Apuntes de algebra superior_2

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ACTIVIDAD ·1 28/09/2020 
MATERIA: ALGEBRA SUPERIOR 
“NUMEROS REALES” 
1. NUMEROS NATURALES. 
A los números que utilizamos para contar la cantidad de elementos de un conjunto no 
vacío se los denomina números naturales. Designamos con la letra N al conjunto de dichos 
números. 
 N = {1,2,3,4,5...} 
a. AXIOMAS DE PEANO. 
A fines del siglo XIX, Giuseppe Peano dio una definición axiomática de los números 
naturales. La clave de la definición de Peano es la noción de sucesor: todo número 
natural tiene un sucesor, que se obtiene sumándole 1. Para entender los axiomas 
de Peano, observemos que el conjunto IN cumple las siguientes propiedades: 
• El 1 es el único número natural que no es sucesor de ningún número natural. 
• Si a y b son dos números naturales distintos, el sucesor de a es distinto del sucesor 
de b. 
• Si K es un subconjunto de N tal que 1 ∈ K y vale que el sucesor de cualquier 
elemento de K también está en K, entonces K = N. 
Peano descubrió que estas propiedades alcanzan para definir a los números 
naturales, en el sentido de que cualquier conjunto con una función sucesor que 
satisfaga las 3 propiedades anteriores es “equivalente” al conjunto de números 
naturales. 
 
2. NUMEROS ENTEROS. 
Se le denominan números enteros a la unión de los conjuntos de números naturales (N), el 
cero y los naturales negativos. 
 Simbólicamente: Z = N ∪ {0} ∪ -N 
Analizando los números naturales captamos que sirven para contar. Sin embargo, hay 
situaciones que para ser descriptas correctamente requieren de otro tipo de números. Los 
números enteros negativos se usan en diversos contextos, por ejemplo, para expresar o 
calcular: 
• En geografía, profundidades o diferencias de altura: La capa más superficial de la 
estructura de la Tierra, llamada corteza terrestre, llega hasta los -30 km en el fondo 
oceánico. 
•Temperaturas bajo cero: el día más frío del año 2008 en Ushuaia fue el 16 de agosto, con 
una temperatura mínima de -5°C y una temperatura máxima de 7°C. 
 
3. NUMEROS RACIONALES E IRRACIONALES. 
a. RACIONALES. 
Se llama número racional al que puede expresarse como fracción de números 
enteros. 
 Q = {a/b, b ∈ Z; b = 0 } 
b. IRRACIONALES. 
Los números irracionales, al contrario que los racionales, no pueden expresarse 
como cociente de números enteros, luego no pueden ser ni decimales exactos ni 
periódicos. Por tanto, los definimos como: 
“El conjunto de números cuya expresión decimal tiene infinitas cifras decimales no 
periódicas”. Dicho conjunto se designa con la letra I. 
 Ejemplos de números irracionales: π ...e, √4 
 
4. RELACIÓN DE ORDEN Y REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA. 
a. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA. 
La representación geométrica de los números naturales se hace por medio de 
segmentos de recta de igual medida. 
 
 
 
 
 
b. ORDEN DE LOS NATURALES. 
En el conjunto de los números naturales se establecen relaciones de orden que 
pueden visualizarse a través de la semirrecta numérica: 
 
 
 
5. VALOR ABSOLUTO. 
El valor absoluto de un número real sea positivo o sea negativo siempre será el mismo, por 
ejemplo: si tenemos |-9| su valor absoluto es = 9, de igual forma si tenemos |9| su valor 
absoluto es = 9 a continuación se define con “x”, se define como: 
 
 
6. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES. 
a. DESIGUALDADES. 
Una desigualdad es una expresión matemática que sirve para representar que cierta 
cantidad es mayor o menor que otra. La desigualdad siempre contiene alguno de 
los conceptos, menor que, mayor que, menor o igual que, mayor o igual que, sus 
propiedades son: 
• 1 Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un mismo número 
se obtiene otra desigualdad del mismo sentido. 
 
• 2 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número 
positivo se obtiene otra desigualdad equivalente a la primera. 
 
• 3 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican o dividen por un número 
negativo la desigualdad cambia de sentido. 
 
 
 
 
 
 
 
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS DE LIBROS CONSULTADOS: 
*Chavez, C. y Leon, A. (2001). La Biblia de las Matematicas. (52a ed.). D.F., Mexico.: Letrarte, S.A.. 
*Diaz, P. (2007). Numeros Reales y Fundamentos de Algebra. Monterrey, Mexico.: SEIM, S.A.. 
*Chapov, O. (2009). Matematicas Unidad 1: Numeros Reales. (2a ed.). Puebla, Mexico.: Seminario 
Universitario. 
*Graña, M., Jeronimo, G., Pacetti, A., Jancsa, A. y Petrovich, A. (2010). LOS NUMEROS DE LOS 
NATURALES A LOS COMPUESTOS. (9a ed.). Autonoma de Buenos Aires, Argentina: Biblioteca Argentina..