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Plano Osculador
Sebastian Sanchez Guerrero
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Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Universidad de Piura Abril 2010 Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria 1 Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal 2 Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Sea g : I →<3 un camino regular dos veces diferenciable, parametrizado por la longitud de arco. T(s) = f ′(s) es el vector tangente unitario, tangente a la curva en p = g(s). El vector g′′(s) = T ′(s) es perpendicular a T(s) = g′(s), por ser la derivada de una función vectorial de norma constante. Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Sea g : I →<3 un camino regular dos veces diferenciable, parametrizado por la longitud de arco. T(s) = f ′(s) es el vector tangente unitario, tangente a la curva en p = g(s). El vector g′′(s) = T ′(s) es perpendicular a T(s) = g′(s), por ser la derivada de una función vectorial de norma constante. Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Sea g : I →<3 un camino regular dos veces diferenciable, parametrizado por la longitud de arco. T(s) = f ′(s) es el vector tangente unitario, tangente a la curva en p = g(s). El vector g′′(s) = T ′(s) es perpendicular a T(s) = g′(s), por ser la derivada de una función vectorial de norma constante. Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Podemos definir un vector unitario con la dirección de g′′(s) de modo que g′′(s) = κ(s)N(s) donde κ(s) , 0 es la curvatura de g. en s. El vector N(s) se denomina vector normal principal de g en s. Definimos el vector B(s) = T(s) × N(s) el cual se denomina vector binormal de f en s. Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Los vectores T(s), N(s), B(s) son unitarios y mutuamente ortogonales, forman una base ortonormal. La orientación de esta base cambia de un punto a otro de la curva. Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Figura: Vectores tangente, normal principal y binormal de una curva. Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Plano osculador Los vectores T(s) y N(s) definen un plano llamado plano osculador de f en s. Un vector ortogonal al plano osculador de f en s es el vector B(s) = T(s) × N(s), llamado vector binormal de f en s. La ecuación del plano osculador en g(s) es: [x(s) − g(s)] · B(s) = 0 Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Plano osculador Los vectores T(s) y N(s) definen un plano llamado plano osculador de f en s. Un vector ortogonal al plano osculador de f en s es el vector B(s) = T(s) × N(s), llamado vector binormal de f en s. La ecuación del plano osculador en g(s) es: [x(s) − g(s)] · B(s) = 0 Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Plano osculador Los vectores T(s) y N(s) definen un plano llamado plano osculador de f en s. Un vector ortogonal al plano osculador de f en s es el vector B(s) = T(s) × N(s), llamado vector binormal de f en s. La ecuación del plano osculador en g(s) es: [x(s) − g(s)] · B(s) = 0 Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El plano cuya normal tiene la dirección de T(s) se denomina plano normal. La ecuación del plano normal en g(s) es: [x − g(s)] · T(s) = 0 Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El plano cuya normal tiene la dirección de N(s) se denomina plano rectificante. La ecuación del plano rectificante en g(s) es: [x − g(s)] · N(s) = 0 Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Recta normal, recta binormal Como ya sabemos, la recta con la dirección de T(s) es la recta tangente en g(s) y es generada por: f(t) = g(s) + tT(s). La recta con la dirección del vector N(s) se denomina recta normal en g(s) y es generada por: f(t) = g(s) + tN(s). La recta con la dirección del vector B(s) se denomina recta binormal en g(s) y es generada por: f(t) = g(s) + tB(s). Plano osculador, plano normal, plano rectificante MScDaniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Recta normal, recta binormal Como ya sabemos, la recta con la dirección de T(s) es la recta tangente en g(s) y es generada por: f(t) = g(s) + tT(s). La recta con la dirección del vector N(s) se denomina recta normal en g(s) y es generada por: f(t) = g(s) + tN(s). La recta con la dirección del vector B(s) se denomina recta binormal en g(s) y es generada por: f(t) = g(s) + tB(s). Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Recta normal, recta binormal Como ya sabemos, la recta con la dirección de T(s) es la recta tangente en g(s) y es generada por: f(t) = g(s) + tT(s). La recta con la dirección del vector N(s) se denomina recta normal en g(s) y es generada por: f(t) = g(s) + tN(s). La recta con la dirección del vector B(s) se denomina recta binormal en g(s) y es generada por: f(t) = g(s) + tB(s). Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Ejemplo: Dada la parametrización natural de la hélice g(s) = (cos s √ 2 , sin s √ 2 , s √ 2 ) Determinar las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante. Determinar también las ecuaciones de la recta tangente, normal y binormal. Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Sea dada la parametrización no natural f(t). El vector tangente unitario está dado por: T(t) = f ′(t) ‖f ′(t)‖ Con el vector f ′(t) podemos construir la ecuación del plano normal y la función que genera la recta tangente. La ecuación del plano normal en el punto f(t) es: [x − f(t)] · f ′(t) = 0 La función que genera la recta tangente en f(t) es: h(u) = f(t) + uf ′(t) Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Sea dada la parametrización no natural f(t). El vector tangente unitario está dado por: T(t) = f ′(t) ‖f ′(t)‖ Con el vector f ′(t) podemos construir la ecuación del plano normal y la función que genera la recta tangente. La ecuación del plano normal en el punto f(t) es: [x − f(t)] · f ′(t) = 0 La función que genera la recta tangente en f(t) es: h(u) = f(t) + uf ′(t) Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Sea dada la parametrización no natural f(t). El vector tangente unitario está dado por: T(t) = f ′(t) ‖f ′(t)‖ Con el vector f ′(t) podemos construir la ecuación del plano normal y la función que genera la recta tangente. La ecuación del plano normal en el punto f(t) es: [x − f(t)] · f ′(t) = 0 La función que genera la recta tangente en f(t) es: h(u) = f(t) + uf ′(t) Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Sea dada la parametrización no natural f(t). El vector tangente unitario está dado por: T(t) = f ′(t) ‖f ′(t)‖ Con el vector f ′(t) podemos construir la ecuación del plano normal y la función que genera la recta tangente. La ecuación del plano normal en el punto f(t) es: [x − f(t)] · f ′(t) = 0 La función que genera la recta tangente en f(t) es: h(u) = f(t) + uf ′(t) Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Sea dada la parametrización no natural f(t). El vector tangente unitario está dado por: T(t) = f ′(t) ‖f ′(t)‖ Con el vector f ′(t) podemos construir la ecuación del plano normal y la función que genera la recta tangente. La ecuación del plano normal en el punto f(t) es: [x − f(t)] · f ′(t) = 0 La función que genera la recta tangente en f(t) es: h(u) = f(t) + uf ′(t) Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El vector f ′′(t) está en el plano osculador ya que se puede escribir como una combinación lineal de T(s) y N(s). El vector f ′(t) × f ′′(t) es paralelo al vector binormal. Con este vector f ′(t) × f ′′(t) podemos construir la ecuación del plano osculador y la función que genere la recta binormal. Ecuación del plano osculador en f(t) es [x − f(t)] · [f ′(t) × f ′′(t)] = 0. La función que genera la recta binormal en f(t) es h(u) = f(t) + u[f ′(t) × f ′′(t)] Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El vector f ′′(t) está en el plano osculador ya que se puede escribir como una combinación lineal de T(s) y N(s). El vector f ′(t) × f ′′(t) es paralelo al vector binormal. Con este vector f ′(t) × f ′′(t) podemos construir la ecuación del plano osculador y la función que genere la recta binormal. Ecuación del plano osculador en f(t) es [x − f(t)] · [f ′(t) × f ′′(t)] = 0. La función que genera la recta binormal en f(t) es h(u) = f(t) + u[f ′(t) × f ′′(t)] Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El vector f ′′(t) está en el plano osculador ya que se puede escribir como una combinación lineal de T(s) y N(s). El vector f ′(t) × f ′′(t) es paralelo al vector binormal. Con este vector f ′(t) × f ′′(t) podemos construir la ecuación del plano osculador y la función que genere la recta binormal. Ecuación del plano osculador en f(t) es [x − f(t)] · [f ′(t) × f ′′(t)] = 0. La función que genera la recta binormal en f(t) es h(u) = f(t) + u[f ′(t) × f ′′(t)] Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Planoosculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El vector f ′′(t) está en el plano osculador ya que se puede escribir como una combinación lineal de T(s) y N(s). El vector f ′(t) × f ′′(t) es paralelo al vector binormal. Con este vector f ′(t) × f ′′(t) podemos construir la ecuación del plano osculador y la función que genere la recta binormal. Ecuación del plano osculador en f(t) es [x − f(t)] · [f ′(t) × f ′′(t)] = 0. La función que genera la recta binormal en f(t) es h(u) = f(t) + u[f ′(t) × f ′′(t)] Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El vector f ′′(t) está en el plano osculador ya que se puede escribir como una combinación lineal de T(s) y N(s). El vector f ′(t) × f ′′(t) es paralelo al vector binormal. Con este vector f ′(t) × f ′′(t) podemos construir la ecuación del plano osculador y la función que genere la recta binormal. Ecuación del plano osculador en f(t) es [x − f(t)] · [f ′(t) × f ′′(t)] = 0. La función que genera la recta binormal en f(t) es h(u) = f(t) + u[f ′(t) × f ′′(t)] Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El vector (f ′(t) × f ′′(t)) × f ′(t) tiene la dirección del vector normal principal N(t). Con este vector podemos construir la ecuación del plano rectificante y la función que genera la recta normal. Ecuación del plano rectificante en f(t) es [x − f(t)] · [f ′(t) × (f ′(t) × f ′′(t))] = 0. La función que genera la recta normal en f(t) es h(u) = f(t) + u[f ′(t) × (f ′(t) × f ′′(t))] Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El vector (f ′(t) × f ′′(t)) × f ′(t) tiene la dirección del vector normal principal N(t). Con este vector podemos construir la ecuación del plano rectificante y la función que genera la recta normal. Ecuación del plano rectificante en f(t) es [x − f(t)] · [f ′(t) × (f ′(t) × f ′′(t))] = 0. La función que genera la recta normal en f(t) es h(u) = f(t) + u[f ′(t) × (f ′(t) × f ′′(t))] Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El vector (f ′(t) × f ′′(t)) × f ′(t) tiene la dirección del vector normal principal N(t). Con este vector podemos construir la ecuación del plano rectificante y la función que genera la recta normal. Ecuación del plano rectificante en f(t) es [x − f(t)] · [f ′(t) × (f ′(t) × f ′′(t))] = 0. La función que genera la recta normal en f(t) es h(u) = f(t) + u[f ′(t) × (f ′(t) × f ′′(t))] Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria El vector (f ′(t) × f ′′(t)) × f ′(t) tiene la dirección del vector normal principal N(t). Con este vector podemos construir la ecuación del plano rectificante y la función que genera la recta normal. Ecuación del plano rectificante en f(t) es [x − f(t)] · [f ′(t) × (f ′(t) × f ′′(t))] = 0. La función que genera la recta normal en f(t) es h(u) = f(t) + u[f ′(t) × (f ′(t) × f ′′(t))] Plano osculador, plano normal, plano rectificante MSc Daniel G. Camacho Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria Ejemplo: Considere el camino f(t) = (t , t2, t3). Determinar las ecuaciones de los planos osculador, normal y rectificante, ası́ como las funciones que generan las rectas tangente, normal y binormal a la curva descrita por f en el punto p = f(2) = (2, 4, 8). Plano osculador, normal y rectificante Vector normal principal, vector binormal Plano osculador Plano normal Plano rectificante Recta normal, recta binormal Vectores tangente, normal principal y binormal a partir de una parametrización arbitraria
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