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Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales
Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM
28 de junio de 2011
Índice
21.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
21.2. Producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
21.3. Propiedades del producto interno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
21.4. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
21.5. Distancia entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
21.6. Vectores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
21.7. Conjunto ortogonal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
21.8. Ortogonalidad e independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21.9. Ortogonalidad y bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21.10.Ortogonalidad y descomposición de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
21.11.Conjunto ortonormal de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
21.12.Matriz ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
21.1. Introducción
En esta lectura veremos conjuntos y matrices ortogonales. Primero veremos algunas definiciones alternativas
a los productos internos.
21.2. Producto interno
Un producto interno en un espacio vectorial es una función • : V × V → F , donde F es el conjunto de los
escalares utilizados (F = R ó F = C), y que tiene que cumplir los siguientes axiomas: Para todos los vectores
x, y y z de V y para todo escalar c de F
1. (x+ y) • z = x • z+ y • z es decir, se distribuye a la izquierda.
2. (c · x) • y = c (xy) es decir, los factores escalares a la izquierda pueden salir.
3. x • y = y • x.
4. x • x > 0 para todo x 6= 0.
En el axioma 3, la ĺınea horizontal encima de una expresión indica que se debe tomar el conjugado complejo:
El conjugado comple de un número se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. Aśı
3 + 3 i = 3− 3 i
5 = 5 + 0 i = 5− 0 i = 5, es decir: el conjugado de un real es él mismo.
−3 i = 0− 3 i = 0 + 3 i = 3 i
Figura 1: El producto interno estándar de Rn en la TI.
Daremos sin comprobación algunos ejemplos de productos internos en los espacios vectoriales que nos ocupan.
Ejemplo 21.1
Si V = Rn y x = (xi) y y = (yi) el producto punto estándar • es:
x • y =
n
∑
i=1
xi · yi
Si n = 3, x =< 1, 2,−1 > y y =< 1,−1, 3 >, entonces
x • y = (1)(1) + (2)(−1) + (−1)(3) = −4
Observe que el producto interno estándar en Rn concide con una operación entre matrices:
x • y = xT · y
Aqúı los vectores x y y se consideran como una matrices n × 1; aśı xT quedará una matriz 1 × n y al hacer
el producto matricial con y quedará una matriz 1× 1 que será un escalar. Este ejemplo puede realizarse en la
calculadora TI utilizando la función dotP ya programada como se ilustra en la figura 1.
Ejemplo 21.2
Mientras que si V = Cn con escalares C el producto punto estándar • es
x • y =
n
∑
i=1
xi · yi
Si n = 3, x =< 1, 2 + 2 i,−i > y y =< 1,−1 + i, 3 i >, entonces
x • y = (1)(1) + (2 + 2 i)(−1 + i) + (−i)(3 i)
= (1)(1) + (2 + 2 i)(−1− i) + (−i)(−3 i)
= 1− 2− 2 i− 2 i− 2 i2 + 3 i2
= −1− 4 i+ i2
= −1− 4 i+ (−1)
= −2− 4 i
Es importante comentar que este producto interno estándar en Cn esta implementado en la calculadora TI
y coincide con el producto estándar en Rn. Esto se ilustra en la figura 2. Note la diferencia entre el número
imaginario i y el śımbolo i en su calculadora; en la voyage 200 i se obtiene con la combinación 2ND i
mientras que en la TI 89 con la combinación 2ND catalog . No notar la diferencia le puede traer verdaderos
dolores de cabeza.
2
Figura 2: El producto interno estándar de Cn en la TI.
Ejemplo 21.3
Si V = C [a, b] es el conjunto de las funciones continuas de valor real el producto interno estándar es:
f • g =
∫ b
a
f(t) · g(t) dt
Si [a, b] = [0, 1], f(x) = x+ 1 y g(x) = x2 − 1 entonces
f • g =
∫
1
0
(x+ 1) · (x2 − 1) dx
=
∫
1
0
(x3 + x2 − x− 1) dx
= −11/12
Ejemplo 21.4
Si Si V = C [0, 2π] es el conjunto de las funciones continuas complejas un producto interno es:
f • g = 1
2π
∫
2π
0
f(t) · g(t) dt
Ejemplo 21.5
Si Mn×m es el conjunto de las matrices reales con n renglones y m columnas el producto interno estándar es:
A •B = tr
(
B′ ·A
)
donde B′ representa la transpuesta de la matriz B y tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X que
es la suma de los elementos de la diagonal. Por ejemplo, si
A =
[
1 2 3
−1 2 −3
]
y B =
[
1 −2 3
0 2 −3
]
Entonces
BT ·A =


1 0
−2 2
3 −3


[
1 2 3
−1 2 −3
]
=


1 2 3
−4 0 −12
6 0 18


y por tanto
A •B = tr




1 2 3
−4 0 −12
6 0 18



 = 1 + 0 + 18 = 19
Para realizar esto en la calculadora TI debemos programar la función traza puesto que en la configuración
inicial no viene tal función. Una implementación posible para esta función viene ilustrada en la figura 3. Una
vez programada la función traza, la figura 4 ilustra el cálculo del producto interno de dos matrices.
3
Figura 3: Programando la función traza en la TI.
Figura 4: Producto interno estándar de Mn×m(R) en la TI.
Ejemplo 21.6
Si Mn×m es el conjunto de las matrices complejas con n renglones y m columnas el producto interno estándar
es:
A •B = tr (B∗ ·A)
donde B∗ representa la adjunta de la matriz B es decir la transpuesta conjugada o también conocida como
transpuesta hermitiana, a veces también se utiliza la notación BH para la matriz conjugada compleja de B.
Aqúı tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal.
Por ejemplo, si
A =
[
1 + i 2− 3 i i
−1 2− i −3 i
]
y B =
[
1 + 2 i −2 3
0 2 i −3 + i
]
y aśı
A∗ =


1− i −1
2 + 3 i 2 + i
−i 3 i


y por tanto
A∗ ·B =


3 + i −2 6− 4 i
−4 + 7 i −6− 2 i −1 + 8 i
2− i −6 + 2 i −3− 12 i


de donde
B •A = (3 + i) + (−6− 2 i) + (−3− 12 i) = −6− 13 i
Es importante comentar que la transpuesta conjugada de una matriz en Maple se obtiene como el comando
htranspose, por el nombre alternativo de transpuesta hermitiana. Por otro lado, en la calculadora TI la
transpuesta siempre representa la transpuesta hermitiana de una matriz. Esto se puede ejemplificar repitiendo
los cálculos del ejemplo como se ilustra en la figura 5.
4
Figura 5: Producto interno estándar de Mn×m(C) en la TI.
21.3. Propiedades del producto interno
Propiedades que satisfacen todos los productos internos:
Teorema
Sea V es espacio vectorial con producto interno •, x, y y z vectores de V y c un escalar:
1. x • (y + z) = x • y + x • x
2. x • (c · y) = c · (x • y)
3. x • x = 0 si y sólo si x = 0.
4. x • y = 0 si y sólo si y • x = 0.
5. Si ∀x ∈ V se cumple x • y = x • x, entonces y = z.
21.4. Norma de un vector
Teniendo definido un producto interno, el siguiente paso es definir una norma o longitud de vectores.
Definición 21.1
Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para todo vector x de definimos la norma o longitud de x
como
‖x‖ =
√
x • x
Propiedades que se deducen de la norma:
Teorema
1. ‖cx‖ = |c| · ‖x‖
2. ‖x‖ = 0 si y sólo si x = 0. En cualquier caso, x ≥ 0.
3. Desigaldad de Cauchy-Schwarz: |x • y| ≤ ‖x‖ · ‖y‖.
4. Desigualdad del triángulo: ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖.
21.5. Distancia entre dos vectores
Ahora, habiendo definido la magnitud de un vector es posible definir una distancia en un espacio vectorial.
Definición 21.2
Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para cualesquier dos vectores x y y definimos la distancia
de x a y como
d(x,y) = ‖x− y‖
Propiedades que se deducen de la función distancia:
Teorema
5
1. d(x,y) = d(y,x) es decir, la distancia medida desdex a y es la misma que la distancia
medida desde y a x.
2. d(x,y) = 0 si y sólo si x = y es decir, si la distancia entre dos puntos es cero entonces los
puntos son iguales.
3. Desigualdad del triángulo: d(x,y) ≤ d(x, z) + d(z,y)
21.6. Vectores ortogonales
Definición 21.3
Dos vectores x y y en Rn se dicen ortogonales si x • y = 0. Si esto pasa se expresará como x ⊥ y.
Ejemplo 21.7
Indique si los vectores x =< 1, 0, 2 > y y =< −2, 2, 1 > son ortogonales. Directamente de la definición:
requerimos hacer
x • y = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = −2 + 0 + 2 = 0
Por tanto, x ⊥ y.
Ejemplo 21.8
Determine el valor del parámetro a para que x =< 1, 1, 2 > y y =< −3, a, 1 > sean ortogonales. Directamente
de la definición: requerimos hacer
x • y = (1)(−3) + (1)(a) + (2)(1) = −3 + a+ 2 = a− 1
Por tanto, x ⊥ y si y sólo si x • y = 0 si y sólo si a = 1.
21.7. Conjunto ortogonal de vectores
Definición 21.4
Un conjunto de vectores {v1,v2, . . . ,vm} se dice conjunto ortogonal o simplemente ortogonal si se cumple
vi • vj = 0 para i 6= j y i, j = 1, . . . ,m (1)
Ejemplo 21.9
Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal
v1 =


1
0
2

 , v2 =


−2
2
1

 , v3 =


−2
−5/2
1


Solución
Calculando todos los productos punto entre vectores diferentes tenemos
v1 • v2 = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = 0
v1 • v3 = (1)(−2) + (0)(−5/2) + (2)(1) = 0
v2 • v3 = (−2)(−2) + (2)(−5/2) + (1)(1) = 0
aśı concluimos que es conjunto es ortogonal.
6
21.8. Ortogonalidad e independencia lineal
Teorema
Cualquier conjunto ortogonal S = {v1, ....,vk} de vectores distintos de cero es linealmente inde-
pendiente.
Demostración: Si suponemos que
c1 v1 + c2 v2 + · · ·+ ck vk = 0
Entonces, haciendo producto punto por vi obtenemos que:
c1 v1 • vi + c2 v2 • vi + · · ·+ ck vk • vi = 0 • vi
Observe que siendo el conjunto ortogonal todos los productos punto en el lado izquierdo se hacen cero, excepto
uno: el correponiente a vi •vi. Mientras que en el segundo miembro el producto punto al ser uno de los vetores
cero queda cero. Aśı lo anterior se resume a:
civi • vi = 0
como vi • vi 6= 0 al ser todos los vectores vi diferentes del vector cero, concluimos que ci = 0.
21.9. Ortogonalidad y bases
Teorema
Cualquier conjunto generador ortogonal S = {v1, ....,vk} de vectores distintos de cero es base
para Gen(S).
Demostración: Por definición de Gen(S), S genera a Gen(S); y por el teorema anterior S es linealmente
independiente. Por tanto, S es base para Gen(S).
21.10. Ortogonalidad y descomposición de un vector
Teorema
Sea S = {v1, ...,vk} un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero. Si u está en Gen(S) y
u = c1 v1 + · · ·+ ck vk
entonces
ci =
u • vi
vi • vi
para i = 1, . . . , k
A las expresiones u • vi/vi • vi se les llama los coeficientes de Fourier de u respecto a S.
Demostración: Si
u = c1 v1 + · · ·+ ck vk
haciendo el producto punto con vi y considerando la ortogonalidad obtenemos:
u • vi = ci vi • vi
Al ser los vectores vi 6= 0, se tiene que vi • vi 6= 0 y por tanto se tiene:
ci =
u • vi
vi • vi
7
Nota:
Lo importante del teorema anterior es indica que para bases ortonormales no es necesario resolver sistemas
de ecuaciones lineales para determinar los coeficientes de cada vector es suficientes calcular los coeficientes de
Fourier.
Ejemplo 21.10
Utilizando el conjunto ortogonal S del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1, 2, 3)′, determine los
coeficientes de Fourier u respecto a S y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistema
de ecuaciones lineales correspondientes.
Solución: Calculemos
u • v1 = (1)(1) + (2)(0) + (3)(2) = 7
u • v2 = (1)(−2) + (2)(2) + (3)(1) = 5
u • v3 = (1)(−2) + (2)(−5/2) + (3)(1) = −4
v1 • v1 = (1)(1) + (0)(0) + (2)(2) = 5
v2 • v2 = (−2)(−2) + (2)(2) + (1)(1) = 9
v3 • v3 = (−2)(−2) + (−5/2)(−5/2) + (1)(1) = 45/4
y al aplicar las fórmulas obtenermos:
c1 = 7/5, c2 = 5/9, c3 = −16/45
Si por otro lado armamos la matriz aumentada [v1,v2,v3|u] y la reducimos:


1 −2 −2 1
0 2 −5/2 2
2 1 1 3

 →


1 0 0 7/5
0 1 0 5/9
0 0 1 −16/45


de donde observamos que los valores de las constantes ci coinciden con los valores dados por los coeficientes
de Fourier.
21.11. Conjunto ortonormal de vectores
Definición 21.5
Un conjunto de vectores {v1,v2, . . . ,vm} se dice conjunto ortonormal o simplemente ortonormal si se cumple
vi • vj = 0 para i 6= j y vi • vi = 1 para i, j = 1, . . . ,m (2)
Note que en caso de una base ortonormal S para un espacio las fórmulas de Fourier para un u simplifican
a ci = u • vi, por ello es que es deseable tener una base ortonormal a un espacio. Si ya se posee una base
ortogonal dividiendo cada vector entre su norma se obtiene una ortonormal:
{v1, . . . ,vm} ortogonal →
{
1
||v1||
v1, . . . ,
1
||vm||
vm
}
ortonormal (3)
Ejemplo 21.11
Ortonormalize el conjunto ortogonal ejemplo de esta lectura:
v1 =


1
0
2

 , v2 =


−2
2
1

 , v3 =


−2
−5/2
1


8
Solución: Tenemos ya realizados los siguientes cálculos
v1 • v1 = 5 → ||v1|| =
√
5
v2 • v2 = 9 → ||v1|| = 3
v3 • v3 = 45/4 → ||v1|| =
√
45/2
Por tanto, el conjunto ortonormalizado queda
1√
5


1
0
2

 ,
1
3


−2
2
1

 ,
2√
45


−2
−5/2
1


21.12. Matriz ortogonal
Definición 21.6
Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas de
A forman un conjunto ortonormal.
Teorema
A n× n: A es ortogonal ssi AT ·A = I.
Observe que el teorema anterior se deduce de que para dos vectores x y y en Rn, x • y = x′ · y:





x1
x2
...
xn





•





y1
y2
...
yn





= x1 · y1 + · · ·+ xn · yn =
[
x1 x2 · · · xn
]
·





y1
y2
...
yn





Con lo anterior se deduce que cuando se hace AT ·v se calcula un vector donde cada componente es el producto
punto de la columna correspondiente de A con el vector v. Con lo anterior se deduce que cuando se calcula
AT ·A la matriz resultante tiene en la posición (i, j) justo ai • aj es decir, el producto punto de la columna
i de A con la columna j de A. De esta forma: AT · A = I si y sólo si se tiene que las columnas de A son
ortogonales y que tienen norma 1.
Con la observación anterior presente podemos hacer el ejemplo 1 más fácilmente.
Ejemplo 21.12
Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal
v1 =


1
0
2

 , v2 =


−2
2
1

 , v3 =


−2
−5/2
1


Solución
Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:
A = [v1 v2 v3] =


1 −2 −2
0 2 −5/2
2 1 1


Y calculamos AT ·A:
AT ·A =


5 0 0
0 9 0
0 0 45/4


9
que sean cero los elementos que están fuera de la diagonal principal indica que el conjunto es ortogonal.
Ejemplo 21.13
Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores



v1 =


4
6
z

 , v2 =


x
6
4

 , v3 =


2
y
3





sea ortogonal.
Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:
A = [v1 v2 v3] =


4 x 2
6 6 y
z 4 3


Y calculamos AT ·A:
AT ·A =


52 + z2 4x+ 36 + 4 z 8 + 6 y + 3 z
4x+ 36 + 4 z x2 + 52 2x+ 6 y + 12
8 + 6 y + 3 z 2x+ 6 y + 12 13 + y2


Por tanto, para que el conjunto se ortogonal debe cumplirse que:
4x+ 36 + 4 z = 0
8 + 6 y + 3 z = 0
2x+ 6 y + 12 = 0
de donde, los únicos valores que hacen ortogonal al conjunto son x = −31/5, y = 1/15 y z = −14/5
Ejemplo 21.14
Determine el vector de coordenadas de v =< 2, 2,−4 > respecto a la base ortonormal
B =



u1 =


1/3
2/3
2/3

 , u2 =


2/3
−2/3
1/3

 , u3 =


2/3
1/3
−2/3





Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinación
lineal de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinación lineal
son los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementosde la
base. Verifiquemos primero que el conjunto es ortonormal. Para ello, formamos la matriz A cuyas columnas
son los vectores de B:
A = [u1 u2 u3] =


1/3 2/3 2/3
2/3 −2/3 1/3
2/3 1/3 −2/3


y calculamos AT ·A:
AT ·A =


1 0 0
0 1 0
0 0 1


Por tanto, dando la matriz diagonal el conjunto es ortogonal; dando la identidad el conjunto es ortonormal.
Para calcular los productos punto de los elemento de B con v recurrimos al producto:
ATv =


1/3 2/3 2/3
2/3 −2/3 1/3
2/3 1/3 −2/3

 ·


2
2
−4

 =


−2/3
−4/3
14/3


10
Por tanto, c1 = v • u1 = −2/3, c2 = v • u2 = −4/3, y c3 = v • u3 = 14/3 y el vector de coordenadas de v
respecto a la base B es < −2/3,−4/3, 14/3 >.
Teorema
Sea A una matriz n× n, y u y v dos vectores en Rn. Entonces
(Au) • v = u •
(
ATv
)
Demostración
(Au) • v = (Au)Tv
=
(
uTAT
)
v
= uT
(
ATv
)
= u •
(
ATv
)
Teorema
Sea A una matriz n× n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:
(1) A es ortogonal.
(2) A preserva los productos punto:
(Au) • (Au) = u • v ∀u,v
(3) A preserva norma:
||Av|| = ||v|| ∀v
Demostración
(1) implica (2)
Si A es ortogonal, ATA = I. Aśı
(Au) • (Av) = (Au)T ·Av = uTAT ·Av = uT · (AT ·A)v = uT · I · v = uT · v = u • v
(2) implica (3)
Se tiene
||Av||2 = (Av) • (Av)
= v • v = ||v||2
tomando ráız cuadrada se tiene la igualdad de (3).
(3) implica (1)
11
	Introducción
	Producto interno
	Propiedades del producto interno
	Norma de un vector
	Distancia entre dos vectores
	Vectores ortogonales
	Conjunto ortogonal de vectores
	Ortogonalidad e independencia lineal
	Ortogonalidad y bases
	Ortogonalidad y descomposición de un vector
	Conjunto ortonormal de vectores
	Matriz ortogonal