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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA DEPARTAMENTO DE FÍSICA - ESCUELA DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES Trabajo Práctico II MECÁNICA CUÁNTICA I I Julián Gelabert 3 Problemas 1. Mostrar las siguientes identidades del capítulo VI del Cohen Tannoudji Vol 1: [ J2, J+ ] = 0[ J2, Jz ] = 0 [Jz, J+] = h̄J+ 2. Mostrar que Lx conmuta con H, donde H es el definido por las ecuaciones A-8 y Lx definida por la componente x de la ecuación A-11 del capítulo X del Cohen Tannoudji Vol. 2 [Lx, H] = 0 3. Demostrar la ecuación (A-18) del capítulo X del Cohen Tan- nouidji Vol 2. 4. Responder si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos, justificando brevemente. a) La suma de dos momentos angulares J1 y J2 que conmutan es un momento angular J. b) Los autovectores de J construidos a partir de los autovectores de J1 y J2 sin acoplar son ortonormales. c) Los autovectores de J construidos a partir de los autovectores de J1 y J2 acoplados son ortonormales. 5. Calcular, usando las propiedades de los coeficientes de Clebsch- Gordon, el factor c en |sljm〉 = c |lsjm〉 Comentario: En notación coordenada la ecuación sería [χsYl(θ, φ)]jm = c[Yl(θ, φ)χs]jm 4 trabajo práctico ii Problema 1 De una forma más general, se define como un momento angular J a cualquier conjunto de observables, Jx, Jy, Jz, que satisfagan las llamadas relaciones de conmutación: [Jj, Jk] = ih̄ ∑ l ejkl Jl para todos j, k, l = x, y, z (1) Así, se introduce al operador J2 ≡ J2x + J2y + J2z como el cuadrado del momento angular J. Este operador es hermitiano puesto Jx, Jy y Jz lo son. Asumiremos que este operador es un observable. Es fácil probar que J2 conmuta con las componentes de J: [J2, Jx] = [J2x + J 2 y + J 2 z , Jx] = [J 2 x , Jx] + [J 2 y , Jx] + [J 2 z , Jx] (2) Jx conmuta obviamente consigo mismo, luego lo hará con su cua- drado J2x . Los restantes términos en la Ec.(2) resultan: [J2y , Jx] = Jy[Jy, Jx] + [Jy, Jx]Jy = −ih̄Jy Jz − ih̄Jz Jy [J2z , Jx] = Jz[Jz, Jx] + [Jz, Jx]Jz = ih̄Jz Jy + ih̄Ji Jz (3) La suma de ambos conmutadores en la Ec.(3), que son los términos restantes en la Ec.(2), es en efecto cero. Un argumento totalmente análogo se utiliza para mostrar que J2 conmuta con las demás componentes de J, es decir, [J2, Jy] = [J2, Jz] = 0 o, de manera compacta, [J2, J] = 0. En la teoría general de los momentos angulares se definen los operadores de subida y de bajada como J+ ≡ Jx + i Jy , J− ≡ Jx − i Jy (4) Haciendo uso de las Ecs. (2) y (3) es directo ver que estos opera- dores conmutan con J2: [J2, J±] = [J2, Jx ± i Jy] = [J2, Jx]± i[J2, Jy] = 0± i(0) = 0. Finalmente, resta ver el valor del conmutador entre Jz y J+: [Jz, J+] = [Jz, Jx] + i[Jz, Jy] = ih̄Jy + i(−ih̄Jx) = h̄(Jx + i Jy) = h̄J+ � Problema 2 Siguiendo el desarrollo que hace Cohen en el capítulo X del Vol. II de su libro ’Quantum Mechanics’, se puede modelar un sistema de dos partículas sin espín en un potencial central V(r = |r|) las cuales solo interaccionan entre sí a través de un potencial v que solo depende de la distancia entre ellas |r1 − r2| = √ (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 Rodolfo Id Betan ok Rodolfo Id Betan me gustó el shot cut aprovechando la info mostrada antes Rodolfo Id Betan bien!! Rodolfo Id Betan vale!! Rodolfo Id Betan bien!! Rodolfo Id Betan ok 5 con el hamiltoniano H = H1 + H2 + v(|r1 − r2|) (5) donde Hk = − h̄2 2µk ∇2k + V(rk) con µK la masa de la k-ésima partícula y ∇2k el laplaciano respecto a las coordeandas de la k-ésima partícula. Ya se demostró que las componentes del operador L1 asociado al momento angular L1 de la partícula 1 conmutan con su hamilto- niano: [L1, H1] = 0 (6) A su vez, como L1 y H2 actúan en espacios distintos (el espacio de partícula 1 y el espacio de la partícula 2, respectivamente), todas las componentes de L1 conmutan con el hamiltoniano de la otra partícula: [L1, H2] = 0 (7) Con argumentos análogos se llega a las mismas conclusiones para los conmutadores [L2, H2] y [L2, H1]. Se define entonces al momento angular total del sistema L como L = L1 + L2 (8) Esta magnitud es de remarcable importancia. Por ejemplo, si se calcula el conmutador de una de sus componentes, por ejemplo Lx con el hamiltoniano del sistema dado por la Ec.(5) se obtiene: [Lx, H] = [L1x + L2x, H1 + H2 + v(|r1 − r2|)] Cada conmutador por separado resulta [L1x, H] = [L1x, v(|r1 − r2|)] = h̄ i ( y1 ∂v ∂z1 − z1 ∂v ∂y1 ) [L2x, H] = [L2x, v(|r1 − r2|)] = h̄ i ( y2 ∂v ∂z2 − z2 ∂v ∂y2 ) (9) pero como v puede ser considerado una función solamente de la variable R ≡ |r1 − r2|, ∂v ∂y1 = ∂v ∂R ∂R ∂y1 = ∂v ∂R ∂|r1 − r2| ∂y1 = ∂v ∂R y1 − y2 |r1 − r2| ∂v ∂y2 = ∂v ∂R ∂R ∂y2 = ∂v ∂R ∂|r1 − r2| ∂y2 = ∂v ∂R y2 − y1 |r1 − r2| (10) y expresiones análogas se encuentran para ∂v/∂x1, ∂v/∂x2, ∂v/∂z1 y ∂v/∂z2. Usando estos resultados, se suman las expresiones en la Ec.(9): [Lx, H] = [L1x + L2x, v(R)] = h̄∂v iR∂R [ y1(z1 − z2)− z1(y1 − y2) + y2(z2 − z1)− z2(y2 − y1) ] = 0 � Rodolfo Id Betan ok Rodolfo Id Betan bien! Rodolfo Id Betan ok Rodolfo Id Betan ok Rodolfo Id Betan buen trabajo! 6 trabajo práctico ii Problema 3 Considerese ahora otro sistema importante para estudiar: el de una única partícula con espín no nulo. Asumiendo que la misma está bajo el accionar de un potencial central V(r), su hamiltoniano es conocido1 y se sabe que las tres componentes del momento an- 1 Ver ∮ A del capítulo VII del Vol. II del libro de Cohen Tannoudji ’Quantum Mechanics’. gular L conmutan con el éste. Aún más, ya que los operadores de espín conmutan con los operadores orbitales, las tres componen- tes del momento angular de espín S también son constantes de movimiento. No obstante, correcciones relativistas introducen al hamiltoniano el denominado término de acople espín-órbita de la forma: HSO = ξ(r)L · S (11) donde ξ(r) es una función conocida de la variable r. Cuando este término se tiene en cuenta L y S dejan de conmutar con el hamilto- niano. Por ejemplo, [Sz, HSO] = [Sz, ξ(r)L · S] = ξ(r)[Sz, LxSx + LySy + LzSz] = ξ(r)([Sz, LxSx] + [Sz, LySy] + [Sz, LzSz]) = ξ(r)(Lx[Sz, Sx] + [Sz, Lx]Sx + Ly[Sz, Sy] + [Sz, Ly]Sy + Lz[Sz, Sz] + [Sz, Lz]Sz) = ξ(r)[Lx(ih̄Sy) + (0)Sx + Ly(−ih̄Sx) + (0)Sy + Lz(0) + (0)Sz] = ξ(r)(ih̄LxSy − ih̄LySx) donde si hizo uso de las relaciones de conmutación de la Ec.(1) para el momento angular S y el hecho que las componentes de S y L conmutan entre sí. � Problema 4 a) La suma de dos momentos angulares J1 y J2 que conmutan es un momento angular J. Verdadero. Puesto que J1 y J2 son momentos angulares, las com- ponentes de cada uno satisface por su cuenta las relaciones de conmutación de la Ec.(1): [J1i, J1j] = ih̄ ∑ l ejkl J1l , [J2i, J2j] = ih̄ ∑ l ejkl J2l para todos índices j, k, l = x, y, z. Como J1 y J2 conmutan, basta sumar estas ecuaciones y recordar que la componente k-ésima del momento angular J es Jk = J1k + J2k para mostrar que J1 + J2 también es un momento angular: [J1i + J2i, J1j + J2j] = [Ji, Jj] = ih̄ ∑ l ejkl(J1l + J2l) = ih̄ ∑ l ejkl Jl Rodolfo Id Betan impecable! Rodolfo Id Betan correcto! Rodolfo Id Betan bien! Rodolfo Id Betan ok Rodolfo Id Betan ok Rodolfo Id Betan súper!! 7 b) Los autovectores de J construidos a partir de los autovectores de J1 y J2 sin acoplar son ortonormales. Verdadero. Dados J1, J2 momentos angulares que conmutan, se puede construir un C.C.O.C. sin acoplar (sumar) dichos momen- tos. El C.C.O.C. en cuestión es el conjunto {J21, J1z, J22, J2z} y sus autovectores en común son los vectores |j1m1 j2m2〉 = |j1m1〉 |j2m2〉 que satisfacen simultáneamente las ecuaciones de autovectores correspondientes: J2k |j1m1 j2m2〉 = jk(jk + 1)h̄ 2 |j1m1 j2m2〉 Jkz |j1m1 j2m2〉 = mk h̄ |j1m1 j2m2〉 (12) Estos autovectores satisfacen las relaciones de ortonormalidad:〈 j′1m ′ 1 j ′ 2m ′ 2 ∣∣j1m1 j2m2〉 = ( 〈j′1m′1∣∣ 〈j′2m′2∣∣ )( ∣∣j′1m′1〉 ∣∣j′2m′2〉 ) = 〈 j′1m ′ 1 ∣∣j1m1〉 〈j′2m′2∣∣j2m2〉 = δj′1 j1 δm′1m1 δj′2 j2 δm′2m2 c) Los autovectores de J construidosa partir de los autovectores de J1 y J2 acoplados son ortonormales. Verdadero. Dados J1, J2 momentos angulares que conmutan, se puede construir un C.C.O.C. acoplando (sumando) dichos mo- mentos. El C.C.O.C. en cuestión es el conjunto {J21, J22, J2, Jz}, con |J1 − J2| ≤ J ≡ J1 + J2 ≤ J1 + J2 y sus autovectores en común son los vectores |j1 j2 jm〉 = |j1〉 |j2〉 |jm〉 que satisfacen simultáneamente las ecuaciones de autovectores correspondientes: J2k |j1 j2 jm〉 = jk(jk + 1)h̄ 2 |j1 j2 jm〉 J2 |j1 j2 jm〉 = j(j + 1)h̄2 |j1 j2 jm〉 Jz |j1 j2 jm〉 = mh̄ |j1 j2 jm〉 (13) Estos autovectores satisfacen las relaciones de ortonormalidad:〈 j′1 j ′ 2 j ′m′ ∣∣j1 j2 jm〉 = ( 〈j′1∣∣ 〈j′2∣∣ 〈j′m′∣∣ )( ∣∣j′1〉 ∣∣j′2〉 |jm〉 ) = 〈 j′1 ∣∣j1〉 〈j′2∣∣j2〉 〈j′m′∣∣jm〉 = δj′1 j1 δj′2 j2 δj′ jδm′m � Rodolfo Id Betan el término de la derecha no es correcto, pues no puede factorizarse de esa forma. Están conectados por lo Clebsch-Gordan. A todo lo de arriba habría que agrega la condición de la suma de las proyecciones Rodolfo Id Betan correcto! Rodolfo Id Betan ok con m entre -j y j Rodolfo Id Betan muy bien! Rodolfo Id Betan bien! Rodolfo Id Betan correcto 8 trabajo práctico ii Problema 5 Dadas las bases acopladas |j1 j2 jm〉 y no acopladas ∣∣j1mj2m2〉, se definen a los coeficientes de Clebsch-Gordan a los coeficientes que emergen cuando se expanden a los kets de la base acoplada en términos de la base no acopladas: |j1 j2 jm〉 = ∑ m1,m2 |j1m1 j2m2〉 〈j1m1 j2m2|j1 j2 jm〉 (14) Estos coeficientes son muy importantes en la teoría de momentos angular cuánticos. En particular, una de sus propiedades es: 〈j1m1 j2m2|j1 j2 jm〉 = (−1)j1+j2−j 〈j2m2 j1m1|j2 j1 jm〉 (15) con j1, j2, j satisfaciendo la condición triangular: |j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2. Para el caso s = j1 y l = j2, las Ecs.(14) y (15) leen |sljm〉 = ∑ ms ,ml |smslml〉 〈smslml |sljm〉 〈smslml |sljm〉 = (−1)s+l−j 〈lmlsms|lsjm〉 Utilizando estas expresiones se obtiene el factor c buscado: |sljm〉 = ∑ ms ,ml |smslml〉 〈smslml |sljm〉 = ∑ ms ,ml |smslml〉 (−1)s+l−j 〈lmlsms|lsjm〉 = (−1)s+l−j ∑ ms ,ml |smslml〉 〈lmlsms|lsjm〉 = (−1)s+l−j ( ∑ ms ,ml |sms〉 |lml〉 〈sms| 〈lml | ) |lsjm〉 = (−1)s+l−j ( ∑ ms |sms〉 〈sms| )( ∑ ml |lml〉 〈lml | ) |lsjm〉 = (−1)s+l−j(1) |lsjm〉 = c |lsjm〉 con c = (−1)s+l−j. � Rodolfo Id Betan ok Rodolfo Id Betan correcto! Rodolfo Id Betan bien!! Rodolfo Id Betan ok Rodolfo Id Betan bien Rodolfo Id Betan acá los invertiste respecto al renglón anterior! no tengo objeción sobre esto Rodolfo Id Betan vale!