S09 s1 - Aplicaciones de ecuaciones lineales de orden superior

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APLICACIONES DE 
ECUACIONES 
DIFERENCIALES
DE ORDEN SUPERIOR
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante modela y resuelve problemas utilizando 
ecuaciones diferenciales lineales de orden superior.”
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
¿Cuál es su utilidad?
Las Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior se utilizan en:
✓ Mecánica y Electricidad.
✓ A problemas combinados de crecimiento y decrecimiento.
Entre otros.
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
CIRCUITOS
EN SERIE
3CIRCUITOS EN SERIE
Si 𝑖(𝑡) denota la corriente en el circuito eléctrico en serie LRC, mediante la
segunda ley de Kirchhof . la suma de estos voltajes es igual al voltaje 𝐸(𝑡)
aplicado al circuito; es decir
𝐿 𝑑𝑖 𝑑𝑡 + 𝑅𝑖 + 1 𝐶 𝑞 = 𝐸 𝑡
Pero la intensidad de corriente i(t) es la derivada de la carga 𝑖 𝑡 =
𝑑𝑞
𝑑𝑡
, así
que la ecuación se convierte en la ecuación diferencial lineal de segundo
orden.
𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸 𝑡
Esta ecuación modela la carga en el capacitor del circuito. Si 𝐸(𝑡) no es
constante, es un circuito en serie y derivando la ecuación anterior,
obtenemos la ecuación que modela la intensidad de corriente en el circuito
𝐿
𝑑2𝐼
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝐼
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝐼 =
𝑑𝐸 𝑡
𝑑𝑡
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
Ejemplo 1.
Un circuito LRC está formado por un resistor 𝑅 = 12Ω, un capacitor 𝐶 = 0,1𝐹 y un inductor
𝐿 = 2𝐻, se conecta a una fuente de voltaje que suministra 𝐸(𝑡) = 20 cos(5𝑡)𝑉. Si inicialmente el capacitor
está descargado y no circula corriente alguna por el circuito, encuentre una expresión para la carga y la
corriente en todo tiempo t:
Solución:
𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸 𝑡
2
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 12
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
0.1
𝑞 = 20 cos(5𝑡)
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 6
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 5𝑞 = 10 cos(5𝑡)
i. Ecuación auxiliar 𝑚2 + 6m + 5 = 0
raíces 𝑚 = −5 ∨ 𝑚 = −1
𝑞𝑐 𝑡 = 𝑐1𝑒
−5𝑡 +𝑐2 𝑒
−𝑡
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
𝑅 = 12Ω
𝐶 = 0,1𝐹
𝐿 = 2𝐻
𝐸 𝑡 = 20 cos 5𝑡 𝑉
𝑞 0 = 0
𝑞′ 0 = 0
Continuación del ejemplo 1.
Un circuito LRC está formado por un resistor 𝑅 = 12Ω, un capacitor 𝐶 = 0,1𝐹 y un inductor 𝐿 = 2𝐻,
se conecta a una fuente de voltaje que suministra 𝐸(𝑡) = 20 cos(5𝑡)𝑉. Si inicialmente el capacitor
está descargado y no circula corriente alguna por el circuito, encuentre una expresión para la carga y la
corriente en todo tiempo t:
Solución:
𝑞𝑝 = 𝑐1𝑐𝑜𝑠 5𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(5𝑡); 𝑞′𝑝 = −5𝑐1𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 5𝑐2𝑐𝑜𝑠(5𝑡); 𝑞′′𝑝 = −25𝑐1𝑐𝑜𝑠 5𝑡 − 25𝑐2𝑠𝑒𝑛(5𝑡)
Reemplazando 
−25𝐴𝑐𝑜𝑠 5𝑡 − 25𝐵𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 6 −5𝐴𝑠𝑒𝑛 5𝑡 + 5𝐵𝑐𝑜𝑠 5t + 5 𝐴𝑐𝑜𝑠 5𝑡 + 𝐵𝑠𝑒𝑛 5𝑡 = 10cos(5𝑡)
20𝐴 + 30𝐵 𝑐𝑜𝑠 5𝑡 + −30𝐴 − 20𝐵 𝑠𝑒𝑛 5𝑡 = 10 cos 5𝑡
ቊ
−20𝐴 + 30𝐵 = 10
−30𝐴 − 20𝐵 = 0
→ 𝐴 = −
2
13
; 𝐵 =
3
13
𝑞 = 𝑐1𝑒
−𝑡 + 𝑐2𝑒
−5𝑡 +
3
13
𝑠𝑒𝑛 5𝑡 −
2
13
𝑐𝑜𝑠 5𝑡 ; 𝑞′ = −𝑐1𝑒
−𝑡 − 5𝑐2𝑒
−5𝑡 +
10
13
𝑠𝑒𝑛 5𝑡 +
15
13
𝑐𝑜𝑠 5𝑡 ;
൞
𝑞 0 = 0 = 𝑐1 + 𝑐2 −
2
13
𝑞′ 0 = 0 = −𝑐1 − 5𝑐2 +
15
13
𝑐1 = −
5
52
; 𝑐2 =
1
4
𝒒(𝒕) = −
𝟓
𝟓𝟐
𝒆−𝒕 +
𝟏
𝟒
𝒆−𝟓𝒕 +
𝟑
𝟏𝟑
𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒕 −
𝟐
𝟏𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒕 ; 𝒊 𝒕 = 𝒒′(𝒕) =
𝟓
𝟓𝟐
𝒆−𝒕 −
𝟓
𝟒
𝒆−𝟓𝒕 +
𝟏𝟎
𝟏𝟑
𝒔𝒆𝒏 𝟓𝒕 +
𝟏𝟓
𝟏𝟑
𝒄𝒐𝒔 𝟓𝒕
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
Ejemplo 2.
Se conecta en serie una fuente de voltaje E = 110𝑉 , un capacitor C = 10−3𝐹 y un inductor
𝐿 = 0,1𝐻. Determinar la carga en el capacitor y la corriente que circula por el circuito en todo tiempo,
si inicialmente el capacitor estaba totalmente descargado y no fluía corriente sobre el circuito.
Solución:
i. Ecuación auxiliar 𝑚2 + 10000 = 0 raíces 𝑚 = ±100𝑖
𝑞𝑐 𝑡 = 𝑐1cos(100𝑡) +𝑐2 𝑠𝑒𝑛(100𝑡)
𝑞𝑝 𝑡 = 𝐴; 𝑞𝑝
′ = 𝑞𝑝
′′ = 0 reemplazando 10000𝐴 = 110 → 𝐴 = 0.011
𝑞 𝑡 = 𝑐1 cos 100𝑡 +𝑐2 𝑠𝑒𝑛 100𝑡 + 0.011
𝑞′ 𝑡 = 100𝑐2cos(100𝑡) −100𝑐1 𝑠𝑒𝑛(100𝑡)
Evaluando ቊ
𝑐1 = −0.011
𝑐2 = 0
q 𝑡 = −0.011 cos 100𝑡 + 0.011
𝑖 𝑡 = 𝑞′ 𝑡 = 1.1 𝑠𝑒𝑛(100𝑡)
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
𝑅 = 0Ω
𝐶 = 0,001𝐹
𝐿 = 0,1𝐻
𝐸 𝑡 = 110
𝑞 0 = 0
𝑞′ 0 = 0
𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸 𝑡
0,1
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 0
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
0,001
𝑞 = 110
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 10000𝑞 = 1100
Ejemplo 3.
Encuentre la carga en el capacitor de un circuito LRC en serie cuando 𝐿 =
1
2
𝐻, 𝑅 = 10Ω, 𝐶 = 0,01𝐹,
𝐸 𝑡 = 150𝑉, 𝑞(0) = 1𝐶 𝑒 𝐼(0) = 0𝐴.
Solución:
i.Ecuación auxiliar 𝑚2 + 20m + 200 = 0 raíces 𝑚 = −10 ± 10𝑖
𝑞𝑐 𝑡 = 𝑒
−10𝑡 𝑐1 cos 10𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 10𝑡
𝑞𝑝 𝑡 = 𝐴; 𝑞𝑝
′ = 𝑞𝑝
′′ = 0 reemplazando 200𝐴 = 300 → 𝐴 =
3
2
𝑞 𝑡 = 𝑒−10𝑡 𝑐1 cos 10𝑡 + 𝑐2𝑠𝑒𝑛 10𝑡 +
3
2
𝑞 𝑡 = 𝑒−10𝑡 (10𝑐2 − 10𝑐1) cos 10𝑡 + (−10𝑐1 − 10𝑐2)𝑠𝑒𝑛 10𝑡
Evaluando ൞
𝑐1 +
3
2
= 1 → 𝑐1 = −
1
2
−10𝑐1 + 10𝑐2 = 0 → 𝑐2 = −
1
2
𝑞 𝑡 = −𝑒−10𝑡
1
2
cos 10𝑡 +
1
2
𝑠𝑒𝑛 10𝑡 +
3
2
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
𝑅 = 10Ω
𝐶 = 0,01𝐹
𝐿 =
1
2
𝐻
𝐸 𝑡 = 150𝑉
𝑞 0 = 1
𝑞′ 0 = 0
𝐿
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 𝑅
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
𝐶
𝑞 = 𝐸 𝑡
1
2
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 10
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+
1
0,01
𝑞 = 150
𝑑2𝑞
𝑑𝑡2
+ 20
𝑑𝑞
𝑑𝑡
+ 200𝑞 = 300
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Encuentre la carga y la corriente en un circuito LRC en serie cuando 𝐿 = 2𝐻 , 𝑅 = 2Ω, C = 
𝐶 = 0,25𝐹 y 𝐸 𝑡 = 50 cos 𝑡 𝑉. Si inicialmente el capacitor estaba descargado y no había flujo 
de corriente en el circuito.
APLICACIONES DE ED DE SEGUNDO ORDEN
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar las 
unidades en las que 
se va a trabajar.
2.Plantear 
adecuadamente la 
ecuación diferencial 
a resolver.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto las 
aplicaciones de las 
ecuaciones 
diferenciales lineales 
de orden superior.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones