Integrales Multiples-III

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INTEGRALES MULTIPLES
EMPEZAREMOS CON LAS INTEGRALES DOBLES
Las integrales dobles se aplican a las funciones de dos variables, z = f(x, y) con la finalidad de calcular el volumen que está debajo de ella. Pero iniciaremos nuestro estudio considerando algunas situaciones particulares que facilitarán su aprendizaje, como z > 0 y de dominio rectangular [a, b]x[c, d], como se muestra en la figura siguiente:
Dividimos el intervalo [a, b] en “n” partes iguales y el intervalo [c, d] en m partes iguales, de modo que: y luego tenemos una malla de mxn sub-intervalos de área Aij= 
Tomando el sub-intervalo genérico ij, en donde el punto medio es 
 ) determinamos el valor de z en dicho punto será f )
El área de dicho sub-intervalo es , de modo que dicho rectángulo de dimensiones y fdefinen un prisma recto de volumen f como se ve en la figura
 Y
d
.
.
yj
.
Y1 
C
 a x1 x2……… …….xi ………………… b x
Δy
 Δx
Como tenemos mxn sub-intervalos, tendremos mxn prismas rectos. 
El volumen del prisma genérico será:
Ahora vamos a sumar ordenadamente los volúmenes de estos mxn prismas.
Primero sumando los volúmenes
en cada fila j:
J =1 =
J =2 =
 .
 .
J = m =
Aij= 
ΔAij = ΔxΔy
4
Sumando los volúmenes de todas las m filas:
 
Ahora vamos a sumar los volúmenes en cada columna i:
Si i = 1 =
Si i = 2 =
 . 
 .
Si i = n =
Sumando los volúmenes de todas las n columnas:
=
El volumen total es el mismo, solo se ha variado el orden de la suma, por tanto:
 = 
Llevando al límite cuando n→ y m →
Como y entonces →y→
 
Teorema de Fubini
Por tanto: 
 
Integrales Iteradas
 
Hay que tener en cuenta que el orden de integración “es de dentro hacia fuera”. Esto es la se integra la integral que está dentro del corchete respecto a x manteniendo constante y, y luego el resultado, se integra respecto a y.
EJEMPLO Evaluar I=
Integramos primero respecto a y considerando a x constante:
I= 
Ahora integramos respecto a x: I==
Si estamos frente a una integral doble en donde los límites son cerrados, como en el ejemplo que acabamos de ver, esto es x varía entre [0, 3] e y [1, 2] y la función sub-integral f(x, y) es el producto de dos funciones de variables separadas, esto es f(x, y) = u(x) v(y) entonces la integral doble se puede resolver integrando dos integrales simples y el resultado se multiplica:
I= =
I =
El ejemplo anterior nos ilustra esta propiedad:
I=
I= 
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES DOBLES
1. c
2
3. 
4. 
5. 
 
	
Ejemplo:
Calcular el volumen del sólido que se encuentra arriba del cuadrado [0, 2]x[0, 2] y debajo del paraboloide z=16- .
dy=
dy=
 
Luego el volumen encerrado V = 48 
 y
 Paraboloide
 z = 16- 
 0 2 y
 2 (2, 2)
 x
 
GENERALIZACIÓN DEL DOMINIO
Dada la función z = f(x, y) > 0, cuyo dominio es una región R simple y cerrada.
Definimos una función F(x, y) cuyo
dominio D =[a, b]x[c, d] que contiene
a R, como se ve en la figura: 
Como F(x, y)
condiciones de la definición: 
Integrando esta función F(x, y):
R
 y
d
 D
C
 0 a b
En la siguiente figura se muestra el gráfico de F(x, y)
Como F(x, y) = 0 para cuando (x, y) 
se encuentra en la región D-R,
el volumen en esa región es cero.
Por tanto:
 z
 z=f(x, y)
 c d y
 a
 R D
 b
TIPOS DE REGIONES
Región Tipo I: D1={ (x, y)/ a ≤ x ≤ b y u1(x) ≤ y ≤ u2(x) }
La integral doble para esa región será: 
En la figura se muestran las formas que puede adoptar D1
 
 y y y
 u2(x)
 u2(x) u2(x)
 D1 D1 D1
 
 u1(x) u1(x) u1(x)
 0 a b 0 a b 0 a b
Región Tipo II: D2 = {(x, y) / c ≤ y ≤ d y h1(y) ≤ x ≤ h2(y) }
La integral doble para esa región será: 
En la figura se muestra las formas que puede asumir D2
 y y y
 d d d 
 
 h1(y) h2(y) h1(y) h2(y) h1(y) h2(y)
 D2 D2 D2
 c c c
 0 x 0 x 0 x
 
Teorema de Fubini para regiones generales: Región Tipo 1
egión
Cálculo de A(x):
Tomando el plano x = x corta a la
superficie S dada por z =f(x,y) en
una curva en donde x permanece 
constante x = x, luego el área A(x):
A(x)= 
Para calcular el volumen consideramos un dx que define con A(x) un dV = A(x)dx, integrando entre a y b tenemos:
VOLUMEN = 
Ahora vamos a verlo para una región Tipo 2
Cálculo de A(y):
Tomando el plano y = y corta a la
superficie S dada por z =f(x,y) en
una curva en donde y permanece 
constante y = y, luego el área A(y):
A(y) = 
Para calcular el volumen consideramos un dy que define con A(y) un dV = A(y)dy, integrando entre c y d tenemos:
VOLUMEN = 
Ejercicio
Evalúe donde D es la región limitada por las 
curvas 
En donde 
Hacemos el gráfico, vemos que la 
región es tipo I:
D={(x, y)/ -1 ≤ x ≤ 1 y 2
Luego la integral será: 
I==
D
 y
 2
 1
 -1 0 1 x
EJEMPLO 
Evalúe donde D es la región limitada por la recta 
y=x-1 y la parábola = 2x+6. 
INTEGRALES DOBLES EN CC POLARES
Relación entre coordenadas polares (r, θ) y las rectangulares (x, y) de un punto:
 
 
 
Se usan cuando las regiones están limitadas por funciones circulares. Como circunferencias,cardiodes, rosa de cuatro pétalos, trébol, etc.
Dada la función z = f(x, y) > 0, cuyo dominio R es un sector de corona circular, como se 
muestra en la figura:
Dividimos el intervalo de r en 
“n” partes y el intervalo de θ
en “m” partes, de modo que:
 y 
De manera que tendríamos una malla de mxn sub-intervalos, si nos detenemos en el sub-intervalo genérico 
Vemos que el punto medio de dicho sub-intervalo será: 
Θ=α
Θ=β
a
b
α
En donde: y 
El área de un sector circular viene dada por: 
El área del sub-intervalo genérico será:
=
= 
Determinando el valor de f(x, y) en el punto medio del sub-intervalo genérico, como entonces: 
Estamos frente a un prisma cuya sección recta es el área del sub-intervalo genérico y la altura el valor de f(x, y) en el punto medio del sub-intervalo genérico, cuyo volumen estará dado por: 
Como tenemos mxn sub-intervalos, tendremos mxn prismas, sumando los volúmenes ordenadamente, se obtiene (suma de Riemann):
Llevando al límite cuando m y n tienden a infinito:
 
Luego: 
EJEMPLO
Halle el volumen del sólido que se encuentra encima de z=0, dentro del cilindro 
Como la región es un círculo
conviene usar C.C. Polares
 
La circunferencia:
 en CC. Polares
 
La región de integración es el círculo, que en C.C. Polares queda definido de la siguiente manera:
 z
 4
 D
 x 2 1 0
 y 
z=
D = {(r, θ)/ - y 0 ≤ r ≤ 2cos θ} 
z = (x, y) = 
z = f(r, θ) = reemplazando:
 y
 r=2cosθ
 r
 θ
 D
 0 1 2 x
EJEMPLO
Determinar el volumen del sólido que está encima del plano z=0, limitado por los planos x=4 ; y = 6-x, y= 0; x=0 y debajo de como se muestra en la figura siguiente.
 La región es tipo I:
			 D={(x, y)/ 0≤x≤4 y 0≤y≤6-x}
			 El volumen estará dado por:
			 = 
 V 
 Operando y simplificando: 
 
 
Cálculo de la masa de la región D (dominio)
 Si f(x, y) es la densidad superficial = ρ(x, y) = 
 Entonces dm = ρ(x, y) dA integrando:
 
 En el ejemplo anterior si ρ(x, y) = 2x
 
 
 
APLICACIONES
Área de la región D, se determina de modo indirecto, ya que en realidad lo que se calcula es el volumen del sólido cuyo valor coincide con el valor del área de la región D, esto se da cuando la altura es la unidad, esto es cuando z = f(x, y)= 1.
 
 Sabemos que: 
	
2) Valor medio, es el valor “z = f(x, y)” que multiplicada por el área de la base, sea igual al volumen que se encuentra debajo de la superficie S definida por z = f(x, y).
1
EJEMPLO
Del ejemplo anterior vamos a:
a) Calcular el área de D:
= 
b) Calcular el valor medio:
Como el volumen se calculó antes se tiene que V = 48 
Luego el valor medio será: = = 
3) Cálculo de los momentos de primer orden y centro de masa
Sabemos que la masa viene dada por:
Y sus momentos alrededor de los 
dos ejes coordenados son: 
El centro de masa se localiza en el punto 
Donde: ; 
x
y
4) MOMENTOS DE INERCIA
 El Momento de Inercia es una medida de la materia a 
	 resistirse a cambios en el movimiento de rotación.
	Si consideramos un diferencial de masa
 en un punto cualquiera de la lámina, el
 dIy = y
 dIx = 
Integrando:
	 
 El momento de Inercia respecto al origen: Io = Ix + Iy
x
y
32
EJEMPLO
Una lámina de densidad ρ(x,y)=xy está limitada por el eje de las x, la recta x = 8 y la curva y=x 2/3 . Calcular: la masa, el centro de masa y momentos de inercia.
Solución: En la figura, se aprecia la región correspondiente a la lámina
=
y=x 2/3 
D
Calculando los primeros momentos, se tiene:
Por lo tanto, el Centro de Masa de la lamina es:
 y 
 y 
Para hallar los momentos de inercia aplicamos:
 
 y 6144
x
y
y=x 2/3 
D
AREA DE UNA SUPERFICIE
Sea S una superficie con ecuación z = f(x, y), donde F tiene derivadas parciales continuas. Para facilitar el análisis consideramos un dominio rectangular D=[a, b]x[c, d]
Dividimos en el intervalo [a, b] en
n partes iguales y el [c, d] en m, de
modo que:
 y 
Tendremos una malla de mxn sub-
intervalos iguales. Tomamos el sub-
Intervalo genérico, ij y definimos el
punto genérico (xi, yj) y por ese 
punto trazamos el plano tangente.
c
d
a
 b
x
Dicho plano queda dividido por 
las aristas del prisma correspon-
dientes al sub-intervalo genérico
en un paralelogramo, como se
muestra en la figura en azul.
Si hacemos un zoom en esta
zona tendremos:
Vamos aproximar el área ΔSij
con el área del plano tangente ΔTij
a
b
ΔSij
ΔTij
Como ΔTij es igual //a x b// vamos a calcular a y b:
Como a es paralelo al plano y=0 no tiene componente “j” luego a=(Δx, 0, Δx fx(xi, yj)) y b por ser paralelo al plano x=0 no tiene componente “i” luego b = (o, Δy, Δy fy(xi, yj)) 
Como tenemos mxn sub-intervalos, tenemos que sumarlos, aplicando la suma doble de Riemann:
 
Llevando al límite T cuando m y n tienden a infinito obtenemos el área de la superficie S:
Expresión que nos permite calcular el área de la superficie S
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
Hallar el área de la porción del plano 
z = 2 – x – y que está interceptada por
el cilindro 1 en el primer 
cuadrante. 
La región de integración D, al ser parte
de un círculo, conviene usar CC.Polares
Luego D={(r, θ)/ 0≤ θ ≤ π/2 y 0 ≤ r ≤ 1}
Como el área viene dada por:
Tenemos que calcular fx y fy, como f(x,y) = 2 – x – y: 
fx(x, y) = -1 y fy(x, y)= -1
Remplazando en la integral los datos:
 
 
EJEMPLO 2
Hallar el área de la superficie de que se encuentra dentro del cilindro =1.
Calculamos las derivadas parciales:
 
Remplazando:
 
Como R es un círculo, usamos CC. Polares
R
S
D ={(r, θ)/ 0 ≤ r ≤ 1 y 0 ≤ θ ≤ 2π}
INTEGRALES TRIPLES
Las integrales triples se aplican para funciones de tres variables como w = f(x, y, z), esto nos presenta una gran dificultad debido a que no sabemos graficar dicha función debido a que se encuentra en un espacio tetra-dimensional, pero por inducción, aunque no sepamos como es, intentaremos imaginarlo. Las integrales triples se logran entender mejor en las aplicaciones:
Tomaremos como dominio un prisma recto, pero para facilitar el análisis tomaremos un dominio rectangular como D =[0, a]x[0, b]x[0, c], y dividiremos el intervalo [0, a] en n partes iguales; el [0, b] en m partes iguales y el [0, c] en ñ partes iguales, de modo que tendremos mxnxñ sub-intervalos iguales, cuyas dimensiones son:
 ; 
Tomamos el elemento genérico ijk
de coordenadas 
El prisma genérico tiene como 
punto medio a 
y su volumen 
Definimos el valor de f en ese
punto w = 
c
a
b
Asociando este valor con su correspondiente volumen, tendríamos: 
 
Como tenemos mxnxñ sub-intervalos y que cada uno lleva asociado el producto, los sumamos ordenadamente tendríamos, según la suma de Riemann:
Llevando al límite cuando n, m y ñ → :
INTEGRAL TRIPLE: 
TEOREMA DE FUBINI
Si “f” es continua sobre su dominio D =[0, a]x[0, b]x[0, c], entonces:
El orden de integración es de adentro hacia afuera, en la integral de la derecha, empezamos integrando respecto a z, manteniendoconstantes a y y a z. luego integramos respecto a y manteniendo constante a x y por último integramos respecto a x. Hay otras posibles órdenes de integración:
Integrales Triples para Regiones más Generales
Tomemos una función f(x, y, z) continua en una región general E, que es un sólido simple y cerrada situada en el primer octante.
Definimos una función F(x, y, z) de
dominio D =[0, a]x[0, b]x[0, c], que
contiene a E, del modo siguiente:
Como F satisface la definición: la 
integral será:
 
0 E
D
c
b
a
Expresando la integral de modo explícito:
Por tanto: 
TIPOS DE REGIONES DE INTEGRACION
Región Tipo I: 
 E1={(x, y, z)/ (x, y) є R y u1(x, y) ≤ z ≤ u2(x, y)}
 la integral será:
 z
 z = u2(x, y)
 z=u1(x, y)
 0 y
 R
 x
Esta integral presenta dos alternativas dependiendo de como es la región R.
a) Si R es tipo I: R1 ={ (x, y)/ a ≤ x ≤ b y h1(x) ≤ y ≤ h2(x) }
Si R es tipo II: R2 ={ (x, y)/ c ≤ y ≤ d y g1(y) ≤ x ≤ g2(y) }
2. Región Tipo II: E2={(x, y, z)/ (y, z) є R ; u1(y, z) ≤ z ≤ u2(y, z)}
La integral será:
Si R es tipo I: 
 R1={ (y, z)/ c ≤ y ≤ d y h1(y) ≤ z ≤ h2(y) } 
 
 z
 R
 E u1(y, z)
 u2(y, z) y
 x
Si R es tipo II: R2={ (y, z)/ e ≤ z ≤ f y r1(z) ≤ y ≤ r2(z) }
3) Región Tipo III:
 
 E3={(x, y, z)/ (x, z) є R y u1(x, z) ≤ y ≤ u2(x, z)}
 z
 u1(x, z) u2(x, z) 
 R 
 0 y
x 
Si R es Tipo I:
R1={ (x, z)/ a ≤ x ≤ b y r1(x) ≤ z ≤ r2(x) }
b) Si R es tipo II: 
R2={ (x, z)/ e ≤ z ≤ f y r1(z) ≤ x ≤ r2(z) }
EJEMPLO Evaluar la integral en donde E es:
La región E será: 
E={(x, y, z) / (x, y)ϵ R y 0 ≤ z ≤ }
 
 z
 
 
 x=0
 0 E
 y=0
 z=0
 R
 
53
Como la región R es un sector de corona circular, usaremos CC. Polares: x =rcos. y=rsen:
Luego R={(r, )/ 1
dA
Pasando a CC. Polares:
=
EJEMPLO
Evaluar la integral en el recinto señalado
La región R es Tipo I: 
 }
Luego
E : 
Con esa información podemos construir los gráficos
R
0 1 2 x
E
=
Remplazando y operando:
dx=
dx
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
1. 
2. 
=
3. 
 E=
APLICACIONES DE LAS INTEGRALES TRIPLES
Cálculo de Volúmenes
De modo análogo, el Volumen se calcula haciendo f(x, y, z) = 1 en la integral:
 
EJEMPLO
Calcular el volumen del sólido limitado por las superficies: 
Plano x + y = 6; cilindro parabólico y los planos coordenados 
Según el gráfico la región E es tipo I:
E={(x, y, z)/ (x,y)ϵR y o≤ z ≤ }
Donde R=[(x, y) / 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤6-x}
Luego la integral :
dydx==
Cálculo de la Masa del sólido definido por el Dominio
dm = ρ(x, y, z) dV Integrando: 
EJEMPLO Calcularemos la masa del sólido visto en el ejemplo anterior si ρ(x, y, z) = 2x
Remplazando en la ecuación:
mdx=
Cálculo de Momentos de Primer Orden y el centro de masa
Se calculan respecto a los planos 
coordenados:
dMxz= dm = y 
dMxy= dm = z 
dMyz= dm = x 
Integrando
x
z
y
dm
El Centro de Masa se calcula:
La masa viene dada por: 
Luego las coordenadas del centro de masa es una media ponderada:
63
EJEMPLO: Calcular la abscisa del centro de masa del cubo unidad cuyos vértices son (0,0,0); (0,1,0); (1,1,0), (0,1,0); (0,0,1); (1,0,1); (1,1,1); (0,1,1). Si la densidad en el punto (x,y,z) es proporcional al cuadrado de su distancia al origen
 
 
 
Cálculo de Myz:
Luego: 
EJEMPLO
Encuentre el centro de masa de un sólido de densidad constante que está limitado por el cilindro parabólico x = y los planos x = z, z = 0 y x = 1.
Densidad 
E={(x, y,z)/ (x, y)єR; 0 ≤ z ≤ x}
R={(x, y)/ -1≤ y ≤ 1; ≤ x ≤ 1}
 z
 -1
 x = 
 0
 E
 1 
 1 R y 
 x 
 
 
y por simetría 
5. MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES
Momento de inercia respecto a x:
2. Momento de inercia respecto a y:
3. Momento de inercia respecto a y:
 y
 d3 
 d2 d2 
 d1 z
 x
MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO A LOS PLANOS COORDENADOS
Momento respecto al plano z=0
2. Momento respecto al plano x=0
 V
3. Momento respecto al plano y=0
 V
Estos momentos se relacionan de esta manera:
 
CAMBIO DE VARIABLES EN INTEGRALES MULTIPLES
Un cambio de variables está dado por una Transformación Lineal T del plano “uv” al plano “xy”
Se denota así: T(u, v) = (x, y)
Donde x e y están relacionados con u y v por las ecuaciones:
x = g(u, v) e y = h(u, v)
Y g y h tienen derivadas parciales continuas de primer orden.
Definición: Una transformación Lineal T es una función cuyo dominio e imagen, son subconjuntos de Si T(u, v) = (x, y) entonces el punto (x, y) se llama imagen de (u, v). 
Si no hay dos puntos que tengan la misma imagen , T se llama biunívoca. En el siguiente gráfico se muestra el efecto de una transformación T de una región S del plano uv. T transforma a S en una región R del plano xy llamado imagen de S, formado por las imágenes de todos los puntos de S.
 
 
 
 
EJEMPLO
Una transformación está definida por las ecuaciones:
	x= y = 2uv
T
S 
(u, v)
 R
 (x, y)
V y
0 u 0 x
Encuentre la imagen de S={(u, v)/ 0
x= y = 2uv
Teniendo la frontera de S formado por 
el cuadrado c1, c2, c3, c4, vamos a definir 
la frontera de R;
1) Camino 1: v=0 si 0 u 1
 Luego: x= y = 0
 Como 0 u 1 → 0 1 → 0 x 1 
 Luego y = 0 si 0 x 1 
2) Camino 2: u = 1 si 0 v 1
 Luego : x= ; y = 2v → v = y/2
 Remplazando:x = 1 - → = -2(x-1)
 Como 0 v 1 → 0 2v 2 entonces 0 y 2
 v
 1 C3 (1, 1)
 S
 C4 C2
 0 C1 1 u
3) Camino 3: v = 1 si 0 u 1
 x= y = 2u → u = y/2
 Reemplazando: x = → = 2(x+1)
 Como 0 u 1 → 0 2u 2 entonces 0 y 2 
Camino 4: u = 0 si 0 v 1
 x= y = 0
 Como 0 v 1 → 0 1 → -1 0 
 Luego: y = 0 si -1 0 
 
 Graficando lo calculado:
 y
 2
 = 2(x+1) = -2(x-1)
 R
 -1 0 1 x
 
 v 
 d v=d
 
 vj
 u =a u=b
 c
 v=c
 0 a ui b u
S
CAMBIO DE VARIABLES EN UNA INTEGRAL DOBLE
Dada una función z = f(x, y) en donde x e y son funciones de dos parámetros u y v, definidas con las Transformación x=g(u, v) e y = h(u, v). Estando definidos los puntos (u, v) en una región S limitada por a
Dividimos el intervalo [a, b] en “n” partes iguales y el intervalo [c, d] en m partes iguales, de modo que: y y definimos las curvas reticulares r(u,v)
 y 
 r(u, d)
 r(a,v) 
 r(b,v) 
 
 r(u, c)
0 x
R
Definimos la frontera de R de modo que la curva u=a tiene como imagen la curva reticular r(a, v), u = b a r(b, v), v=c a r(u, c) y v = d a r(u, d). Luego para cada u=ui y v = vj definimos las curvas reticulares r(ui, v) e r(u, vj). Como se ilustró en el ejemplo anterior.
Definida R vamos a presentar todo el conjunto que me permite definir la integral doble:
Por definición sabemos que:
Esta integral como sabemos me da el volumen que se encuentra debajo de la superficie, en el dominio R.
b
R
Z = f(x, y)
Ahora vamos a realizar el cambio de variable, pasaremos de las variables (x, y) a las variables (u, v). 
Para esto retomamos el estudio anterior y tomamos el sub-intervalo genérico ij que define en R un parche , como se muestra en la figura y trazamos los vectores secantes a y b
En donde:
a = r(ui+Δu, vj) – r(ui, vj) y 
b = r(ui, vj+ Δv)- r(ui, vj) 
Una primera aproximación sería que el área del parche Rij
sea igual a la norma del producto axb esto es //axb//= ij
T
r(ui, vj)
 a
r(ui,vj+Δv) 
(ui, vj)
u=ui
v=vj
Rij
b
r(ui+Δu,vj) 
Por otro lado tenemos que las derivadas parciales:
Luego: (a)
Luego: (b)
De (a) y (b) se tiene que:
 
Haciendo una aproximación más tendríamos que a y b serían:
 
Luego: 
 ij 
 ij 
Dado que v son > 0
Por otro lado sabemos que: r(u, v) = (x, y,0)
Luego: 
 = k =k = 
Por tanto: ==
Como por definición sabemos que:
Como x = g(u, v) e y = h(u, v) entonces:
=
Remplazando: 
 
=
Luego la integral doble en función de (u, v) estará dada por:
 = 
EJEMPLO
Evaluar la siguiente integral donde R es la región trapezoidal de vértices (1,0), (2,0), (0,-2) y (0,-1)
Graficando la región R:
Haciendo el cambio de variables:
Determinamos la frontera de S:
Luego: 
C1
C2
C3
C4
Luego: 
Graficando tenemos que S:
S={(u, v)/ 1 ≤ v ≤ 2; -v ≤ u ≤ v }
Cálculo de las derivadas parciales:
Cálculo del Jacobiano: 
Como S={(u, v)/ 1 ≤ v ≤ 2; -v ≤ u ≤ v }
Haciendo el cambio de variables:
CAMBIO DE VARIABLES PARA INTEGRALES TRIPLES
Si tenemos la función de tres variables w = f(x, y, z) definida en un dominio E, de modo que x = g(u, v, w); y = h(u, v, w) y z = r(u, v, w), entonces el Jacobiano o factor de escala viene dada por:
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS CILINDRICAS
Algunos sólidos son difíciles de representar en coordenadas rectangulares y es preciso usar otro tipo de coordenadas.
Ecuaciones de conversión de rectangulares a cilíndricas
 
 En donde r = R es un cilindro
 θ = θ1 es un semi-plano
 z = z1 es un plano 
z
 r
z
z
y
x
En este tipo de coordenadas el sólido más sencillo es un bloque cilíndrico, vienen a ser las coordenadas polares en el espacio.
Cálculo de la integral triple en coordenadas cilíndricas:
Tenemos la transformación dada por las siguientes ecuaciones:
El cambio de variables en una integral triple viene dada por:
En nuestro caso u = r; v = θ; w = z, cálculo del Jacobiano:
Como:
Remplazando:
Luego la integral triple en coordenadas cilíndricas viene dada por:
Para ilustrar su aplicación vamos a
calcular el volumen del sólido que
se muestra en la figura en donde E
será:
E = { (r, θ, z)/ r1≤ r ≤ r2; θ1≤ θ ≤ θ2 ;
z1 ≤ z ≤ z2 }
Luego como f(x, y, z) = 1 cuando se quiere calcular el volumen, entonces f(r, θ,, z) = 1, por tanto:
EJEMPLO
Calcular el volumen del sólido que
se encuentra dentro de la esfera y
 del cilindro dados por:
Graficando tendríamos :
 
 2
 0 1 2
Vamos a definir la región E, como el sólido se encuentra dentro de un cilindro conviene usar las coordenadas cilíndricas, ya que en en coordenadas cartesianas , la región asume una forma muy compleja, como mostraremos a continuación:
Como en polares es r =2senθ
Si vemos el sólido desde eje z tenemos:
R={(r, θ) / 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ r ≤ 2sen θ}
 Mientras que z varía:
 
 r=2senθ
 R
 0 1 2 y
 
 x
En coordenadas polares será:
E={(r, θ) / 0 ≤ θ ≤ π ; 0 ≤ r ≤ 2sen θ ; }
Luego el volumen estará dado por:
INTEGRALES TRIPLES EN COORDENADAS ESFERICAS
Ecuaciones de conversión de rectangulares a cilíndricas
 φ = φ1 Semicono 
 θ = θ1 Semiplano 
 r = r1 Cilindro 
(r, θ, φ)
r
Cálculo de la integral triple en coordenadas esféricas:
Tenemos la transformación dada por las siguientes ecuaciones:
El cambio de variables en una integral triple viene dada por:
En nuestro caso u = r; v = θ; w = φ, cálculo del Jacobiano:
Como:
Determinamos las derivadas parciales:
Remplazando
Remplazando valores tenemos:
Sentido de variación de las variables
El radio varía: El ángulo φ varía: El ángulo θ varía:
 0 ≤ r ≤ R 0 ≤ φ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2π
 
 z
 0 R y
 x
 z
 
 0 φ1 y
 
 xz
 
 0 y
 θ
 x 
EJEMPLO
Hallar el volumen de la región sólida Q acotada por abajo por la hoja superior del cono y por la esfera de radio 3 y centrada en el origen
Graficando:
La esfera será: 
Interceptando con 
Tendríamos: 
En donde z = 
En el triángulo OPR rectángulo
Isósceles: φ = 
Luego la región E será:
E={(r, θ, φ)/ (r, θ)єR; 0 ≤ φ ≤ } y R={(r, θ)/ 0 ≤ r ≤ 3; 0 ≤ θ ≤ 2π}
 3 Esfera
 
 P R 
 E
Cono
 φ
 
 0 
 
 
Luego el volumen pedido estará dado por la integral que en coordenadas esféricas viene dada por:
EJEMPLO
Plantee la integral triple, en coordenadas cilíndricas, del volumen del sólido mostrado en la figura:
Del gráfico se deduce que el sólido
está limitado por las superficies:
Cilindro: 
Planos: z = 2; z = 0; x = 0; y = 0
De acuerdo a los datos la región
será:
E={(r, θ, z)/ (r, θ)єR; 0 ≤ z ≤ } y R={(r, θ)/ 0 ≤ r ≤ 3; 0 ≤ θ ≤ }
 
 z
 
 x=0
 z= 2
 Plano
 E
 y=0 0 3
 R y
 3 z=0
 Cilindro
 x
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E
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