Cálculo_Diferencial_La_derivada_y_aplicaciones

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Cálculo diferencial
Prof. Angelo Flores
Matemática
UNMSM
( Math )
LA DERIVADA
1. Calcule la derivada de la función y = (x2 − 1)3
SOLUCIÓN:Aplicamos la regla de la cadena. Sean las funciones
u = x2 − 1, y = u3.
Si ,
y = u3 → dy
du
= 3u2
Como
u = x2 − 1 → du
dx
= 2x
Luego,
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= 3u22x
dy
dx
=
dy
du
du
dx
= 3(x2 − 1)22x
( Math )
2. Sea f(x) = x2 − 2x+ 3. Determine la ecuación de la recta normal
que pasa por el punto (2,3).
SOLUCIÓN:
Paso 1:Determine la derivada: f(x)′ = 2x− 2
Paso 2:Calculamos la derivada en x=2.
f(2)′ = 2 → mT = 2 → mN = −
1
2
Por lo tanto, la ecuación de la recta normal es la siguiente:
LN : (y − 3) = mN (x− 2)
LN : (y − 3) = −
1
2
(x− 2)
LN : y − 3 = −
x
2
+ 1
( Math )
APLICACIONES DE LA DERIVADA
1. Determine los extremos relativos , intervalos de crecimiento y
decrecimiento de la función f empleando el criterio de la primera
derivada.
f(x) =
ln(x2)
x3
SOLUCIÓN:
Paso 1: Calcularemos la derivada de la función.Para ello, nos necetaremos
la siguiente regla.
(f(x))′ = (
g(x)
h(x)
)′ =
g′h− h′g
g2
(f(x))′ = (
ln(x2)
x3
)′ =
(ln(x2))′x3 − (x3)′ln(x2)
((x3)2)
(f(x))′ =
1
x2
2xx3 − 3x2ln(x2)
(x6)
( Math )
Paso 2: Calcular puntos críticos (Son aquellos donde f ′(x) = 0 o donde
la derivada no existe).
(f(x))′ =
2x2 − 3x2ln(x2)
(x6)
= 0
(f(x))′ =
x2(2− 3ln(x2))
(x6)
= 0, x ̸= 0
(f(x))′ =
2− 3ln(x2)
(x4)
= 0, x ̸= 0
Entonces,
2− 3ln(x2) = 0, x4 ̸= 0
Luego,
2− 3ln(x2) = 0 → 2 = 3ln(x2) → 2
3
= ln(x2)
→ ϵ
2
3 = ϵln(x
2) → ϵ
2
3 = x2
( Math )
x2 − ϵ
2
3 = 0 → (x− ϵ
1
3 )(x+ ϵ
1
3 ) = 0
→ x = ϵ
1
3 ∨ x = −ϵ
1
3
Por lo tanto, se tienen los siguientes puntos críticos:
{x1 = −ϵ
1
3 , x2 = 0, x3 = ϵ
1
3 }
Paso 3: Determinamos los intervalos de crecimiento (f ′(x) > 0) y
decrecimiento (f ′(x) < 0).
Ahora bien, analizamos qué sucede en puntos muy cercanos a x1:
*Sea x ∈ (−∞, x1), se tiene que para x = −2 la función f ′(−2) < 0
*Sea x ∈ (x1, x2), se tiene que para x = −1 la función f ′(−1) > 0
Ahora , analizamos qué sucede en puntos muy cercanos a x2:
*Sea x ∈ (x1, x2), se tiene que para x = −1 la función f ′(−1) > 0
*Sea x ∈ (x2, x3), se tiene que para x = 1 la función f ′(1) > 0
Finalmente , analizamos qué sucede en puntos muy cercanos a x3:
*Sea x ∈ (x2, x3), se tiene que para x = 1 la función f ′(1) > 0
*Sea x ∈ (x3,+∞), se tiene que para x = 2 la función f ′(2) < 0
( Math )
Paso 4: Determinamos los extremos relativos por el criterio de la primera
derivada.
* Si cambia de + a - es máximo, entonces x3 es máximo.
* Si cambia de - a + es mínimo, entonces x1 es mínimo
* Si no cambia, no es máximo ni mínimo.
( Math )