67 -ESTRUCTURAS-HIPERESTÁTICAS-metodo de CROSS_14-9-2018

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ESTRUCTURAS I
F.A.D.U. / UdelaR AÑO 2018
ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS
Al analizar estructuras edilicias, 
estamos estudiando estructuras que se 
encuentran en equilibrio estático
 las sumatorias de las
proyecciones de las fuerzas a
que está sometida, sobre dos ejes
perpendiculares son nulas
y
x
Verificar el EQUILIBRIO ESTÁTICO implica:
 Σ Fx = 0
 Σ Fy = 0
 Σ M = 0
desplazamiento
giro
Aseguran la ausencia 
de desplazamientos
Asegura la ausencia 
de giros
Quedan planteadas 3 ecuaciones 
para verificar el 
EQULIBRIO ESTÁTICO
 la sumatoria de los momentos
que esas acciones producen, con
respecto a cualquier punto del
plano, es nula
Frente a un sistema de fuerzas externas
actuando sobre la estructura, debemos
asegurar que ésta no se desplace y gire
Una estructura esquematizable en el 
plano, y considerada como cuerpo rígido 
e indeformable, puede experimentar dos 
movimientos posibles:
repaso de EQUILIBRIO ESTÁTICO
Permiten resolver 3 
incógnitas en un 
sistema determinado
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
Cond. de 
equilibrio:Las reacciones en 
los apoyos se det. 
aplicando:
 Estructura hiperestática
 Estructura isostática
 Estructura hipostática
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
no tienen la posibilidad de
alcanzar el equilibrio para
todos los posibles estados
de carga que se presenten
Nº ecuac. de 
equilibrio
Nº 
incógnitas<
Puede ser analizada 
mediante los principios 
de la Estática
vínculos sobreabundantes
“Grado de Hiperestaticidad”
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
Cond. de 
equilibrio:
Las reacciones en 
los apoyos se det. 
aplicando:
Cond. de Deformación
Nº ecuac. de 
equilibrio
Nº 
incógnitas>
Nº ecuac. de 
equilibrio
Nº 
incógnitas=
Sistema 
determinado
Sistema 
indeterminado
1° Grado
2° Grado
3° Grado ecuaciones
Quedan planteadas 3 ecuaciones 
para verificar el 
EQULIBRIO ESTÁTICO
Permiten resolver 3 
incógnitas en un 
sistema determinado
Dos tramos de vigas aisladas ISOSTÁTICAS
Viga continua conformada por 2 tramos -
Estructura HIPERESTÁTICA
Dos tramos de vigas aisladas ISOSTÁTICAS
Viga continua conformada por 2 tramos -
Estructura HIPERESTÁTICA
Diferente 
comportamiento
L
p (daN/m)
L
p (daN/m)
0 0 00
Ventajas de las estructuras 
Hiperestáticas:
Desventaja de las 
estructuras 
Hiperestáticas:
 Estructuras más 
rígidas y sus 
deformaciones son 
menores. 
 Esfuerzos menores
provocados por
Momentos Flectores
 Dimensionado con 
menores secciones 
(ahorro de materiales)
Isostática Hiperestática
Mayor estabilidad 
frente a todo tipo de 
cargas 
(horizontales, 
verticales, etc)
 Dificultad de análisis y diseño (…debemos recurrir al estudio 
de las deformaciones)
Estructuras ISOSTÁTICAS
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
Nº ecuac. de 
equilibrio
Nº 
incógnitas=
1. Reacciones en apoyos 
(Equilibrio Global)
2. Solicitaciones
3. Dimensionado
Se deben considerar:
• cargas actuantes 
(fuerzas exteriores)
• posición y tipo de 
vínculos
ISOSTÁTICA
NO tenemos en cuenta:
• geometría de la estructura
• Caract. elásticas del material 
• Geometría de secciones transversales 
de c/barra
Se abandona el principio de rigidez relativa de
los cuerpos…
Estructuras HIPERESTÁTICAS
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
Las ecuaciones de equilibrio 
no son suficiente
Nº ecuac. de 
equilibrio
Nº 
incógnitas<El equilibrio de la estructura 
está asegurado con vínculos 
superabundantes
2. Solicitaciones
3. Dimensionado
¿cómo determino los valores de 
las reacciones en los apoyos? 
hay que recurrir a nuevas ecuaciones que
nos permitan tener un sistema determinado
En general, la forma de los sólidos sometidos
a las acciones exteriores, varía de un modo
insubstancial (deformaciones despreciables).
Al formar las ecuaciones de equilibrio, esto
permite considerar el sólido como
indeformable y dotado de las mismas
dimensiones geométricas que tenía antes de
la aplicación de las cargas
Si recordamos 
de ALGEBRA 
VECTORIAL…
Se abandona el principio de rigidez relativa de
los cuerpos…
Estructuras HIPERESTÁTICAS
Σ Fx = 0
Σ Fy = 0
Σ M = 0
Las ecuaciones de equilibrio 
no son suficiente
Nº ecuac. de 
equilibrio
Nº 
incógnitas<
Se deben considerar:
• cargas actuantes 
(fuerzas exteriores)
• posición y tipo de 
vínculos
El equilibrio de la estructura 
está asegurado con vínculos 
superabundantes
2. Solicitaciones
3. Dimensionado
¿cómo determino los valores de 
las reacciones en los apoyos? 
hay que recurrir a nuevas ecuaciones que
nos permitan tener un sistema determinado
HIPER-
ESTÁTICA
ISOSTÁTICA
• geometría de la 
estructura
• caract. Elásticas del 
material 
• geometría de secciones 
transversales de 
c/barra (predimens.)
ecuaciones
En general, la forma de los sólidos sometidos
a las acciones exteriores, varía de un modo
insubstancial (deformaciones despreciables).
Al formar las ecuaciones de equilibrio, esto
permite considerar el sólido como
indeformable y dotado de las mismas
dimensiones geométricas que tenía antes de
la aplicación de las cargas
… y se recurre a ecuaciones de deformación,
considerando las deformaciones elásticas:
permite plantear, en cualquier punto de una
estructura, la igualdad de las deformaciones
estudiadas de uno y del otro lado de la
sección, lo que nos brinda una fuente
ilimitada de ecuaciones.
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
Todos los métodos de resolución de
estructuras hiperestáticas recurren
al planteo de ecuaciones de
deformación.
Los distintos métodos han ido buscando
las vías más adecuadas en función de
la tecnología disponible en cada
momento histórico.
Métodos
manuales
(requieren uso de programas
de computación)
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
Consiste en eliminar vínculos superabundantes hasta que
la estructura quede isostática, y luego, mediante el
Principio de Superposición, restituir las acciones que los
vínculos eliminados ejercían, y hallar qué valores deben
tomar para que se restablezcan las condiciones originales,
para que las deformaciones queden iguales a la situación
original.
P1 P3
P2
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Incógnitas a resolver
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
XX
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
XX
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
P1 P3
P2
RBhRAh
RAv RBv
P1 P3
P2
R'Ah
R'Av R'Bv
XX
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
Se plantean ambas 
ecuaciones para ambas 
deformaciones, y se 
igualan deformaciones: deformación que 
producen las 
cargas P1, P2 y P3
deformación 
que produce 
la fuerza “X”
Se despeja el valor de 
la fuerza “X” para 
igualar ambas 
deformaciones
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las FuerzasINTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Incógnitas a resolver
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
Igualamos flechas:
(deformaciones)
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las Fuerzas
Principio de Superposición
1. Se plantean las ecuaciones 
de flecha para ambas 
situaciones, se igualan.
Igualamos flechas:
(deformaciones)
2. Se despeja fuerza X
3. Las otras dos incógnitas 
(reacciones) se pueden 
hallar x superposición
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
Ing. Hardy Cross
1885-1959
Estados Unidos
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos)
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
Ing. Hardy Cross
1885-1959
Estados Unidos
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross (Método de Distribución de Momentos)
C. Métodos Matriciales
En un sentido opuesto al caso anterior, en lugar
de quitarle vínculos, le agrega más, colocando los
nudos en condición de giro nulo.
Es decir, aumenta el grado de hiperestaticidad,
pero lleva la estructura a una situación ficticia pero
conocida (giro nulo), alcanzando un sistema
determinable.
Luego los vínculos agregados se quitan de a uno
por vez hasta restablecer las condiciones
originales de la estructura. Se genera una ecuación muy
sencilla para resolver la
deformación (giro) del nudo
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
B. Método de CROSS
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
A. Método de las fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
Consisten en utilizar el álgebra matricial, que permite un
planteo muy compacto de las ecuaciones, lo que
simplifica el algoritmo para generar un programa
informático práctico y versátil.
(requieren uso de programas de computación)
ACCIONES en los 
extremos de una barra
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
C. Métodos Matriciales
DEFORMACIONES en los 
extremos de una barra
Representación vectorial
Representación física
Representación de las 
ecuaciones en forma matricial 
(ordena en fila y columnas):
DEFORMACIONES
A
C
C
IO
N
E
S
Toma cada tramo de la estructura como un elemento, 
y luego, los elementos unidos entre sí.
Ej: Método de Matriz de Rigidez
Busca las relaciones que
existen entre acciones -
deformaciones en los
extremos de cada barra
A. Método de las Fuerzas
B. Método de Cross
C. Métodos Matriciales
INTRODUCCIÓN A LOS MÉTODOS DE ANÁLISIS DE 
ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS
producen >> 
deformaciones
MÉTODO DE CROSS
 Para simplificar la parte
operativa, Cross se centra
solamente en el estudio de
los giros en los nudos de la
estructura
 Permite visualizar cómo es el
proceso de resolución de una
estructura hiperestática
(mecanismo de distribución de
los momentos en la estructura)
 Método manual
Actualmente: uso de Métodos Matriciales 
c/programas en computadora brindan el 
resultado final sin ver el proceso
Existen deformaciones 
producidas por:
 Momento (giros)
 Cortante
 Axil
 Permite estudiar estructuras de alto grado de hiperestaticidad mediante operaciones 
sencillas que pueden realizarse con una calculadora común.
 Si la estructura lo requiere, en una segunda etapa, también se estudian los
desplazamientos de los nudos, y los giros que en ellos se producen.
Ventajas:
Simplificaciones:
MÉTODO DE CROSS
OBJETIVO del Método
El objetivo del método de Cross es:
conocer el valor de los momentos en 
los extremos de las barras 
(realizado a través del estudio de los giros)
Luego de conocidos éstos, las reacciones y las solicitaciones 
pueden ser determinadas mediante los procedimientos ya 
conocidos, utilizando las ecuaciones de equilibrio y la ecuación 
de la viga recta.
En una estructura se 
busca:
• DET. REACCIONES
• DET. SOLICITACIONES
• DIMENSIONAR
PASOS para aplicar el artificio del Método
[PASO 4]
Coeficientes de 
Repartición
ri
Se juntan varias barras 
en un nudo y ….
¿qué pasa cuando se 
suelta un nudo en una 
estructura que está 
frenada?
[PASO 5]
Artificio del 
Método de Cross
(ejemplo de 
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de 
fijación
ó
Momentos frenos
ó
Momentos de 
empotramiento 
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de 
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en 
los extremos de 
una barra aislada
θ (theta)
a) Carga transversal 
b) Momento aplicado 
en extremo izq. 
c) Momento aplicado 
en extremo der. 
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
c/carga transversal 
≠ cond. vínculos
a) frenados
c) articulado-frenado
b) frenado-articulado
MÉTODO DE CROSS
Se comienza estudiando una sola barra aislada para determinar
expresiones matemáticas auxiliares que nos permitan conocer
los ángulos de giro en los apoyos de tramos flexionados.
Coeficiente de 
transmisión β
que vincula MA
con MB
MÉTODO DE CROSS
Expresiones matemáticas auxiliares
… para determinar en el PASO [1] los ángulos de 
giro θ (theta) en extremos de una barra aislada 
con carga transversal 
a) Carga transversal 
DEFORMACIÓN DE LA DOVELA CENTRAL
MÉTODO DE CROSS
Expresiones matemáticas auxiliares
REPASO:
Clase de 
Flexión
d
dx
r(x)
K
x


1
r(x)
DEFORMACIÓN DE LA DOVELA CENTRAL
MÉTODO DE CROSS
Expresiones matemáticas auxiliares
REPASO:
Clase de 
Flexión
radio 
de giro 
Mf = momento flector
E = Módulo de deformación
Ix = Inercia de la sección
(curvatura)
-p = V`(x)
V(x) = M`(x)
M``(x) = V`(x) = -p
Relación entre p, V y M
Ecuación fundamental 
de las vigas rectas
MÉTODO DE CROSS
Expresiones matemáticas auxiliares
REPASO:
Clase de 
Flexión
Por definición la expresión 
de la curvatura es:
Dado que la magnitud de las deformaciones son 
muy pequeñas, se admite:
K ≈ z” (x)
O sea que la función de la curvatura equivale a la derivada segunda 
de la función de la elástica.
MÉTODO DE CROSS
Expresiones matemáticas auxiliares
(flecha o deflexión)(curvatura)
tg
Según la hipótesis de Bernouilli, las secciones planas y normales al eje del 
tramo, se mantienen planas y normales a la elástica, luego de la deforma-
ción.
La derivada de z es el ángulo que forma la tangente a la curva con respec-
to al eje de las abscisas (a) o a la horizontal.Por lo tanto, la perpendicular a la tangente es el giro de la sección, que 
abre con la vertical el mismo ángulo que la tangente con la horizontal:
O sea:
Expresiones matemáticas auxiliares
MÉTODO DE CROSS
Conociendo la función de la elástica:
La tg a la curva de 
la elástica
z’(x)
ángulo entre la tg 
y la horizontal ()
z’(x) = (x)
z’(x) = θ(x)
 = θ
ANALOGÍA DE MÖHR
-p = V`(x)
V(x) = M`(x)
M``(x) = V`(x) = -p
Relación entre p, V y M.
z”(x) = K = Mf/E.I
Z’ = q(x)
z``(x) = q`(x) = K = Mf/E.I
Relación entre K, q y z
MÉTODO DE CROSS
Expresiones matemáticas auxiliares
Expresiones de los ángulos de 
giro en los extremos de las barras 
= θA = θB
[PASO 4]
Coeficientes de 
Repartición
ri
[PASO 5]
Artificio del 
Método de Cross
(ejemplo de 
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de 
fijación
ó
Momentos frenos
ó
Momentos de 
empotramiento 
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de 
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en 
los extremos de 
una barra aislada
θ (theta)
a) Carga transversal 
b) Momento aplicado 
en extremo izq. 
c) Momento aplicado 
en extremo der. 
MÉTODO DE CROSS
PASOS para aplicar el artificio del Método
MÉTODO DE CROSS
PASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos
Área = 
A1
Expresiones de los ángulos de 
giro en los extremos de las barras 
RIGIDEZ:
(kappa)
Concepto de RIGIEZ: 
cuánto se oponen las propiedades físicas 
del tramo a que el tramo sea deformado
• Inercia
• Módulo de elasticidad
• Luz de la barra
Directamente
inversamente
¿Qué propiedades de una barra hacen 
que sea más o menos deformable?
kappa
a)Carga transversal (caso 1)
Ángulo θ = (fórmula 
del momento unitario) 
X (valor del MA)
MÉTODO DE CROSS
PASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos
RIGIDEZ FLEXIONAL:
(gamma 
kappa)
(alpha 
kappa)
ó
Para 
inercia 
constante:
b) Momento aplicado en A (caso 2)
Diagrama de M unitario (M=1)
Operativamente trabajamos con:
A2
X´2
MÉTODO DE CROSS
PASO [1]: ángulos de giro θ (theta) en extremos
b) Momento aplicado en B (caso 3)
[PASO 4]
Coeficientes de 
Repartición
ri
[PASO 5]
Artificio del 
Método de Cross
(ejemplo de 
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de 
fijación
ó
Momentos frenos
ó
Momentos de 
empotramiento 
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de 
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en 
los extremos de 
una barra aislada
θ (theta)
Rigidez flexional:
(gamma 
kappa)
(alpha 
kappa)
ó
a) Carga transversal 
b) Momento aplicado 
en extremo izq. 
Rigidez:
(kappa)
c) Momento aplicado 
en extremo der. 
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
MÉTODO DE CROSS
PASOS para aplicar el artificio del Método
Para inercia cte.:
Para 
inercia 
constante:
Para inercia 
constante:
PASO [2]: coeficiente de transmisión β (beta)
¿cómo repercute 
en el extremos 
frenado?
(caso 3)(caso 2)
(giro nulo)
[PASO 4]
Coeficientes de 
Repartición
ri
[PASO 5]
Artificio del 
Método de Cross
(ejemplo de 
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de 
fijación
ó
Momentos frenos
ó
Momentos de 
empotramiento 
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de 
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en 
los extremos de 
una barra aislada
θ (theta)
Rigidez flexional:
(gamma 
kappa)
(alpha 
kappa)
ó
a) Carga transversal 
b) Momento aplicado 
en extremo izq. 
Rigidez:
(kappa)
c) Momento aplicado 
en extremo der. 
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
c/carga transversal 
≠ cond. vínculos
a) frenados
c) articulado-frenado
b) frenado-articulado
MÉTODO DE CROSS
PASOS para aplicar el artificio del Método
Para inercia cte.: Para inercia cte.:
MOMENTOS NODALES MOMENTOS DE FIJACIÓN
MOMENTOS FRENO
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO
PERFECTO (M.E.P.)
signo -
< 0
signo +
> 0
efecto de la barra sobre
el nudo
efecto del nudo sobre la
barra
MÉTODO DE CROSS
PASO [3]: M.E.P.
MÉTODO DE CROSS
PASO [3]: M.E.P.
MÉTODO DE CROSS
PASO [3]: M.E.P.
Para y carga uniformemente repartida:
entonces
L
p (daN/m)
A B MA MB
MÉTODO DE CROSS
PASO [3]: M.E.P.
Para 
y carga uniformemente repartida:
L
p (daN/m)
A B MA
MÉTODO DE CROSS
PASO [3]: M.E.P.
Para 
y carga uniformemente repartida:
L
p (daN/m)
A B MB
MÉTODO DE CROSS
PASO [3]: M.E.P.
Expresiones para 
hallar las reacciones 
de apoyo
Expresiones para la 
determinación de los 
M.E.P.
MÉTODO DE CROSS
PASO [3]: M.E.P.
Expresiones 
para hallar las 
reacciones de 
apoyo
Expresiones 
para la 
determinación 
de los M.E.P.
[PASO 4]
Coeficientes de 
Repartición
ri
Se juntan varias barras 
en un nudo y ….
¿qué pasa cuando se 
suelta un nudo en una 
estructura que está 
frenada?
[PASO 5]
Artificio del 
Método de Cross
(ejemplo de 
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de 
fijación
ó
Momentos frenos
ó
Momentos de 
empotramiento 
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de 
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en 
los extremos de 
una barra aislada
θ (theta)
Rigidez flexional:
(gamma 
kappa)
(alpha 
kappa)
ó
a) Carga transversal 
b) Momento aplicado 
en extremo izq. 
Rigidez:
(kappa)
c) Momento aplicado 
en extremo der. 
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
c/carga transversal 
≠ cond. vínculos
a) frenados
c) articulado-frenado
b) frenado-articulado
MÉTODO DE CROSS
PASOS para aplicar el artificio del Método
Para inercia cte.: Para inercia cte.:
MÉTODO DE CROSS
PASO [4]: coeficientes de repartición
¿qué ocurre cuando a un nudo concurren varios tramos?
Concepto de repartición
Artificio del método de Cross (ejemplo)
Supongamos un nudo A, al cual 
concurren barras con distintos 
vínculos en su otro extremo, 
existiendo cargas en la ménsula, 
tramo AC y AD
Inmovilizando el nudo A, aparece un 
momento freno MA, con el sentido 
indicado, que producirá giro nulo en 
los extremos de los tramos. 
MÉTODO DE CROSS
PASO [4]: coeficientes de repartición
MA
0A1 = 0A2 = 0A3 
MA1 + MA2 + MA3 = - MA
Si quitamos el freno 
en A, el nudo gira, 
Por hipótesis 
se admite 
que todos los 
tramos 
concurrentes 
al nudo 
tienen el 
mismo giro: 
La relación entre deformaciones 
(giros) y causas que las 
producen (momentos) es: 
Por otra parte, el momento en el nudo: − M A , 
se reparte entre los tramos, debiéndose cumplir:
De ambas relaciones obtenemos: 
-MA
¿Qué valor de momentos 
asume cada tramo en 
relación a -MA?
MA3
MA2
MA1
1
2
3
4
produciéndose las 
deformaciones que se 
indican, provocadas 
por −MA . 
MÉTODO DE CROSS
PASO [4]: coeficientes de repartición
Particularizando al tramo 1: 
Generalizando para un tramo cualquiera: 
Se define coeficiente de 
repartición al valor: 
Por lo que: 
Esta expresión resuelve el 
problema planteado:
Dividiendo numerador y 
denominador entre 4
¿Qué valor de momentos 
asume cada tramo en 
relación a -MA?
MÉTODO DE CROSS
PASO [4]: coeficientes de repartición
B. INERCIA RELATIVA: por comodidad 
operativa se aconseja tomar como VALOR 
UNIDAD
 a la menor de las inercias mínimas de 
los tramos que intervienen con sus 
rigideces
 o la inercia del tramo si es de sección 
constante
A los efectos prácticos, es conveniente 
simplificar la expresión del coeficiente de 
repartición:
Los valores de la inercia de 
los demás tramos serán 
expresados en relación a 
la unidad, resultando 
valores ≥ 1
A. como generalmente operamos con barras 
del mismo material, se simplifica el valor E
en la expresión de κ :
INERCIA 
RELATIVA
[PASO 4]
Coeficientes de 
Repartición
ri
Se juntan varias barras 
en un nudo y ….
¿qué pasa cuando se 
suelta un nudo en una 
estructura que está 
frenada?
[PASO 5]
Artificio del 
Método de Cross
(ejemplo de 
aplicación)
[PASO 3]
Momentos de 
fijación
ó
Momentos frenos
ó
Momentos de 
empotramiento 
perfecto
M.E.P.
[PASO 2]
Coeficiente de 
transmisión
β (beta)
[PASO 1]
Ángulos de giro en 
los extremos de 
una barra aislada
θ (theta)
Rigidez flexional:(gamma 
kappa)
(alpha 
kappa)
ó
a) Carga transversal 
b) Momento aplicado 
en extremo izq. 
Rigidez:
(kappa)
c) Momento aplicado 
en extremo der. 
a) Apoyo A: MA aplicado
Apoyo B: “frenado”
c/carga transversal 
≠ cond. vínculos
a) frenados
c) articulado-frenado
b) frenado-articulado
MÉTODO DE CROSS
PASOS para aplicar el artificio del Método
Para inercia cte.: Para inercia cte.:
MÉTODO DE CROSS
PASO [5]: Artificio del método
Esquema de forma, 
cargas y vínculos
Se aíslan las barras y 
determinan M.E.P. 
Situación de partida:
Nodos frenados Determinación de los momentos de fijación, 
o de empotramiento perfecto, provocados 
por cargas perpendiculares al eje del tramo, 
o por momentos aplicados en el mismo
1
2
3
4
D
C
B
A
20
C
A
2
30
B
A
1
3
D
A
50
A
4
70
MÉTODO DE CROSS
PASO [5]: Artificio del método
Se vuelve a componer 
la estructura 
(con los M.E.P. en los 
extremos de las barras)
Se plantea:
1
2
3
4
70
50
20
30
D
C
B
A
1
2
3
4
100
D
C
B
A
Se suelta el aparato 
fijador y surge:
-MA = -100
MÉTODO DE CROSS
PASO [5]: Artificio del método
Repartición de momentos en el nudo
Momentos repartidos: Momentos transmitidos:
-MA = -100 0,50
0,30
0,20
0
C
A
2
B
A
1
3
D
A
A
4 50
30
0
20
25
10
Se suelta el aparato 
fijador y surge:
Transmisión de momentos hacia 
extremos opuestos (si corresp.)
MÉTODO DE CROSS
PASO [5]: Artificio del método
1
2
3
4
70
50
20
30
D
C
B
A
MOMENTOS FINALES
C
A
2
B
A
1
3
D
A
A
4 50
30
0
20
25
10
1
2
3
4
70
50
30
D
C
B
A
20
50
30
0
20
25
10
Momentos repartidos
Momentos transmitidos
M.E.P.
MOMENTOS FINALES
en los extremos de las 
barras
MÉTODO DE CROSS
PASO [5]: Artificio del método
MOMENTOS FINALES
1
2
3
4
70
50
30
D
C
B
A
20
50
30
0
20
25
10
MOMENTOS FINALES
en los extremos de las 
barras
1
2
3
4
70
20
5
D
C
B
A
70
10
20
MÉTODO DE CROSS
PASO [5]: Artificio del método
Se separan las barras.
Se está en condiciones de hallar 
las reacciones en los apoyos y los 
diagramas de solicitaciones
Aplicando:
 ecuaciones de equilibrio  Σ Fx = 0
 Σ Fy = 0
 Σ M = 0
M``(x) = V`(x) = -p
 la ecuación fundamental de las vigas 
rectas: relación pVM 
70
C
A
2
5
B
A
1
3
D
A
20
A4
70
10
20
MÉTODO DE CROSS
Ejemplo de aplicación:
PASO [5]: Artificio del método
A
620