Taller semana 15

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UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA
TALLER - CÁLCULO I (DIFERENCIAL)
Semana: 15
1. Responda F si la afirmación es falsa y V si es correcta. Justifique.
a) ( ) El Teorema del Valor Medio es un caso particular del Teorema de Rolle.
b) ( ) El Teorema de Rolle es un caso particular del Teorema del Valor Medio.
c) ( ) El Teorema del Valor Medio implica el Teorema de Rolle.
d) ( ) El Teorema de Rolle implica el Teorema del Valor Medio.
e) ( ) Dos funciones que tienen la misma derivada tiene que ser iguales.
f ) ( ) Si f ′(a) > 0, entonces f es creciente en a.
g) ( ) Si f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es creciente en el intervalo (a, b).
h) ( ) Si f ′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f es decreciente en el intervalo (a, b).
i) ( ) Si f es creciente en intervalo (a, b) y decreciente en el intervalo (b, c), entonces f alcanza un máximo relativo
en x = b.
j ) ( ) La función f(x) = x3 − 3x2 + 2 es creciente en el intervalo (0, 2).
k) ( ) Si f ′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo (a, b).
l) ( ) Si f ′′(x) ≥ 0 para todo x ∈ (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en el intervalo (a, b).
m) ( ) Si f ′′(x) ≤ 0 para todo x ∈ (a, b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en el intervalo (a, b).
n) ( ) Si la gráfica de f es cóncava hacia arriba, entonces f es creciente.
ñ) ( ) Si f ′′(a) > 0, entonces f alcanza un máximo relativo en x = a.
o) ( ) Si f ′′(a) ≤ 0, entonces f alcanza un mı́nimo absoluto en x = a.
p) ( ) Si la gráfica de f cambia de ser cóncava hacia arriba a ser cóncava hacia abajo, entonces f tiene un punto de
inflexión.
2. Explique con sus propias palabras el criterio de la primera derivada para clasificar extremos locales.
3. Exprese con sus propias palabras el criterio de la segunda derivada para clasificar extremos locales.
4. Verifique si la función satisface las tres hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo dado. Después, en caso afirmativo,
encuentre todos los números c que satisfacen la conclusión del teorema de Rolle.
a) f(x) =
x2 − 1
x2 + 1
en [−1, 1].
b) f(x) = sen
(x
2
)
en [π, 5π].
c) f(x) = 1− 3
√
x2 en [−1, 1].
d) f(x) = x3 − 2x2 − 3x+ 4 en [0, 3].
5. Verifique si la función satisface las hipótesis del Teorema de de Valor Intermedio en el intervalo dado. Después, en caso
afirmativo, encuentre todos los números c que satisfacen la conclusión del teorema.
a) f(x) =
1
x
en [1, 4].
b) f(x) = sen
(x
3
)
en [π, 5π].
c) f(x) = 1− 3
√
x2 en [−1, 2].
d) f(x) = x3 + 2x2 − 3x+ 1 en [0, 3].
6. Aplique el Teorema de Rolle para justificar que cada una de las siguientes ecuaciones tiene sólo una ráız real:
a) 2x− sen(x) = 0.
b) x5 + e5x = 0.
c) 6x3 + tan(2x) = 0.
d) 3x − cot(2x) = 0.
7. Para cada una de las siguientes funciones:
i.) Encuentre los intervalos sobre los cuales f es creciente o decreciente.
ii.) Encuentre los valores máximos y mı́nimos locales de f .
iii.) Encuentre los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión.
a) f(x) =
x2 + 1
x2 − 1
.
b) f(x) =
x2 − 4
x2 + 4
.
c) f(x) = x
√
4− x.
d) f(x) = 6
√
x(3− x).
e) f(x) = x3/2 + 3x1/2.
f ) f(x) = 2x4 − 4x2.
g) f(x) = 6x4 − 8x3 − 24x2 + 3.
h) f(x) = x3ex.
i) f(x) = x4ex.
j ) f(x) =
√
x2 + 1− x.
k) f(x) = x2/3(5x2 − 8x− 40).
l) f(x) =
cos(x)
2− sen(x)
.
m) f(x) =
cos(x)
1− 2 sen(x)
.
n) f(x) =
2− ex
1 + ex
.
ñ) f(x) =
1
2
e−x +
1
2
ex.
o) f(x) =
1
2
ex − 1
2
e−x.
p) f(x) =
e2x − 1
e2x + 1
.
q) f(x) = sen2(x)− 2 sen(x) + 1.
r) f(x) = cos3(x).
s) f(x) = ln(1− ln(x)).
t) f(x) =
a sen(x)
a+ cos(x)
, si a ∈ (1, 2).