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CLASE #8
Métodos de integración: Integrales trigonométricas
Curso: Cálculo Integral
26 de julio de 2023
Texto guı́a Cálculo de una variable James Stewart, 7maed.
Integrales trigonométricas
Integral de la forma
∫
senm x cosn x dx
Para resolver esta integrales integrales se debe tener en cuente los siguientes casos
Caso 1 Si el exponente n es impar, es decir, n = 2k + 1, se utiliza la identidad trigo-
nométrica cos2 x = 1 − sen2 x y se aplica la sustitución u = sen x y du = cos x dx, de
donde se obtiene ∫
senm x cosn x dx =
∫
senm x cos2k+1 x dx
=
∫
senm x(cos2 x)k cos x dx
=
∫
senm x(1 − sen2 x)k cos x dx
=
∫
um(1 − u2)k du
Caso 2 Si el exponente m es impar, es decir, m = 2k + 1, se utiliza la identidad trigo-
nométrica sen2 x = 1 − cos2 x y se aplica la sustitución u = cos x y du = − sen x dx, de
1
https://wlh.es/v2/1690385356617/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
https://wlh.es/v2/1690385356617/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
donde se obtiene∫
senm x cosn x dx =
∫
sen2k+1 x cosn x dx
=
∫
(sen2 x)k cosn x sen x dx
=
∫
(1 − cos2 x)k cosn x sen x dx
= −
∫
(1 − cos2 x)k cosn x(− sen x dx)
= −
∫
(1 − u2)kun du
Caso 3 Si ambos exponentes m y n son impares, es decir, m = 2k + 1 y n = 2j + 1, se
utiliza se utiliza cualquiera de los casos anteriores.
Ejemplo 1. Calcular las siguientes integrales
∫
sen3 x cos4 x dx
Solución Ya que se espera usar la regla de la potencia con u = cos x, conservar un factor
para formar du y convertir los factores del seno restantes a cosenos.∫
sen3 x cos4 x dx =
∫
sen2 x sen x cos4 x dx
=
∫
sen2 x cos4 x sen x dx
=
∫
(1 − cos2 x) cos4 x sen x dx
= −
∫
(1 − u2)u4 du
= −
∫
u4 − u6 du
= −
(
1
5
u5 − 1
7
u7
)
+ C
= −1
5
cos5 +
1
7
cos7 +C
Ejemplo 2. Calcular las siguientes integrales
∫
cos4 x dx
Solución Note que m y n son pares y no negativos (m = 0), se puede reemplazar cos4 x
por
cos4 =
(
1 + cos2x
2
)2
2
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Luego,
∫
cos4 x dx =
∫ (1 + cos 2x
2
)2
dx
=
∫ (1
4
+
cos 2x
2
+
cos2 2x
4
)
dx
=
∫ [1
4
+
cos 2x
2
+
1
4
(
1 + cos 4x
2
)]
dx
=
∫ (1
4
+
cos 2x
2
+
1
8
+
cos 4x
8
)
dx
=
∫ (3
8
+
cos 2x
2
+
cos 4x
8
)
dx
=
∫ 3
8
dx +
∫ cos 2x
2
dx +
∫ cos 4x
8
dx
=
3
8
∫
dx +
1
2
∫
cos 2x dx +
1
8
∫
cos 4x dx
=
3
8
x +
1
4
sen 2x +
1
32
sen 4x + C
Ejemplo 3. Calcular las siguientes integrales
∫
sen5 x dx
Solución Note que sen5 x = sen4 x sen x = (sen2 x)2 sen x∫
sen5 x dx =
∫
(sen2 x)2 sen x dx
=
∫
(1 − cos2 x)2 sen x dx
=
∫
(1 − 2 cos2 x + cos4 x) sen x dx
= −
∫
(1 − 2u2 + u4) du
= −
(
u − 2
3
u3 +
1
5
u5
)
+ C
= −u + 2
3
u3 − 1
5
u5 + C
= − cos x + 2
3
cos3 x − 1
5
cos5 x + C
Ejemplo 3. Calcular las siguientes integrales
∫ cos3 x√
sen x
dx
Solución Ya que se espera usar la regla de la potencia con u = sen x, conservar un factor
3
https://wlh.es/v2/1690385356626/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
del coseno para formar du y convertir los factores del coseno restantes a senos.∫ cos3 x√
sen x
dx =
∫ cos2 x cos x√
sen x
dx
=
∫
(1 − sen2 x) cos x√
sen x
dx
=
∫
(1 − sen2 x) cos x
sen1/2 x
dx
=
∫
[sen−1/2 x − sen3/2 x] cos x dx
=
∫
[u−1/2x − u3/2x] du
=
u1/2
1/2
− u
5/2
5/2
+ C
= 2u1/2 − 2
5
u5/2 + C
= 2 sen1/2 x − 2
5
sen5/2 x + C
= 2
√
sen x − 2
5
√
sen5 x + C
Ejemplo 5. Calcular las siguientes integrales
1.
∫
cos3 x dx
2.
∫
sen5 x cos2 x dx
3.
∫ π
0
sen2 dx
4.
∫
sen4 x dx
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 471 a la 473. .
Integral de la forma
∫
tanm x secn x dx
Para resolver esta integrales integrales se debe tener en cuente los siguientes casos
Caso 1 Si el exponente n es par, es decir, n = 2k, (k ≥ 2), se utiliza la identidad trigo-
nométrica sec2 x = 1 + tan2 x y se aplica la sustitución u = tan x y du = sec2 x dx, de
donde se obtiene∫
tanm x secn x dx =
∫
tanm x sec2k x dx
=
∫
tanm x(sec2 x)k−1 sec2 x dx
=
∫
tanm x(1 + tan2 x)k−1 sec2 x dx
=
∫
um(1 + u2)k−1 du
4
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Caso 2 Si el exponente m es impar, es decir, m = 2k + 1, se utiliza la identidad trigo-
nométrica tan2 x = sec2 x − 1 y se aplica la sustitución u = sec x y du = sec x tan x dx, de
donde se obtiene∫
tanm x secn x =
∫
tan2k+1 x secn x
=
∫
(tan2 x)k secn−1 x sec x tan x dx
=
∫
(sec2 x − 1)k secn−1 x sec x tan x dx
=
∫
(u2 − 1)kun−1 du
Ejemplo 6. Calcular las siguientes integrales
∫
tan5 x sec4 x dx
Solución ∫
tan5 x sec4 x dx =
∫
tan5 x sec2 x sec2 x dx
=
∫
tan5 x(1 + tan2 x) sec2 x dx
=
∫
u5x(1 + u2) du
=
∫
(u5 + u7) du
=
1
6
u6 +
1
8
u8 + C
=
1
6
tan6 x +
1
8
tan8 x + C
Ejemplo 7. Calcular las siguientes integrales
∫
tan3 x dx
Solución ∫
tan3 x dx =
∫
tan x tan2 x dx
=
∫
tan x(sec2 x − 1) dx
=
∫
(tan x sec2 x − tan x) dx
=
∫
tan x sec2 x dx −
∫
tan x dx
=
∫
u, du −
∫
tan x dx
=
1
2
u2 − ln | cos x|+ C
=
1
2
tan2 x + ln | cos x|+ C
Ejemplo 8. Calcular las siguientes integrales
5
https://wlh.es/v2/1690385356640/aHR0cHM6Ly9hcGkud3VvbGFoLmNvbS9wdWIvY2xpY2s_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
1.
∫
tan6 x sec4 x dx
2.
∫
tan5 θ sec7 θ dx
3.
∫
tan3 dx
4.
∫
sec3 x dx
Solución Ver Stewart, 7ma ed páginas 473 a la 476. .
Integral de la forma
∫
sen(mx) cos(nx) dx y
∫
sen(mx) sen(nx) dx
Para resolver esta integrales integrales se debe tener en cuente lss siguientes identida-
des trigonométricas
1. sen(A) cos(B) =
1
2
[sen(A − B) + sen(A + B)]
2. sen(A) sen(B) =
1
2
[cos(A − B)− cos(A + B)]
3. cos(A) cos(B) =
1
2
[cos(A − B) + cos(A + B)]
Ejemplo 9. Calcular las siguientes integrales
∫
sen(5x) cos(4x) dx
Solución Considerando la primera identidad del producto suma,∫
sen(5x) cos(4x) dx =
∫ 1
2
[sen(5x − 4x) cos(4x + 5x)] , dx
=
1
2
∫
[sen(x) cos(9x)] dx
=
1
2
[
− cos x − 1
9
cos(9x)
]
+ C
= −1
2
cos x − 1
18
cos(9x) + C
Ejemplo 10. Calcular las siguientes integrales
∫
sen(4x) cos(5x) dx
Solución Ver Stewart, 7ma ed página 476. .
Ejercicios para practicar Ver Stewart, 7ma ed páginas 476 a la 478
6
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Referencias
[1] Larson, R., and Edwards, B. H. (2010). Cálculo I de una variable (9.a ed., Vol. 1).
McGraw-Hill Education.
[2] Leithold, L. (1995).El cálculo (7.a ed., Vol. 1). Harpercollins College Division.
[3] Stewart, J. (2012). Cálculo de una variable (7.a ed., Vol. 1). Cengage Learning Editores.
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