S03 s1 ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES-1

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ECUACIONES 
DIFERENCIALES
ECUACIÓN DIFERENCIAL LINEAL DE PRIMER ORDEN
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión el estudiante identifica y resuelve ecuaciones diferenciales 
lineales de primer orden.”
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES
DEFINICIÓN Solución
¿Qué es una ecuación diferencial 
lineal?
En matemáticas, una ecuación diferencial lineal es
aquella ecuación diferencial cuyas soluciones pueden
obtenerse mediante combinaciones lineales de otras
soluciones. .
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIONES
¿Cuál es su utilidad?
Las Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se utilizan para modelar varios fenómenos físicos como:
✓ Modelo de difusión-concentración de temperatura.
✓ Modelo de problemas de Mezclas.
✓ Modelo de decrecimiento y cuentas bancarias.
✓ Modelo de movimiento de objetos
Entre otros.
1DEFINICIÓN
Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)
Donde 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄(𝑥) son funciones reales, se llama ecuación diferencial 
lineal.
Si Q(x)=0 se dice que la ecuación lineal es homogénea.
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
1.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥
2. 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
− 4𝑦 = 𝑥6𝑒𝑥 →
𝑑𝑦
𝑑𝑥
−
4
𝑥
𝑦 = 𝑥5𝑒𝑥
3. 2𝑦𝑑𝑥 + 𝑥 + 4𝑦2 𝑑𝑦 = 0 → 𝑥 + 4𝑦2 𝑑𝑦 = −2𝑦𝑑𝑥
𝑥 + 4𝑦2 = −2𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
→ −2𝒚
𝑑𝑥
𝑑𝒚
− 𝑥 = 4𝒚𝟐
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
2 TEOREMA
La solución general de la ecuación diferencial de primer orden
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥)
Está dada por:
𝑦 = 𝑒− ׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 න𝑄 𝑥 𝑒׬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥
Se dice que el término 𝑒׬ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 es un factor integrante.
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
3 Para resolver las ecuaciones
lineales no homogéneas se procede como sigue:
Multiplicamos a la ecuación
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄(𝑥) por la expresión 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 con lo
que obtenemos:
𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥𝑄(𝑥)
O lo que es lo mismo
𝑑
𝑑𝑥
𝑦𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑄(𝑥)𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
Integrando ambos miembros resulta
𝑦𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = න𝑄(𝑥)𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
Entonces 𝑦 = 𝑒− ׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 ׬𝑄(𝑥)𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 1. Resolver 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥
Solución. :
Multiplicamos a la ecuación por el factor integrante: 𝑒׬ 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒׬ 2𝑑𝑥 = 𝑒2𝑥
Entonces 𝑒2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 2𝑦 = 𝑒2𝑥 𝑥2 + 2𝑥 → 𝑒2𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 𝑒2𝑥2𝑦 = 𝑒2𝑥 𝑥2 + 2𝑥
luego tenemos 
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥 𝑥2 + 2𝑥
Integrando 𝑦 𝑒2𝑥 = 𝑒2𝑥׬ 𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥
Para resolver la integral indefinida aplicamos integración por partes
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Sea u = 𝑥2 + 2𝑥 y dv = 𝑒2𝑥𝑑𝑥
Entonces 𝑑u = 2𝑥 + 2 𝑑𝑥 y v =
𝑒2𝑥
2
Luego 𝑦 𝑒2𝑥 = ׬ 𝑒2𝑥 𝑥2 + 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥
𝑒2𝑥
2
− ׬
𝑒2𝑥
2
2𝑥 + 2 𝑑𝑥 𝑦 𝑒2𝑥
𝑦𝑒2𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥
𝑒2𝑥
2
− ׬
𝑒2𝑥
2
2𝑥 + 2 𝑑𝑥
Aplicando nuevamente integración por partes
Sea u = 2𝑥 + 2 y dv =
𝑒2𝑥
2
𝑑𝑥
Entonces 𝑑u = 2 𝑑𝑥 y v =
𝑒2𝑥
4
Luego 𝑦𝑒2𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥
𝑒2𝑥
2
− 2𝑥 + 2
𝑒2𝑥
4
− ׬
𝑒2𝑥
4
2𝑑𝑥
𝑦𝑒2𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥
𝑒2𝑥
2
− 2𝑥 + 2
𝑒2𝑥
4
+
𝑒2𝑥
4
+ 𝐶
Entonces la solución general es: 𝑦 =
𝑥2+2𝑥
2
−
2𝑥+2
4
+
1
4
+ 𝑒−2𝑥𝐶
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
Ejemplo 2. Resolver
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 1 𝑑𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝑥 = 0; 𝑥 0 = 4
Solución. :
La ecuación inicial la expresaremos en una ecuación diferencial lineal
𝑐𝑜𝑠𝑦 𝑑𝑥 = − 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 1 𝑑𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= − 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛 𝑦 − 1
𝑑𝑥
𝑑𝑦
= −
𝑥
𝑐𝑜𝑠𝑦
−
𝑠𝑒𝑛𝑦
𝑐𝑜𝑠𝑦
+
1
𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+
1
𝑐𝑜𝑠𝑦
𝑥 = −𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑠𝑒𝑐𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ sec 𝑦 𝑥 = −𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑠𝑒𝑐𝑦
ECUACIONES DIFERENCIALES: TIPOS Y SOLUCIÓN
La EDL es: 
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ sec 𝑦 𝑥 = −𝑡𝑎𝑛𝑦 + 𝑠𝑒𝑐𝑦
Multiplicamos a la ecuación por el factor integrante: 𝑒׬ 𝑠𝑒𝑐𝑦𝑑𝑦 = 𝑒ln(𝑠𝑒𝑐𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑦) = 𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑦
Entonces (𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑦)
𝑑𝑥
𝑑𝑦
+ sec 𝑦 𝑥 = (𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑦)(𝑠𝑒𝑐𝑦 − 𝑡𝑎𝑛𝑦)
𝑑
𝑑𝑦
𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑥 = (𝑠𝑒𝑐𝑦)2− 𝑡𝑎𝑛𝑦 2
Integrando 𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑥 = 1𝑑𝑦׬
Entonces 𝑠𝑒𝑐𝑦 + 𝑡𝑎𝑛𝑦 𝑥 = 𝑦 + 𝐶 → 𝑥 =
𝑦
𝑠𝑒𝑐𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑦
+
𝐶
𝑠𝑒𝑐𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑦
La solución general es: 𝑥 =
𝑦
𝑠𝑒𝑐𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑦
+
𝐶
𝑠𝑒𝑐𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑦
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
La solución general es: 𝑥 =
𝑦
𝑠𝑒𝑐𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑦
+
𝐶
𝑠𝑒𝑐𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑦
En el enunciado nos daban la condición: 𝑥 0 = 4
Si y=0 y x=4, reemplazando en la solución general tenemos:
4 =
0
𝑠𝑒𝑐0 + 𝑡𝑎𝑛0
+
𝐶
𝑠𝑒𝑐0 + 𝑡𝑎𝑛0
4 = 𝐶
La solución particular es: 𝑥 =
𝑦
𝑠𝑒𝑐𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑦
+
4
𝑠𝑒𝑐𝑦+𝑡𝑎𝑛𝑦
ECUACIONES DIFERENCIALES:TIPOS Y SOLUCIÓN
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
Resolver la ecuación y′ + 2y = 𝑥2 + 2𝑥; 𝑐𝑜𝑛 𝑦 0 = 1
EJERCICIO RETO
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Saber identificar 
una ecuación 
diferencial lineal de 
primer orden.
2.Recordar el factor 
integrante.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia en la vida 
cotidiana de las 
ecuaciones 
diferenciales.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones