Matrices y Sistema de Ecuaciones

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FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA-PARTE 2 
SEDE METÁN- ROSARIO DE LA FRONTERA 
PROF. LUIS CRESPO 
 ING. EN AGRONOMÍA 
 
 
1 
 
Matriz y Dimensión 
Una matriz es un ordenamiento de números reales en 𝑚 filas y 𝑛 columnas. Una matriz con 𝑚 filas y 𝑛 
columnas tiene dimensión (tamaño u orden) 𝑚×𝑛. Cada número de la matriz es un elemento 
𝐴 =
(
 
 
𝑎11 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛
𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑛
𝑎31
⋮
𝑎𝑚1
𝑎32
⋮
𝑎𝑚2
𝑎33
⋮
𝑎𝑚3
…
⋱
…
𝑎3𝑛
⋮
𝑎𝑚𝑛)
 
 
 
 
 
Las matrices se nombran con letras mayúsculas de imprenta como 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝑀 y los elementos con la 
misma letra en minúsculas y con dos subíndices. 
La notación 𝑨 = (𝒂𝒊𝒋) expresa que el elemento de la fila 𝑖 y la columna 𝑗 de la matriz 𝐴 es el número 
𝑎𝑖𝑗. 
Tipología según la dimensión 
Una matriz fila tiene una fila y varias columnas. 
Una matriz columna tiene varias filas y una columna. 
Una matriz rectangular tiene distinto número de filas y de columnas. 
Una matriz cuadrada tiene igual número de filas y de columnas. 
Los elementos de subíndices iguales, esto es 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, . . . , 𝑎𝑛𝑛, forman la diagonal principal. 
𝐹 = (1 2 3 0 4) 𝑀 = (
2
6
) 𝑇 = (
0 −2 3
5 1 0
) 𝐶 = (
6 2 4
−1 2 9
0 3 7
) 
Fila 1 × 5 Columna 2 × 1 Rectangular 2 × 3 Cuadrada 3 × 3 
Igualdad de Matrices 
Las matrices 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) y 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 son iguales si y sólo si tienen la misma dimensión 𝑚 × 𝑛, y sus 
elementos correspondientes son iguales, esto es, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 para todo 𝑖: 1, 2, . . . , 𝑚 𝑦 𝑗: 1, 2, . . . , 𝑛. 
Dada las matrices 𝐴 = (
1 𝑥 𝑧
4 𝑦 0
) y 𝐵 = (
1 −8 5
4 6 0
) de dimensión 2 × 3. Si 𝐴 = 𝐵, entonces los 
elementos correspondientes son iguales. Es decir: 𝑥 = −8 𝑦 = 6 𝑧 = 5 
Matriz identidad 
La matriz identidad, que generalmente se nombra con la letra 𝐼, es una matriz cuadrada tal que los 
elementos de la diagonal principal son unos (1) y los demás ceros (0). La matriz 𝐼 de orden 𝑛 es matriz 
n columnas 
m filas 
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identidad si, y sólo si: 𝑖𝑖𝑗 = 1 para 𝑖 = 𝑗 𝑦 𝑖𝑖𝑗 = 0 para 𝑖 ≠ 𝑗. La matriz identidad puede ser de orden 
1, 2, 3, 4, etcétera. 
𝐼 = (
1 0
0 1
) 𝐼 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 𝐼 = (
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
) 
Orden 2 Orden 3 Orden 4 
 
El conjunto de todas las matrices cuadradas de un orden dado n tiene una identidad multiplicativa, esto 
es, hay una matriz única 𝐼𝑛 de 𝑛 × 𝑛 tal que: 𝑨𝑰𝒏 = 𝑰𝒏𝑨 = 𝑨, para cualquier matriz 𝐴 de 𝑛 × 𝑛 
Matriz triangular superior e inferior 
Una matriz triangular superior es una matriz cuadrada que por debajo de la diagonal principal tiene 
todos sus elementos iguales a cero. La matriz 𝐴 de orden 𝑛 es triangular superior si 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒊 > 𝒋. 
Una matriz triangular inferior es una matriz cuadrada que por encima de la diagonal principal tiene 
todos sus elementos iguales a cero. La matriz 𝐴de orden 𝑛 es triangular inferior si 𝒂𝒊𝒋 = 𝟎 𝐩𝐚𝐫𝐚 𝒊 < 𝒋. 
𝐴 es triangular superior, 𝐵 es triangular inferior y 𝐶 triangular superior e inferior. 
𝐴 = (
2 4 −2
0 3 6
0 0 1
) 𝐵 = (
8 0 0
4 6 0
3 5 −2
) 𝐶 = (
1 0 0
0 −5 0
0 0 4
) 
Álgebra de Matrices 
En álgebra común, damos por sentado el hecho de que cualquier par de números reales pueden 
sumarse, restarse y multiplicarse. En álgebra de matrices, sin embargo, dos matrices pueden sumarse, 
restarse y multiplicarse sólo en ciertas condiciones. 
Suma de Matrices 
La suma de dos matrices de igual dimensión es otra matriz de la misma dimensión cuyos elementos se 
obtienen sumando los elementos que están en la misma posición en las matrices dadas. Sean 𝐴= (𝑎𝑖𝑗) 
y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) matrices de 𝑚 × 𝑛. 
𝑨 + 𝑩 = (𝒂𝒊𝒋 + 𝒃𝒊𝒋) 
La suma de 𝐴 = (
2 −3
1 5
) y 𝐵 = (
3 −1
0 −8
) es otra matriz de 2 × 2. 
𝐴 + 𝐵 = (
2 −3
1 5
) + (
3 −1
0 −8
) = (
2 + 3) (−3) + (−1)
1 + 0 5 + (−8)
) = (
5 −4
1 −3
) 
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Resta de matrices 
La resta de dos matrices de igual dimensión es otra matriz de la misma dimensión cuyos elementos se 
obtienen restando los elementos que están en la misma posición en las matrices dadas. Sean 𝐴= (𝑎𝑖𝑗) 
y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) matrices de 𝑚 × 𝑛. 
𝑨 − 𝑩 = (𝒂𝒊𝒋 − 𝒃𝒊𝒋) 
La resta de 𝐴 = (
−2 1
8 5
−3 2
) y 𝐵 = (
5 −2
1 0
6 7
) es otra matriz de 3 × 2. 
𝐴 − 𝐵 = (
−2 1
8 5
−3 2
) − (
5 −2
1 0
6 7
) = (
−2 − 5 1 − (−2)
8 − 1 5 − 0
−3 − 6 2 − 7
) = (
−7 3
7 5
−9 −5
) 
Producto de un número real por una matriz 
El producto de un número real (escalar) por una matriz es otra matriz de igual dimensión que tiene por 
elementos al producto del número real por cada uno de los elementos de la matriz dada. Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 
matriz de dimensión 𝑚 × 𝑛 y 𝑘 ∈ ℝ. 
𝒌𝑨 = (𝒌𝒂𝒊𝒋) 
Sean las matrices: 
𝐴 = (
−2 1 5
3 2 −1
) 𝑦 𝐵 = (
6 −2 1
9 −5 7
) 
El producto del número real 2 por la matriz A de dimensión 2 × 3 tiene como resultado otra matriz de 
la misma dimensión 
2𝐴 = 2 (
−2 1 5
3 2 −1
) = (
(2)(−2) (2)1 (2)5
(2)3 (2)2 (2)(−1)
) = (
−4 2 10
6 4 −2
) 
Si 𝑘 = 0, el resultado del producto por una matriz es otra matriz llamada matriz nula, la cual tiene todos 
sus elementos ceros. 
Producto de matrices 
Sea 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) una matriz de dimensión 𝑚× 𝑛 y 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) una matriz de dimensión 𝑝 × 𝑞 con 𝑛 = 𝑞 
(número de columnas de la primera es igual al número de filas de la segunda). El producto de dos 
matrices 𝐴𝐵 es otra matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) de dimensión tal que el elemento 𝑐𝑖𝑗 de la fila 𝑖 y la columna 𝑗 de 
𝐶 se obtiene multiplicando los elementos de la fila 𝑖 de 𝐴 con los correspondientes elementos de la 
columna 𝑗 de 𝐵 y sumando los resultados: 𝒄𝒊𝒋 = 𝒂𝒊𝟏𝒃𝟏𝒋 + 𝒂𝒊𝟐𝒃𝟐𝒋 +⋯+ 𝒂𝒊𝒏𝒃𝒑𝒋 
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Sean 
 𝐴 = (
1 3
2 −1
) 𝐵 = (
2 0 −4
3 −2 −6
) 
𝐴 es de 2 × 2 y 𝐵 es de 2 × 3. El producto es posible ya que el número de columnas de A coincide con 
el número de filas de B. El resultado es otra matriz C de 2 × 3. 
𝐴𝐵 = (
1 3
2 −1
) (
2 0 −4
3 −2 −6
) = (
𝟏𝟏 −𝟔 𝟏𝟒
𝟏 𝟐 −𝟏𝟒
) 
A continuación, se muestra detalladamente el cálculo efectuado para obtener cada uno de los 
elementos de la matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗) 
𝒄𝟏𝟏 = (1)(2) + (3)(3) = 2 + 9 = 𝟏𝟏 𝒄𝟐𝟏 = (2)(2) + (−1)(3) = 4 − 3 = 𝟏 
𝒄𝟏𝟐 = (1)(0) + (3)(−2) = 0 − 6 = −𝟔 𝒄𝟐𝟐 = (2)(0) + (−1)(−2) = 0 + 2 = 𝟐 
𝒄𝟏𝟑 = (1)(−4) + (3)(6) = −4 + 18 = 𝟏𝟒 𝒄𝟐𝟑 = (2)(−4) + (−1)(6) = −8 − 16 = −𝟏𝟒 
Potencia de una matriz 
La potencia 𝒏 de una matriz 𝑨 es otra matriz que se obtiene multiplicando 𝑛−𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 la matriz 𝐴. 
𝑨𝒏 = 𝑨.𝑨. 𝑨…𝑨⏞ 
𝒏 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔
 
Dada la matriz 𝐴 = (
1 2
3 6
), el cuadrado que se simboliza con 𝐴2 es el producto 𝐴𝐴 
𝐴2 = 𝐴𝐴 = (
1 2
3 6
) (
1 2
3 6
) = (
7 14
21 42
)