Longitud de Camino

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Longitud de
camino
MSc Daniel G.
Camacho
Longitud de
camino
Longitud de camino
MSc Daniel G. Camacho
Universidad de Piura
Marzo 2010
Longitud de
camino
MSc Daniel G.
Camacho
Longitud de
camino
1 Longitud de camino
Longitud de
camino
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Longitud de
camino Sea f : I ⊆ < → <n un camino de clase C 1.
En el punto t0 ∈ I tenemos asociado el vector f ′(t0) ∈ <n.
El vector f ′(t0) ∈ <n nos dice en que dirección se
está moviendo el punto.
La norma del vector f ′(t0) ∈ <n nos da una estimación
numérica de la rapidez con que se está moviendo dicho
punto.
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Longitud de
camino
Ejemplo:
Sea dado el camino f : [0, 2π]→<2 dado por
f(t) = (cos t , sin t).
Recorre la cı́rcunferencia de radio uno.
Tiene por vector derivada f ′(t) = (− sin t , cos t).
Su vector derivada es distinto en todos los puntos de la
circunferencia.
Sin embargo, la rapidez con que se recorre la
circunferencia es constante, pues
‖f ′(t)‖ = 1 ∀t ∈ [0, 2π].
Longitud de
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Longitud de
camino
Pensemos en el camino f : [a, b]→<n como el punto
f(t) moviéndose por la curva descrita por f con una
rapidez ‖f ′(t)‖.
Sea constante la rapidez: ‖f ′(t)‖ = k unidades/s.
Si queremos determinar la longitud total de la curva
recorrida, calculamos
L = k(b − a) = ‖f ′(t)‖(b − a)
Longitud de
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Longitud de
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En general la rapidez varı́a con el tiempo.
En este caso
‖f ′(t)‖dt
serı́a la longitud recorrida durante dt .
La longitud total recorrida está dada por:∫ b
a
‖f ′(t)‖ dt
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Longitud de
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Longitud de camino
Definición: Longitud de camino
Sea f : [a, b] → <n un camino de clase C 1. La longitud de f
entre t = a y t = b, denotada por `(f), se define como
`(f) =
∫ b
a
‖f ′(t)‖ dt
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Longitud de
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Ejemplo:
Sea f : [0, 2π]→<3 el camino dado por f(t) = (cos t , sin t , t).
La curva que este camino describe es una espira de la hélice.
Su longitud es:
‖f ′(t)‖ = ‖(− sin t , cos t ,1)‖ =
√
sin2 t + cos2 t + 1 =
√
2
entonces,
`(f) =
∫ 2π
0
‖f ′(t)‖ dt =
∫ 2π
0
√
2 dt = 2
√
2π.
Longitud de
camino
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Longitud de
camino Dada una curva C en<2 o<3 y f : I ⊆ < → <2 o<3, un
camino que tiene por imagen a la curva C, no es cierto en
general, que la longitud de C sea la longitud del camino f .
Por ejemplo, si C es una curva cerrada y f es un camino
que recorre a C dos o más veces, la longitud de f será el
número de veces que f recorre a C multiplicado por la
longitud de C.
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Longitud de
camino
Ejemplo:
Dado el camino f : [0, 4π]→<2, definido por
f(t) = (cos t , sin t).
Éste recorre la circunferencia unitaria dos veces. La longitud
de f es:
`(f) =
∫ 4π
0
‖f ′(t)‖ =
∫ 4π
0
dt = 4π
que es el doble de la longitud de la circunferencia unitaria.
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Longitud de
camino
Sea f : [a, b]→<n un camino regular y sea
g : [c, d]→<n una reparametrización de f .
Es de esperarse que lo longitud de f entre t = a y t = b
sea igual a la longitud de g entre s = c y s = d.
f y g recorren la misma “carretera” pero de diferente
manera.
En efecto, g = f ◦ ϕ, con ϕ : [c, d]→ [a, b], es de clase
C 1, sobreyectiva y ϕ′(s) , 0∀s ∈ [c, d]. Entonces:
`(g) =
∫ d
c
‖g′(s)‖ ds =
∫ d
c
‖ϕ′(s)f ′(ϕ(s))‖ ds
=
∫ d
c
‖f ′(ϕ(s))‖ |ϕ′(s)| ds
Longitud de
camino
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Longitud de
camino
Sea f : [a, b]→<n un camino regular y sea
g : [c, d]→<n una reparametrización de f .
Es de esperarse que lo longitud de f entre t = a y t = b
sea igual a la longitud de g entre s = c y s = d.
f y g recorren la misma “carretera” pero de diferente
manera.
En efecto, g = f ◦ ϕ, con ϕ : [c, d]→ [a, b], es de clase
C 1, sobreyectiva y ϕ′(s) , 0∀s ∈ [c, d]. Entonces:
`(g) =
∫ d
c
‖g′(s)‖ ds =
∫ d
c
‖ϕ′(s)f ′(ϕ(s))‖ ds
=
∫ d
c
‖f ′(ϕ(s))‖ |ϕ′(s)| ds
Longitud de
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Longitud de
camino
Sea f : [a, b]→<n un camino regular y sea
g : [c, d]→<n una reparametrización de f .
Es de esperarse que lo longitud de f entre t = a y t = b
sea igual a la longitud de g entre s = c y s = d.
f y g recorren la misma “carretera” pero de diferente
manera.
En efecto, g = f ◦ ϕ, con ϕ : [c, d]→ [a, b], es de clase
C 1, sobreyectiva y ϕ′(s) , 0∀s ∈ [c, d]. Entonces:
`(g) =
∫ d
c
‖g′(s)‖ ds =
∫ d
c
‖ϕ′(s)f ′(ϕ(s))‖ ds
=
∫ d
c
‖f ′(ϕ(s))‖ |ϕ′(s)| ds
Longitud de
camino
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Longitud de
camino
Sea f : [a, b]→<n un camino regular y sea
g : [c, d]→<n una reparametrización de f .
Es de esperarse que lo longitud de f entre t = a y t = b
sea igual a la longitud de g entre s = c y s = d.
f y g recorren la misma “carretera” pero de diferente
manera.
En efecto, g = f ◦ ϕ, con ϕ : [c, d]→ [a, b], es de clase
C 1, sobreyectiva y ϕ′(s) , 0∀s ∈ [c, d]. Entonces:
`(g) =
∫ d
c
‖g′(s)‖ ds =
∫ d
c
‖ϕ′(s)f ′(ϕ(s))‖ ds
=
∫ d
c
‖f ′(ϕ(s))‖ |ϕ′(s)| ds
Longitud de
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Longitud de
camino Supongamos que ϕ′(s) > 0∀s ∈ [c, d], g conserva el
sentido de f .
ϕ(c) = a y ϕ(d) = b.
`(g) =
∫ d
c
‖f ′(ϕ(s))‖ϕ′(s) ds =
∫ b
a
‖f ′(t)‖ dt = `(f)
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Longitud de
camino
Supongamos que ϕ′(s) < 0∀s ∈ [c, d], g invierte el
sentido de f .
ϕ(c) = b y ϕ(d) = a.
`(g) =
∫ d
c
‖f ′(ϕ(s))‖(−ϕ′(s)) ds
= −
∫ a
b
‖f ′(t)‖ dt =
∫ b
a
‖f ′(t)‖ dt = `(f)
Longitud de
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Longitud de
camino
Ejemplo:
Consideremos la curva C en<3 que se obtiene como la
intersección de las superficies y = x2 y z = 2/3xy. Queremos
calcular la longitud de ésta desde el origen (0, 0, 0) hasta el
punto (1, 1, 2/3).
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Longitud de
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Debemos disponer de un camino f : [a, b]→<3 de clase
C 1 que tenga por imagen la curva C y que recorra a ésta
una sola vez.
Si hacemos x = t , una función vectorial que genera la
curva es:
f(t) = (t , t2,
2
3
t3).
Esta función vectorial es continua y de clase C 1.
f(0) = (0, 0, 0), f(1) = (1, 1, 2/3)
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Longitud de
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La norma de la derivada es:
‖f ′(t)‖ =
√
1 + (2t)2 + (2t2)2 =
√
1 + 4t2 + 4t4
=
√
(2t2 + 1)2 = 2t2 + 1
La longitud buscada es:
` =
∫ 1
0
‖f ′(t)‖ dt =
∫ 1
0
(2t2 + 1) dt =
2
3
+ 1 =
5
3
Longitud de
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Longitud de
camino
Ejemplo:
Considere una función ϕ : I ⊆ < → < de clase C 1. Podemos
calcular la longitud de la gráfica de ϕ entre x = a y x = b,
a, b ∈ I, por medio del camino de clase C 1 definido como
f : [a, b]→<2, f(t) = (t , ϕ(t)).
`(ϕ) =
∫ b
a
‖f ′(t)‖ dt =
∫ b
a
‖(1, ϕ′)‖ dt =
∫ b
a
√
1 + (ϕ′(t))2 dt
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