Campo Gradiente

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Campo Gradiente 
 
El campo gradiente de una función diferencial f(x, y, z) es el campo de vectores 
gradientes 
 
⊿𝒇 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝒊 +
𝝏𝒇
𝒇𝒚
𝒋 +
𝝏𝒇
𝝏𝒛
𝒌 
 
 
Trabajo realizado sobre una curva suave 
 
El trabajo realizado por una fuerza f= Mi + Nj + Pk sobre una curva suave r(t) desde 
t= a hasta t= b es 
 
𝝎 = ∫ 𝑭. 𝑻𝒅𝒔
𝒕=𝒃
𝒕=𝒂
 
 
 
Seis maneras distintas para escribir la integral de trabajo 
 
𝜔 = ∫ 𝐹. 𝑇𝑑𝑠
𝑡=𝑏
𝑡=𝑎
 La Definicion 
 
𝜔 = ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑡=𝑏
𝑡=𝑎
 Forma diferencial impacta 
 
𝜔 = ∫ 𝐹.
𝑑𝑟
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑡=𝑏
𝑡=𝑎
 Desarrollo para incluir a dt; enfatiza el parámetro t y al vector de 
velocidad dr/dt 
 
𝜔 = ∫ (𝑀
𝑑𝑔
𝑑𝑡
+ 𝑁
𝑑𝑏
𝑑𝑡
+ 𝑃
𝑑𝑘
𝑑𝑡
) 𝑑𝑡
𝑡=𝑏
𝑡=𝑎
 Enfatiza las funciones componentes 
 
𝜔 = ∫ (𝑀
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 𝑁
𝑑𝑦
𝑑𝑡
+ 𝑃
𝑑𝑧
𝑑𝑡
) 𝑑𝑡
𝑡=𝑏
𝑡=𝑎
 Abrevia los componentes de r 
 
𝜔 = ∫ 𝑀𝑑𝑥 + 𝑁𝑑𝑦 + 𝑃𝑑𝑧 𝑑𝑡
𝑡=𝑏
𝑡=𝑎
 Se calcula dt, es la forma mas común 
 
 
Evaluación de una integral de trabajo 
 
Para evaluar la integral de trabajo a lo largo de una curva suave r(t), siga estos pasos: 
 
1. Evalue F en la curva como una función del parámetro t 
2. Encuentre dr/dt 
3. Integre F. dr/dt desde t= a hasta t= b 
 
 
 
 
 
 
Ejercicios Aplicativos 
 
1. Calcule el trabajo realizado por una fuerza variable sobre una curva en el 
espacio F= (y – x2)i + (z – y2)j + (x – z2)k sobre una curva r(t) = ti + t2j + t3k 
que va desde 0 ≤ t ≤ 1 
 
F= (y – x2)i + (z – y2)j + (x – z2) r(t) = ti + t2j + t3k 
 = (t2 – t2)i + (t3 – t4)j + (t – t6)k dr/dt = 1i + 2tj +3t2 k 
 = (t3 – t4)j + (t – t6)k 
 
𝑊 = ∫ 𝐹. 𝑑𝑟
𝑏
𝑎
 
 = ∫ [(𝑡3 − 𝑡4)𝑗 + (𝑡 − 𝑡6)𝑘](𝑖 + 2𝑡𝑗 + 3𝑡2𝑘)𝑑𝑡
1
0
 
 = ∫ (2𝑡4 − 2𝑡5) + (3𝑡3 − 3𝑡8)𝑑𝑡
1
0
 
 = ∫ 2𝑡4 − 2𝑡5
1
0
𝑑𝑡 + ∫ 3𝑡3 − 3𝑡8𝑑𝑡
1
0
 
 = 2 [
𝑡5
5
]
0
1
− 2 [
𝑡6
6
]
0
1
+ 3 [
𝑡4
4
]
0
1
− 3 [
𝑡9
9
]
0
1
 
 = 
2
5
(1) −
1
3
(1) +
3
4
(1) −
1
3
(1) 
 
 = 
87
180
 = 29/60 
 
 
 
2. El campo gradiente de velocidad de un fluido es X= xi + zj + yk encuentre el 
fluido a lo largo de las hélices r(t)= Costi + Sentj + tk 0 ≤ t ≤ π/2 
 
X = xi + zj + yk r(t)= Costi + Sentj + tk 
 = Costi + tj + Sentk dr/dt = - Senti +Costj +1k 
 
 
∫ (𝐶𝑜𝑠𝑡𝑖 + 𝑡𝑗 + 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑘)
𝜋/2
0
(− 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖 + 𝐶𝑜𝑠𝑡𝑗 + 1𝑘) 𝑑𝑡 
 = ∫ −𝑆𝑒𝑛𝑡𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝑡𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝑆𝑒𝑛𝑡 
𝜋/2
0
𝑑𝑡 
 = ∫ −𝑆𝑒𝑛𝑡𝐶𝑜𝑠𝑡
𝜋/2 
0
𝑑𝑡 + ∫ 𝑡𝐶𝑜𝑠𝑡
𝜋/2
0
𝑑𝑡 + ∫ 𝑆𝑒𝑛𝑡
𝜋/2
0
𝑑𝑡 
 = [−
𝑆𝑒𝑛2𝑡
2
]
0
𝜋
2
+ [𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝑆𝑒𝑛𝑡]0
𝜋
2 + [−𝐶𝑜𝑠𝑡]0
𝜋
2 
 
 = 
𝑆𝑒𝑛2𝜋
2
+ 𝐶𝑜𝑠
𝜋
2
+
𝜋
2
𝑆𝑒𝑛
𝜋
2
− 𝐶𝑜𝑠
𝜋
2
 
 = -1/2 + π / 2 
 
 
3. Determinar el campo gradiente de la f(x, y, z) = xyz 
 
⊿𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑘 
 
= yzi +xzj + xyk 
 
 
4. Determine la circulación del campo de alrededores de una cirscunferencia 
siendo f= (x - y)i + xj a lo largo de la circunsferencia r(t) = Costi + Sentj 
desde 0 hasta 2π 
 
f= (x - y)i + xj r(t) = Costi + Sentj 
 = (Costi - Sentj) + (Cost)(Cost) 𝜕𝑟/𝜕𝑡= -Sent i + cost j 
 
∫ [(−𝐶𝑜𝑠𝑡(𝑆𝑒𝑛𝑡) + 𝑆𝑒𝑛2𝑡) + (𝐶𝑜𝑠2𝑡)]𝑑𝑡
2𝜋
0
 
= -∫ 𝐶𝑜𝑠𝑡. 𝑆𝑒𝑛𝑡
2𝜋
0
𝑑𝑡 + ∫ 𝑆𝑒𝑛2𝑡
2𝜋
0
𝑑𝑡 + ∫ 𝐶𝑜𝑠2𝑡
2𝜋
0
𝑑𝑡 
= -Sen2t + 
1
2
𝑡 −
1
4
𝑆𝑒𝑛2𝑡 +
1
2
𝑡 +
1
4
𝑆𝑒𝑛2𝑡 
= 𝜋 + 𝜋 
= 2𝜋 
 
 
5. Determine el flujo f= (x - y)i – xj a través de x2 + y2 +1 de 0 ≤ t ≤ 2π 
 
F= (x - y)i – xj r(t)= Cost i + Set j 
M = x – y Cost i – Sent j 𝜕𝑀 =-Senti – Costj 
𝜕𝑟
𝜕𝑡
= -Sent i +Costj 
N= x  Cost i  𝜕𝑁= - Sent 
 
 
∫ 𝑀𝑑𝑦 − 𝑁𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
= ∫ (𝐶𝑜𝑠𝑡𝑖 − 𝑆𝑒𝑛𝑡𝑗)(−𝐶𝑜𝑠𝑡𝑖) − (𝐶𝑜𝑠𝑡𝑖)(𝑆𝑒𝑛𝑡𝑖)𝑑𝑡
2𝜋
0
 
= ∫ 𝐶𝑜𝑠2𝑡
2𝜋
0
+ 𝑆𝑒𝑛𝑡𝐶𝑜𝑠𝑡 + 𝑆𝑒𝑛𝑡𝐶𝑜𝑠𝑡 
= ∫ 𝐶𝑜𝑠2𝑡
2𝜋
0
 dt 
= 
𝑡
2
+
𝑆𝑒𝑛2𝑡
4
 
=
1
2
2𝜋 +
1
4
𝑆𝑒𝑛2360 
= π 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sea f una función escalar y F = (M, N, P) un campo vectorial. Se define: 
 
 1. El gradiente de f como el vector 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Propiedades 
 
Sea f una función escalar y sean �⃗� y �⃗� campos vectoriales entonces: 
 
 
 
 
 
 
Teorema 
 
Sea f = Mi + Nj + Pk donde M, N, P son continuos, asi como sus derivadas parciales de 
primer orden, en un conjunto conexo abierto D qure también es simplemente conexa 
entonces f es conservativa (F= 𝛻.F) si o solo si es rot f= 0 
 
𝝏𝑴
𝝏𝒚
=
𝝏𝑵
𝝏𝒙
 
𝝏𝑴
𝝏𝒛
=
𝝏𝑷
𝝏𝒙
 
𝝏𝑵
𝝏𝒛
=
𝝏𝑷
𝝏𝒚
 
 
Es particular de dos variables donde f= Mi + Nj es consecutivo si y solo si: 
 
𝝏𝑴
𝝏𝒚
=
𝝏𝑵
𝝏𝒙
 
 
Ejercicios aplicativos 
 
1. Determine si �⃗� = 2𝑥𝑦, 𝑥2 − 𝑦 es conservativo en caso de serlo encuentre la 
función potencial 
 
�⃗� = 2𝑥𝑦, 𝑥2 − 𝑦 
M= 2xy 
N= 𝑥2 − 𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑥
= 2𝑦 
𝜕𝑓
𝜕𝑦
= 1 
 
 
V x �⃗� |
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑀 𝑁 𝑃
| = |
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥𝑦 𝑥2 − 4 0
| = [
𝜕0
𝜕𝑦
−
𝜕𝑥2−4
𝜕𝑧
] 𝑖 − [
𝜕0
𝜕𝑥
−
𝜕2𝑥𝑦
𝜕𝑧
] 𝑗 − [
𝜕𝑥2−4
𝜕𝑥
−
𝜕2𝑥𝑦
𝜕𝑦
] 
 
 
= 0i – 0j – (2x- 2x) 
= 0i – 0j – 0k conservativo 
∫ 2𝑥𝑦𝑑𝑥 = 𝑥2𝑦 + 𝐶1 
∫ 𝑥2 − 4 𝑑𝑦= 𝑥2𝑦 −
𝑦2
2
+ 𝐶2 
 
�⃗�= x2y – x2/2 
 
 
2. Determine si F = (2xy, x2 + z2, 2zy) es conservativo. En caso de serlo encontrar 
fubcion potencial 
 
F = (2xy, x2 + z2, 2zy) 
 
M= 2xy 
N= x2+ y2 
P= 2zy 
 
V x �⃗� |
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑀 𝑁 𝑃
| = |
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕
𝜕𝑧
2𝑥𝑦 𝑥2 + 𝑧2 2𝑧𝑦
| = [
𝜕2𝑧𝑦
𝜕𝑦
−
𝜕𝑥2+𝑧2
𝜕𝑧
] 𝑖 − [
𝜕2𝑧𝑦
𝜕𝑥
−
𝜕2𝑥𝑦
𝜕𝑧
] 𝑗 − 
 
[
𝜕𝑥2+𝑧2−4
𝜕𝑥
−
𝜕2𝑥𝑦
𝜕𝑦
] 
 
 
= (2z -2z)i – (0-0)j – (2x-2x) 
 
= 0i – 0j – 0k 
 
∫ 2𝑥𝑦 𝑑𝑥 
= 2y∫ 𝑥 𝑑𝑥 
= 24(
𝑥2
2
) 
= 𝑥2𝑦 
 
 
∫ 𝑥2 + 𝑥2𝑑𝑦 
= 𝑥2𝑦 + 𝑧2𝑦 
 
∫ 2𝑧𝑦 𝑑𝑧 
= 2y∫ 𝑧dz 
= 2 [
𝑧2
2
]  4z2 
 
 
 
3. Determine si f es (4x3 + 9x2y2)i + (6x3y + 6y5)j 
 
F=(4x3 + 9x2y2)i + (6x3y + 6y5)j 
 
M= (4x3 + 9x2y2)i 
N = (6x3y + 6y5)j 
 
V x �⃗� |
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑀 𝑁 𝑃
| = |
𝑖 𝑗 𝑘
𝜕
𝜕𝑥
 
𝜕
𝜕𝑦
 
𝜕
𝜕𝑧
4𝑥3 + 9𝑥2𝑦2 6 𝑥3𝑦 + 64𝑦5 0
| = [
𝜕0
𝜕𝑦
−
𝜕6𝑥3𝑦+6𝑦5
𝜕𝑧
] 𝑖 −
[
𝜕0
𝜕𝑥
−
𝜕4𝑥3+9𝑥2𝑦2
𝜕𝑧
] 𝑗 + 
[
𝜕6𝑥3𝑦 + 6𝑦5
𝜕𝑥
−
𝜕4𝑥3 + 9𝑥2𝑦2
𝜕𝑦
] 𝑧 
 
= (0 − 0)𝑖 − (0 − 0)𝑗 + (18𝑥2𝑦 − 18𝑥2𝑦) 
= 0i – 0j – 0z 
 
 
 
M=( 4x3 + 9x2y2) N=(6x3y + 6y5)j 
 = 4 ∫ 𝑥3𝑑𝑥 + 9𝑦2 ∫ 𝑥2𝑑𝑥 = 6𝑥3 ∫ 𝑦 + 6 ∫ 𝑦5 
 = 4 [
𝑥4
4
] + 9𝑦2 [
𝑥3
3
] = 6𝑥3 [
𝑦2
2
] + 6 [
𝑦6
6
] 
 = x4 + 3x3y2 = 3x3y2 + y6 
 
 
 
4. Encontrar la función potencial cuando f= (𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠𝑦 + 𝑦𝑧)𝑖 + (𝑥𝑧 −
𝑒𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦)𝑗 + (𝑥𝑦 + 𝑧)𝑘 es un campo conservativo y determinamos una función 
potencial para uno. 
 
F= (𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠𝑦 + 𝑦𝑧)𝑖 + (𝑥𝑧 − 𝑒𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦)𝑗 + (𝑥𝑦 + 𝑧)𝑘 
 
M= 𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠𝑦 + 𝑦𝑧 
N= 𝑥𝑧 − 𝑒𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦 
P= 𝑥𝑦 + 𝑧 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑦
=
𝜕𝑁
𝜕𝑥
 
 
𝑒𝑥(−𝑆𝑒𝑛𝑦) + 𝑧 = 𝑧 − 𝑒𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦 
−𝑒𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦+ 𝑧 = −𝑒𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦 + 𝑧 
 
𝜕𝑀
𝜕𝑧
=
𝜕𝑃
𝜕𝑥
  y = y 
 
𝜕𝑁
𝜕𝑧
=
𝜕𝑃
𝜕𝑦
  x = x 
 
 
𝜕
𝜕𝑥
= 𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠𝑦 + 𝑧 − 𝑒𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 + 𝑦 
 
𝜕
𝜕𝑦
= −𝑒𝑥𝑆𝑒𝑛𝑦 + 𝑧 − 𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠𝑦 + 𝑥 
 
𝜕
𝜕𝑧
= 𝑦 + 𝑥 + 1