GUIA DE EJERCICIOS (TEMA 4)

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LA DERIVADA DE 
UNA FUNCIÓN 
La derivada de 
una función 
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Prof. 
José Luis Quintero U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (0251) - TEMA 4 
 
 
1. En los siguientes ejercicios, halle dy
dx
: 
1.1. 5 10 20y (x x )= + 1.2. 2y cos(sen(x ))= 
1.3. xy xπ= π 1.4. tgh(4x)y 3= 
1.5. 
7
51y x
x
 = + 
 
 1.6. 
1
x
4
x
y
2x 1
 
=  
+ 
 
1.7. 2y x x 1= − + 1.8. 42y arccos(log (x 1))= + 
1.9. 
2sec(log(x 1))y e += 1.10. 1 xy
1 x
−=
+
 
1.11. tg(2x 1) 4 1
x
y e sen ( )−= + 
1.12. 
2x
2 2y csc
ln(1 x)
 
=   − 
 
1.13. y ln(arctg(3x))= 1.14. x arc sec(x)y (e x)= − 
1.15. cos(x)y (sen(x))−= 1.16. 5y arcsen(ln( 1 2x))= − 
1.17. 
x3y x
−
= 1.18. sen(x)y arctg
1 cos(x)
 
=  + 
 
1.19. 2 x
2
y ln(sec (arctg( )))= 1.20. y arctg(5x) arcctg(7x)= + 
1.21. 2 2y sen (ln(x) x 1)= + + 1.22. 
x
2
2x
y
1 x
−
 =  − 
 
1.23. 5
cos(x) sen(x)
y
cos(x) sen(x)
+=
−
 
1.25. 
4arctg(x )
6
2
x 7
y
x 9
 +=   + 
 
1.24. 
x 1
y arccos
x
+ =  
 
 
1.26. ( )
3
4
2
3 3
2
2
y 4 x 5x
x
  
 = − − +     
 
 1.27. 
2
2
1 x 1 1 cos(x)
y arcsen ln
2 1 cos(x)1 x
   − += +     −+   
 
 1.28. 3x3
1 senh(3x)
y ln(sen( arctg(e ))) tg
1 cosh(3x)
 −= +  + 
 
 1.29. 
2x
3
2 2
(x 1)(x 2)
y
(x 1)(x 2)
 + +=   + + 
 
 1.30. 
1
xln(e 1)3y x.arctg( 1 sen(x)) x −= − + 
 
2. Usando la definición calcule la función derivable de: 
2.1. 
1
f(x)
x
= 2.2. 
2g(x) ln(x )= 
2.3. f(x) sen(x)= 2.4. 2h(x) 5x 2x 1= + − 
 
 
 
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una función 
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3. Halle la segunda derivada 2 2d y dx de las siguientes funciones: 
3.1. 2y 3x x 4= + − 
3.2. 
x
y arcsen
x 1
 =  + 
 
3.3. y 2 cosh(x)= 
3.4. 2y ln(x 1)= − , para x e 1= − 
3.5. 2y cos (x) tg(x),= + cuando x = π 
3.6. 
x 1
y ,
1 x
+=
−
 para x 0= 
 
4. Calcule la derivada dy
dx
 de las funciones definidas paramétricamente por: 
4.1. 
x 4cos(t)
y 4sen(t)
=
 =
 
4.2. 
t
t
x e cos(t)
y e sen(t)
 =

=
 para t 0= 
4.3. 
3
2
3
3at
x
1 t
3at
y
1 t
 = +

 =
 +
 
4.4. 
x 2 sec(t)
y 1 2tg(t)
= +
 = +
 cuando t
6
π= 
4.5. 
x t ln(t)
ln(t)
y
t
=

 =

 para t 1= 
 
5. Halle la derivada y ' dy dx= de la función dada implícitamente por la ecuación: 
5.1. 3 2 2x x y y 0+ + = 
5.2. 2 x xy 3 3 4y,−− = en el punto de ordenada y 1.= 
5.3. x ln(y) y ln(x) 1,− = en el punto (1,e). 
5.4. tg(y) xy= 
5.5. x y a+ = 
5.6. y x 1ye e ,+= cuando (x,y) (0,1)= 
5.7. y xx y= 
 
6. ¿Es la función f(x) x x 2= + − derivable en su dominio?. Justifique su respuesta. 
 
 
 
 
 
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7. Sean: f(0) 3, f '(0) 1, f ''(0) 0, g(0) 1, g'(0) 3 y g''(0) 2.= = − = = = = Halle f
g
( )''(0) . 
 
8. Sean: f '(1) 3, f ''(1) 2, g(0) 1, g '(0) 3 y g ''(0) 2.= = − = = = Halle [f(g(0))]''. 
 
9. Sea 
2xe 2 si x 0
f(x)
ln(x 1) 1 si x 0
 − + ≤= 
+ + >
. 
9.1. Grafique la función f. 
9.2. Determine en forma analítica y en forma gráfica si f '(0) existe. 
 
10. Sea 
3x
2
3
e si x 0
f(x) ax bx c si 0 x 1
x si x 1
 <
= + + ≤ ≤
 >
. 
10.1. Determine a, b y c para que f sea continua en x 0= y derivable en x 1= 
10.2. Determine a, b y c para que f sea derivable en x 0= y continua en x 1= 
 
11. Dada la función: 
3
2
x si x 1
f(x)
ax bx c si x 1
 ≤= 
+ + >
, 
determine los valores de a, b y c para que f ''(1) exista. 
 
12. Dada la función: 
3
2
x si x 2
f(x)
ax bx c si x 2
 ≤= 
+ + >
, 
determine los valores de a, b y c para que f ''(2) exista. 
 
13. Dada la función 
1 x
f(x) ,
1 x
+=
−
 calcule (VII)f , deduciendo previamente la derivada n-ésima. 
 
14. Dada la función 
2
f(x) ,
1 2x
=
−
 calcule (XI)f , deduciendo previamente la derivada n-ésima. 
 
15. Dada la función 
2x
2
x e
y ,
2x
−−= halle la expresión xy ' 2y.+ 
 
16. Demuestre que la función 
2x
2y(x) xe
−
= satisface la ecuación 2xy ' (1 x )y.= − 
 
 
 
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17. Pruebe que la función 
2
k
y(x) 3
x 4
= −
−
 es solución de la ecuación diferencial de primer 
orden 22xy 6x (x 4)y ' 0+ + − = . 
 
18. Pruebe que la función 1 2y(x) C senh(2x) C cosh(2x)= + es solución de la ecuación 
diferencial de segundo orden y '' 4y 0.− = 
 
19. Demuestre que la función x 2x1 2y(x) C e C e
− −= + para cualquier valor de las constantes 1C 
y 2C satisface a la ecuación y '' 3y ' 2y 0.+ + = 
 
20. Pruebe que la función definida por f(x) arctg(x)= es solución de la ecuación diferencial de 
segundo orden 2 2 2(1 x ) y '' 2x(1 x )y ' 0.+ + + = 
 
21. Demuestre que la función xy(x) xe−= satisface la ecuación xy ' (1 x)y.= − 
 
22. ¿Qué valores deben tomar las constantes a, b y c para que la función: 
3
0
2
0
x si x x
f(x)
ax bx c si x x
 ≤= 
+ + >
 
tenga segunda derivada en 0x ? 
 
23. Pruebe que la función descrita paramétricamente por las ecuaciones 
2
3
3
x t
2
1
y t
2
 = −

 = − −

, 
es una solución de la ecuación diferencial 
3
dy dy
2x 2y 1.
dx dx
  + = + 
 
 
 
24. Pruebe que y definida como función de x por las ecuaciones paramétricas 
2 2
x sen( )
y e eα − α
= α

= +
 
satisface la ecuación diferencial 2(1 x )y '' xy ' 2y.− − = 
 
25. Sea xy 2e 3xy .= Pruebe que dy y(xy 1) .
dx x(2 xy)
−=
−
 
 
 
 
 
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26. Pruebe que la función y definida por la ecuación xy ln(y) 1,− = satisface la ecuación 
diferencial 2y (xy 1)y ' 0.+ − = 
 
27. Pruebe que la función y definida por la ecuación 2ln(y) y e cos(x)+ = − satisface la 
ecuación diferencial 2ysen(x) (1 2y )y '= + . 
 
28. Dada la función xf(x) e−= , halle f(0) x.f '(0)+ . 
 
29. Dadas las funciones f(x) tg(x)= y g(x) ln(1 x)= − , halle f '(0)
g'(0)
. 
 
30. Dadas las funciones f(x) 1 x= − y x
2
g(x) 1 sen( )π= − , halle g'(1)
f '(1)
. 
 
31. Demuestre que la función 
1
y
1 x ln(x)
=
+ +
 satisface a la ecuación diferencial dada por 
xy ' y(y ln(x) 1)= − . 
 
32. Demuestre que la función 
2x 2x 2
y
2
+ += satisface a la ecuación diferencial dada por 
21 (y ') 2yy ''+ = . 
 
33. Demuestre que la función 2 x1
2
y x e= satisface a la ecuación diferencial xy '' 2y ' y e− + = . 
 
34. Demuestre que la función 3xy e sen(5x)= satisface a la ecuación diferencial dada por 
y '' 4y ' 29y 0.− + = 
 
35. Si 
2
2
3 x 1 1 x 1 1
y ln ln arctg(x)
4 4 x 1 2x 1
 + − = + +     +−   
, demuestre que 
2
4
x 3x
y ' .
x 1
−=
−
 
 
36. Si 2
1 1 1 2x 1
y ln(1 x) ln(x x 1) arctg
2 6 3 3
 −= + − − + +  
 
, demuestre que 
3
1
y '
1 x
=
+
.