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Desplazamiento eléctrico y polarización
Esteban Ghioldi y Claudio Gazza
5 de Mayo de 2020
Desplazamiento eléctrico
En general, se tiene resolver el siguiente sistema de ecuaciones
∇ ·D = ρf ; ∇× E = 0 ; D = ε0E+P (1)
más las condiciones de contorno. Las dos primeras ecuaciones son parte de la ecuaciones de Maxwell
más generales, y la tercera es la ecuación constitutiva que vincula D y E.
En estos casos sigue siendo válido que el campo eléctrico puede obtenerse como E = −∇φ (dado
que ∇× E = 0), donde el potencial eléctrico φ cumple
∇2φ = ρf −∇ ·P
ε0
(2)
Todos los problemas deben ser resueltos a partir de estas ecuaciones. Sin embargo, si el medio es
l.i.h, es decir que D = εE, entonces el despalzamiento eléctrico es irrotacional, pues
∇×D = ∇×
(
1
ε
E
)
=
1
ε
∇× E = 0. (3)
Esto permite expresar al desplazamiento eléctrico como D = −∇ψ, donde de la primera ecuación de
Maxwell se puede obtener ∇2ψ = −ρf . No hay que confundir con el potencial eléctrico φ, de hecho
tienen diferentes unidades. En estas situaciones (∇×D = 0), vamos a poder hacer uso de los métodos
que hemos empleado para los sistemas sin medios materiales. En estos casos es válida la siguiente
solución
D(r) =
1
4π
∫
V
ρf (r
′)
r− r′
|r− r′|3
dv′ , (4)
donde el integrando es de la forma f(r)r̂, lo que implica que su rotacional es nulo, ∇×D = 0. Como
menciona Gri�ths en la sección 4.3.2 A Deceptive Parallel, esta solución no es válida si ∇× P ̸= 0.
Es importante tener en cuenta que incluso cuando están presentes varios medios l.i.h., la condición
∇ × D = 0 no se cumple para un punto en la interfaz, ya que hay un cambio abrupto (función de
Heaviside) de la permitividad dieléctrica. Esto implica que no habrá continuidad de la componente
tangencial a la interfaz (D1t ̸= D1t).
Por último, como menciona Gri�ths en esa sección, cuando hay simetría esférica, cilíndrica o
plana, se tiene que ∇ × P = 0. Por ejemplo, un problema con simetría esférica implica que la
polarización sólo tiene componente radial y puede depender únicamente de r, esto es P(r) = P (r)r̂,
lo cual cumple que ∇×P = 0.
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Rotor de f(r)r̂
Veamos que cualquier campo vectorial de la forma f(r)r̂ tiene rotor nulo. Para esto, observemos que
el campo vectorial f(r)r̂ puede obtenerse a partir del gradiente de una función escalar φ(r),
f(r)r̂ = ∇φ(r) = ∂φ
∂r
r̂ , (5)
siendo f(r) = ∂φ
∂r
. Si ahora calculamos el rotor,
∇× f(r)r̂ = ∇×∇φ(r) = 0. (6)
En particular, para f(r)r̂ = r̂
r2
, donde φ(r) = −1
r
. Para esto fue necesario que haya independencia de
θ y de ϕ.
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