Series-notables-y-sumatorias-para-Quinto-Grado-de-Secundaria

Vista previa del material en texto

SERIES NOTABLES
Son series diferentes de las series aritméticas y series 
geométricas, pero con una fórmula de resolución 
conocida.
Alguna de las series notables más conocidas son:
• 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n n
2
1+_ i
• 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n2
• 12 + 22 + 32 + 42 + ... + n2 = n n n
6
1 2 1+ +_ _i i
• 13 + 23 + 33 + 43 + ... + n3 = 
n n
2
1 2+_ i> H
• 1 × 2 + 2 × 3 + 3 × 4 + 4 × 5 + ... + n(n+1) =
 = ( )( )n n n
3
1 2+ +
• 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + 3 × 4 × 5 + ... + n(n+1)(n+2) =
 = ( )( )( )n n n n4
1 2 3+ + +
• ... ( )n n1 2
1
2 3
1
3 4
1
4 5
1
1
1
# # # #
+ + + + + +
 =
 = n
n
1+
Donde “n” es el número de término, NO es el último 
término.
SUMATORIA(S)
Símbolo que nos indica la adición de los términos de 
nuestra regla de definición, donde:
Propiedades:
• k nk
i
n
1
=
=
/ donde “k” es una constante
• ( )ki k i
i
n
i
n
1 1
=
= =
/ /
• ( ... )k i k i k i kn n n n
i
n
0 1
1
2
2
1
+ + + +- -
=
/
 = ...k i k i k i ko n
i
n
n
i
n
n
i
n
n
i
n
1
1
1
1
2
2
1 1
+ + + +
=
-
=
-
= =
_ _ _i i i/ / / /
• ki ki ki
i
n
i
m
i m
n
1 01
1
= +
=
-
=
/ / /
Marco teórico
SERIES NOTABLES Y SUMATORIAS
Nivel I
1. En una base cuadrangular se han empleado 400 bo-
las de billar. ¿Cuántas bolas de billar se han emplea-
do en toda la pirámide?
2. Indica el valor de “A” en:
 A = ( )k 4
k
2
2
7
-
=
/
3. Calcula el valor de la expresión:
 S = k k k2
k k k
4
1
3
3
2
5
3
6
+ +
= = =
/ / /
Nivel II
4. Si: an = ( )n n
1
1
1- +
 Halla: a1 + a2 + a3 + ... + a99
5. Calcula el valor de:
 A = ...2
1
6
1
12
1
20
1
930
1+ + + + +
6. Halla el valor de “S” en:
 S = 1 × 4 + 2 × 5 + 3 × 6 + 4 × 7 + … + 22 × 25
7. Halla la suma de todos los números de la pirámide 
mostrada, sabiendo que tiene 16 filas.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
i h h j 
Nivel III
8. Calcula el valor de:
S = 15 × 1 + 14 × 2 + 13 × 3 + 12 × 4 + … + 1 × 15
9. A Mirtha le preguntaron acerca de su sueldo men-
sual y respondió: “Mi sueldo se puede expresar me-
diante la siguiente suma:
1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + … + 21 × 23
¿Cuál es el sueldo de Mirtha?
10. Si la suma de los dígitos del número abc es 9 calcule:
 abc cab bca
i
n
i
n
i
n
1 1 1
+ +
= = =
/ / /
Trabajando en Clase
4. Efectúa :
 S=1x3+2x4+3x5+4x6+…+20x22.
 
 Da como respuesta la suma de las cifras de “S”.
a) 14 b) 24 c) 1 2 
d) 10 e) 11 
3. Resolver:
1 3 5 7 2 1
2 4 6 8 2
28
29
+ + + + + −
+ + + + +
=... ( )
...
x
x 
 y da como respuesta la suma de las cifras de 8x 
+ 6.
a) 8 b) 12 c) 5 
d) 7 e) 11
 
2. Halla el valor de la siguiente expresión:
( )2 2 3
3
5
1
5
1
6
k k k
kkk
+ +
===
•••
a) 216 b) 282 c ) 3 1 3 
d) 320 e) 325 
1. Halla el valor de la siguiente sumatoria:
 
 
( )2 3
1
14
k
k
+
=
•
a) 248 b) 252 c) 2 5 6 
d) 280 e) 320
Tarea domiciliaria N°4
8. Halle el valor de “S” en:
S = + + + + +7 8 9 10 252 2 2 2 2...
a) 5434 b) 5454 c) 5 4 6 0 
d) 5490 e) 5525 
7. Calcula el valor de “S” si:
 
S k k k
kk
= − + −
==
•• ( ) ( )2 1 2
1
9
1
7
a) 319 b) 309 c) 3 0 4 
d) 284 e) 289
 
6. Calcula el valor de “M” si:
M
sumandos
=
×
+
×
+
×
+
×
+1
1 4
2
8 7
4
7 40
2
10 26
10
...
  
a) 10/31 b) 9/54 c) 1 8 / 3 7 
d) 9/31 e) 11/31
5. Halla la suma de las 20 primeras filas del si-
guiente arreglo.
 
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
1
2
3
4
→
→
→
→
F
F
F
F
   
a) 44310 b) 32220 c) 22155
d) 20000 e) 16760