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 9.3 UNA PRUEBA DE MUESTRA GRANDE ACERCA DE UNA MEDIA POBLACIONAL ❍ 347
Si el estadístico de prueba cae en la región de rechazo, entonces se rechaza la hipóte-
sis nula. Si el estadístico de prueba cae en la región de aceptación, entonces la hipótesis 
nula se acepta o la prueba se juzga como no concluyente. Vamos a aclarar los diferentes 
tipos de conclusiones que son apropiados cuando consideremos varios ejemplos prácti-
cos por prueba de hipótesis.
Por último, ¿cómo se decide sobre los valores críticos que separan las regiones de 
aceptación y rechazo? Es decir, ¿cómo se decide cuánta evidencia estadística se necesita 
antes de rechazar H0? Esto depende de la cantidad de confi anza que el investigador desea 
unir a las conclusiones de prueba y el nivel de signifi cancia a, el riesgo que estemos 
dispuestos a tomar si se toma una decisión incorrecta.
Defi nición Un error tipo I para una prueba estadística es el error de rechazar la 
hipótesis nula cuando es verdadera. El nivel de signifi cancia (nivel de signifi cancia) 
para una prueba estadística de hipótesis es
a � P(error tipo I) � P(rechazar falsamente H0) � P(rechazar H0 cuando es ver-
dadera)
Este valor a representa el máximo riesgo tolerable de rechazar incorrectamente H0. 
Una vez fi jo este nivel de signifi cancia, la región de rechazo se puede fi jar para permitir 
que el investigador rechace H0 con un grado fi jo de confi anza en la decisión.
En la siguiente sección, mostraremos cómo usar una prueba de hipótesis para probar 
el valor de una media poblacional m. Cuando continuemos, aclararemos algunos de los 
detalles computacionales y agregaremos algunos conceptos adicionales para completar 
la comprensión de las pruebas de hipótesis.
UNA PRUEBA DE MUESTRA GRANDE 
ACERCA DE UNA MEDIA POBLACIONAL
Considere una muestra aleatoria de n mediciones sacadas de una población que tiene 
media m y desviación estándar s. Se desea probar una hipótesis de la forma†
H0 : m � m0
donde m0 es algún valor hipotético para m, contra una hipótesis alternativa de una cola:
Ha : m � m0
El subíndice cero indica el valor del parámetro especifi cado por H0. Observe que H0 
da un valor exacto para el parámetro a probar, mientras que Ha da un rango de posibles 
valores para m.
Región de 
rechazo
Región de 
aceptación
Valor crítico
.03
p
5
1
2
FIGURA 9.2
Regiones de rechazo y 
aceptación para el 
ejemplo 9.2
●
La hipótesis nula 
siempre tendrá signo 
“igual a”.
CONSEJOMIMI
9.3
†
Observe que si la prueba rechaza la hipótesis nula m � m0 a favor de la hipótesis alternativa m � m0, entonces 
ciertamente rechazará una hipótesis nula que incluye m � m0, porque esto es incluso más contradictorio para la 
hipótesis alternativa. Por esta razón, en este texto indicamos la hipótesis nula para una prueba de una cola como 
m � m0 y no como m � m0.
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348 ❍ CAPÍTULO 9 PRUEBAS DE HIPÓTESIS DE MUESTRAS GRANDES
Lo esencial de la prueba
La media muestral x� es la mejor estimación del valor real de m, que está por ahora 
en cuestión. ¿Qué valores de x� le llevarían a pensar que H0 es falsa y m es, de hecho, 
mayor que el valor hipotético? Los valores de x� que son extremadamente grandes 
implicarían que m es mayor que lo hipotético. En consecuencia, debe rechazarse H0 si 
x� es demasiado grande.
El siguiente problema es defi nir lo que signifi ca “demasiado grande”. No es probable 
que ocurran valores de x� que se encuentren a demasiadas desviaciones estándar a la 
derecha de la media. Por tanto, se puede defi nir “demasiado grande” como estar a dema-
siadas desviaciones estándar de m0. Pero, ¿qué es “demasiado”? Esta pregunta puede 
contestarse usando el nivel de signifi cancia a, la probabilidad de rechazar H0 cuando H0 
es verdadera.
Recuerde que el error estándar de x� se estima como
SE � s ___ 
 �
__
 n 
 
Como la distribución muestral de la media muestral x� es aproximadamente normal 
cuando n es grande, el número de desviaciones estándar que x� está desde m0 se puede 
medir usando el estadístico estandarizado de prueba,
z � 
 x� � m0 _______ 
s/ �
__
 n 
 
que tiene una distribución estándar normal cuando H0 es verdadera y m0 es verdadera y 
m � m0. El nivel de signifi cancia a es igual al área bajo la curva normal que se encuentra 
arriba de la región de rechazo. Entonces, si se desea a � .01, se rechazará H0 cuando x� 
se encuentre a más de 2.33 desviaciones estándar a la derecha de m0. De manera equiva-
lente, se rechazará H0 si el estadístico de prueba estandarizado z es mayor a 2.33 (véase 
la fi gura 9.3).
3
4
El promedio semanal de ganancias para trabajadoras sociales es $670. ¿Los hombres de 
la misma posición tienen ganancias semanales promedio más altas que los de las muje-
res? Una muestra aleatoria de n � 40 trabajadores sociales mostró x� � $725 y s � $102. 
Pruebe la hipótesisapropiada usando a � .01.
f (z)
0 z
α = .01
2.33
Región de aceptación Región de rechazo
FIGURA 9.3
Región de rechazo para 
una prueba de cola 
derecha con a � .01
●
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	9.3 Una prueba de muestra grande acerca de una media poblacional
	Lo esencial de la prueba