introduccion a la probabilidad y estadistica ejercicios-223

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para la seguridad y la salud en el trabajo (OSHA). Si el 
uso de un polígono de tiro no causa aumento en niveles 
de plomo en la sangre, entonces p, la probabilidad de que 
aumente el nivel de plomo en la sangre de una persona, 
es menor o igual a .5. Pero, si el uso del polígono de tiro 
bajo techo causa un aumento en los niveles de plomo en 
la sangre de una persona, entonces p � .5. Use la prueba 
del signo para determinar si el uso de un polígono de tiro 
bajo techo tiene el efecto de aumentar el nivel de plomo 
en la sangre de una persona con a � .05. (sugerencia: 
La aproximación normal a probabilidades binomiales es 
bastante precisa para n � 17.)
15.20 Porcentajes de recuperación De 
10 hospitales se recolectaron datos clínicos 
respecto a la efectividad de dos medicamentos para tratar 
una enfermedad particular. Se desea saber si los datos 
presentan evidencia suficiente con el fin de indicar un 
porcentaje más alto de recuperación para uno de los dos 
medicamentos.
a. Pruebe usando la prueba del signo. Escoja su región 
de rechazo de modo que a sea cercana a .05.
b. ¿Por qué podría ser inapropiado usar la prueba t de 
Student al analizar los datos?
 Medicamento A
 Número Número Porcentaje
Hospital en grupo recuperado recuperado
 1 84 63 75.0
 2 63 44 69.8
 3 56 48 85.7
 4 77 57 74.0
 5 29 20 69.0
 6 48 40 83.3
 7 61 42 68.9
 8 45 35 77.8
 9 79 57 72.2
 10 62 48 77.4
UNA COMPARACIÓN DE PRUEBAS 
ESTADÍSTICAS
El experimento del ejemplo 15.3 está diseñado como experimento de diferencia pareada. 
Si se satisfacen las suposiciones de normalidad y varianza constante, s 2d, para las diferen-
cias, ¿la prueba del signo detectaría un cambio en la ubicación para las dos poblaciones 
tan eficientemente como la prueba t pareada? Es probable que no, porque la prue-
ba t usa mucha más información que la prueba del signo. Usa no sólo el signo de la dife-
rencia, sino también los valores reales de las diferencias. En este caso, diríamos que la 
prueba del signo no es tan eficiente como la prueba t pareada. No obstante, la prueba del 
signo podría ser más eficiente si no se satisfacen las suposiciones acostumbradas.
Cuando dos pruebas estadísticas diferentes se pueden usar ambas para probar una 
hipótesis basada en los mismos datos, es natural preguntar ¿cuál es mejor? Una forma de 
contestar esta pregunta sería mantener constante el tamaño muestral n y a también cons-
tante para ambos procedimientos y comparar b, la probabilidad de un error tipo II. Los 
expertos en estadística, sin embargo, prefieren examinar la potencia de una prueba.
Defi nición Potencia � 1 � b � P(rechazar H0 cuando Ha es verdadera)
Como b es la probabilidad de no rechazar la hipótesis nula cuando es falsa, la potencia 
de la prueba es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa y alguna 
alternativa especifi cada es verdadera. Es la probabilidad de que la prueba haga aquello 
para lo que está diseñada, es decir, detectar una desviación de la hipótesis nula cuando 
exista una desviación.
DATOSMISMIS
EX1520
15.4
 Medicamento B
 Número Número Porcentaje
Hospital en grupo recuperado recuperado
 1 96 82 85.4
 2 83 69 83.1
 3 91 73 80.2
 4 47 35 74.5
 5 60 42 70.0
 6 27 22 81.5
 7 69 52 75.4
 8 72 57 79.2
 9 89 76 85.4
 10 46 37 80.4
 15.4 UNA COMPARACIÓN DE PRUEBAS ESTADÍSTICAS ❍ 643
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644 ❍ CAPÍTULO 15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
Probablemente el método más común de comparar dos procedimientos de prueba es 
en términos de la eficiencia relativa de un par de pruebas. La eficiencia relativa es la 
razón entre los tamaños muestrales, para los dos procedimientos de prueba requeridos 
para alcanzar la misma a y b para una alternativa determinada, y la hipótesis nula.
En algunas situaciones, es posible que el experimentador pueda no estar demasiado 
preocupado si usa la prueba más potente. Por ejemplo, podría escoger usar la prueba del 
signo sobre una competidora más potente por su facilidad de aplicación. Entonces, se 
podrían ver pruebas como microscopios que se usan para detectar desviaciones desde 
una teoría hipotética. Uno no tiene que saber la potencia exacta de un microscopio para 
usarlo en una investigación biológica, y lo mismo aplica a pruebas estadísticas. Si el 
procedimiento de prueba detecta una desviación desde la hipótesis nula, estamos encan-
tados; si no es así, se puede volver a analizar los datos usando un microscopio más 
potente (prueba), o se puede aumentar la potencia del microscopio (prueba) al aumentar 
el tamaño muestral.
LA PRUEBA DE RANGO CON SIGNO 
DE WILCOXON PARA 
UN EXPERIMENTO PAREADO
Se puede usar una prueba de rango con signo, propuesta por Frank Wilcoxon, para anali-
zar el experimento de diferencia pareada de la sección 10.5 al considerar las diferencias 
pareadas de dos tratamientos, 1 y 2. Bajo la hipótesis nula de que no hay diferencias en 
las distribuciones para 1 y 2, se esperaría que (en promedio) la mitad de las diferencias 
en pares sean negativas y la mitad positivas; esto es, el número esperado de diferen-
cias negativas entre pares sería n/2 (donde n es el número de pares). Además, se deduce 
que las diferencias positivas y negativas de igual magnitud absoluto deben presentar-
se con igual probabilidad. Si fuéramos a ordenar las diferencias de acuerdo a sus valores 
absolutos y de menor a mayor, las sumas de rango esperadas para las diferencias negati-
vas y positivas sería igual. Las diferencias grandes en las sumas de los rangos, asignadas 
a las diferencias positivas y negativas, darían evidencia para indicar un cambio en lugar 
entre las distribuciones de respuestas para los dos tratamientos, 1 y 2.
Si la distribución 1 se corre a la derecha de la distribución 2, entonces se espera que 
más de las diferencias sean positivas y esto resulta en un número pequeño de diferencias 
negativas. Por tanto, para detectar esta alternativa de una cola, use la suma de rango T (la 
suma de los rangos de las diferencias negativas) y rechace la hipótesis nula para valores 
significativamente pequeños de T –. Junto con estas mismas líneas, si la distribución 1 se 
corre a la izquierda de la distribución 2, entonces se espera que más de las diferencias 
sean negativas y que el número de diferencias positivas sea pequeño. En consecuencia, 
para detectar esta alternativa de una cola, use T � (la suma de los rangos de las diferen-
cias positivas) y rechace la hipótesis nula si T � es significativamente pequeña.
CÁLCULO DEL ESTADÍSTICO DE PRUEBA PARA 
LA PRUEBA DE RANGO CON SIGNO DE WILCOXON
1. Calcule las diferencias (x1 � x2) para cada uno de los n pares. Las diferencias 
iguales a 0 se eliminan y el número de pares, n, se reduce de conformidad.
2. Ordene los valores absolutos de las diferencias asignando 1 a la más pequeña, 2 
a la segunda más pequeña, y así sucesivamente. A las observaciones empatadas 
se les asigna el promedio de los rangos que se hubieran asignado sin empates.
3. Calcule la suma de rango para las diferencias negativas y marque este valor T –. 
Del mismo modo, calcule T �, la suma de rango para las diferencias positivas.
15.5
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Para una prueba de dos colas, use la menor de estas dos cantidades T como un 
estadístico de prueba para probar la hipótesis nula de que los dos histogramas de fre-
cuencia relativa poblacional son idénticos. Cuanto menor sea el valor de T, mayor es 
el peso de evidencia a favor de rechazarla hipótesis nula. Por tanto, se rechazará la 
hipótesis nula si T es menor o igual a algún valor, por ejemplo T0. 
Para detectar la alternativa de una cola, esa distribución 1 se corre a la derecha 
de la distribución 2, use la suma de rango T – de las diferencias negativas y rechace 
la hipótesis nula para valores pequeños deT –, por ejemplo T – � T0. Si desea detectar 
un corrimiento a la distribución 2 a la derecha de la distribución 1, use la suma de 
rango T� de las diferencias positivas como estadístico de prueba y rechace la hipótesis 
nula para valores pequeños de T �, por ejemplo, T � � T0.
La probabilidad de que T sea menor o igual a algún valor T0 se ha calculado para 
una combinación de tamaños muestrales y valores de T0. Estas probabilidades, dadas en 
la tabla 8 del apéndice I, se pueden usar para hallar la región de rechazo para la 
prueba T.
Una versión abreviada de la tabla 8 se muestra en la tabla 15.7. En sentido horizontal 
en la parte superior de la tabla se ve el número de diferencias (el número de pares) n. Los 
valores de a para una prueba de una cola aparecen en la primera columna de la tabla. La 
segunda columna da valores de a para una prueba de dos colas. Las entradas de la ta-
bla son los valores críticos de T. Usted recordará que el valor crítico de un estadístico de 
prueba es el valor que localiza la frontera de la región de rechazo.
Por ejemplo, supongamos que tenemos n � 7 pares y se realiza una prueba de dos 
colas de la hipótesis nula de que las dos distribuciones de frecuencia relativa poblacional 
son idénticas. Al comprobar la columna n � 7 de la tabla 15.7 y usar el segundo renglón 
(correspondiente a a � .05 para una prueba de dos colas), se ve la entrada 2 (som-
breada). Este valor es T0, el valor crítico de T. Como ya se vio antes, cuanto menor sea el 
valor de T, mayor es la evidencia para rechazar la hipótesis nula. Por tanto, se rechazará 
la hipótesis nula para todos los valores de T menores o iguales a 2. La región de rechazo 
para la prueba de rango con signo de Wilcoxon para un experimento pareada es siempre 
de la forma: rechazar H0 si T � T0, donde T0 es el valor crítico de T. La región de rechazo 
se muestra simbólicamente en la figura 15.2.
 Versión abreviada de la tabla 8 del apéndice I; 
TABLA 15.7 
●
 valores críticos de T
Una cola Dos colas n � 5 n � 6 n � 7 n � 8 n � 9 n � 10 n � 11
a � .050 a � .10 1 2 4 6 8 11 14
a � .025 a � .05 1 2 4 6 8 11
a � .010 a � .02 0 2 3 5 7
a � .005 a � .01 0 2 3 5
Una cola Dos colas n � 12 n � 13 n � 14 n � 15 n � 16 n � 17
a � .050 a � .10 17 21 26 30 36 41
a � .025 a � .05 14 17 21 25 30 35
a � .010 a � .02 10 13 16 20 24 28
a � .005 a � .01 7 10 13 16 19 23
FIGURA 15.2
Región de rechazo para 
la prueba de rango con 
signo de Wilcoxon para 
un experimento pareado 
(rechazar H0 si T � T0)
●
0 T0 T
Región de 
rechazo
1 2
 15.5 LA PRUEBA DE RANGO CON SIGNO DE WILCOXON PARA UN EXPERIMENTO PAREADO ❍ 645
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	15 ESTADÍSTICAS NO PARAMÉTRICAS
	15.4 Una comparación de pruebas estadísticas
	15.5 La prueba de rango con signo de Wilcoxon para un experimento pareado