S14 s1 - ED mediante TRansformada de Laplace

Vista previa del material en texto

SOLUCIÓN DE ECUACIONES 
DIFERENCIALES
USANDO TRANSFORMADA DE LAPLACE
Datos/Observaciones 2
Pierre-Simon Laplace
(1749 - 1827) 
"Podemos mirar el estado presente del universo
como el efecto del pasado y la causa de su futuro.
Se podría condensar un intelecto que en cualquier
momento dado sabría todas las fuerzas que
animan la naturaleza y las posiciones de los seres
que la componen, si este intelecto fuera lo
suficientemente vasto para someter los datos al
análisis, podría condensar en una simple fórmula
el movimiento de los grandes cuerpos del
universo y del átomo más ligero; para tal intelecto
nada podría ser incierto y el futuro así como el
pasado estarían frente sus ojos."
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la sesión los estudiantes resolverán una ED mediante el uso de 
las Transformadas de Laplace”
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
¿Cuál es su utilidad?
La Transformada de Laplace es una herramienta que permite transformar
los problemas anteriores en problemas algebraicos y, una vez resuelto este
problema algebraico más fácil a priori de resolver, calcular a partir de la
solución del problema algebraico la solución del problema de ecuaciones
diferenciales.
TRANSFORMADA DE LAPLACE – Función escalón unitario
TRANSFORMA
DA INVERSA 
DE LAPLACE
Transformada 
de Laplace
Inversa de la 
Transformada 
de Laplace
Solución de 
una Ecuación 
Diferencial
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE 6
Transformada de Laplace de las derivadas de una función
La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por: 
donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0.
La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está 
dada por:
)0()()}('{ fssFtfL −=
)0(')0()()}(''{ 2 fsfsFstfL −−=
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE 7
En forma similar:
)0()0(')0()()}({ )1(21)( −−− −−−−= nnnnn ffsfssFstfL 
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ec. Diferencial
Transformada de 
Laplace
Ec. Algebraica
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ec. Algebraica
Solución de la 
Ec. Diferencial
Inversa de la 
Transformada 
de Laplace
Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando la transformada 
de Laplace:
1. Aplicamos la transformada de Laplace a ambos lados de la igualdad.
2. Despejamos la función 𝑌 (𝑠) = 𝐿 𝑦 𝑡 .
3. Aplicamos la transformada de Laplace inversa.
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 1: Resolver 𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒−3𝑡; 𝑦 0 = 4
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
SOLUCIÓN:
Aplicamos la Transformada de Laplace a ambos miembros de la igualdad
𝐿 𝑦′ + 2𝑦 = 𝑒−3𝑡
𝐿 𝑦′ + 2𝐿 𝑦 = 𝐿{𝑒−3𝑡}
Reemplazamos la condición inicial que tenemos:
𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 + 2𝑌 𝑠 =
1
𝑠 + 3
𝑠𝑌 𝑠 − 4 + 2𝑌 𝑠 =
1
𝑠 + 3
Despejamos Y(s)
𝑌 𝑠 𝑠 + 2 =
1
𝑠 + 3
+ 4
𝑌 𝑠 =
13 + 4𝑠
(𝑠 + 3)(𝑠 + 2)
=
5
𝑠 + 2
−
1
𝑠 + 3
Y tomamos la Transformada Inversa de Laplace:
𝑦 𝑡 = 5𝑒−2𝑡 − 𝑒−3𝑡
Ejemplo 2: Resolver 𝑦′ + 2𝑦 − ׬3
0
𝑡
𝑦 𝑢 𝑑𝑢 = 5 + 5𝑡; 𝑦 0 = 2
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
SOLUCIÓN:
Aplicamos la Transformada de Laplace a ambos miembros de la igualdad
𝐿 𝑦′ + 2𝑦 − 3න
0
𝑡
𝑦 𝑢 𝑑𝑢 = 5 + 5𝑡
𝐿 𝑦′ + 2𝐿 𝑦 − 3𝐿 න
0
𝑡
𝑦 𝑢 𝑑𝑢 = 𝐿{5} + 5𝐿{𝑡}
Reemplazamos la condición inicial que tenemos:
𝑠𝑌 𝑠 − 𝑦 0 + 2𝑌 𝑠 − 3
1
𝑠
𝑌 𝑠 =
5 + 5𝑠
𝑠2
𝑠𝑌 𝑠 − 2 + 2𝑌 𝑠 − 3
1
𝑠
𝑌 𝑠 =
5 + 5𝑠
𝑠2
Despejamos Y(s)
𝑌 𝑠 𝑠 + 2 −
3
𝑠
=
5 + 5𝑠
𝑠2
+ 2
𝑌 𝑠 =
5𝑠 + 5 + 2𝑠2
𝑠(𝑠2 + 2𝑠 − 3)
𝑌 𝑠 =
5 + 5𝑠 + 2𝑠2
𝑠(𝑠 + 3)(𝑠 − 1)
Aplicamos la Transformada inversa de Laplace.
𝐿−1 𝑌 𝑠 = 𝑦 𝑡
5 + 5𝑠 + 2𝑠2
𝑠(𝑠 + 3)(𝑠 − 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
𝑠 + 3
+
𝐶
𝑠 − 1
5 + 5𝑠 + 2𝑠2 = 𝐴 𝑠 + 3 𝑠 − 1 + 𝐵𝑠 𝑠 − 1 + 𝐶𝑠 𝑠 + 3
𝑠 = −3 → 𝐵 =
2
3
𝑠 = 1 → 𝐶 = 3
𝑠 = 0 → 𝐴 = −
5
3
𝐿−1
5 + 5𝑠 + 2𝑠2
𝑠 𝑠 + 3 𝑠 − 1
= 𝐿−1
−5/3
𝑠
+
2/3
𝑠 + 3
+
3
𝑠 − 1
Así
𝑦 𝑡 = −
5
3
+
2
3
𝑒−3𝑡 + 3𝑒𝑡
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 3: Resolver 𝑦′′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = 𝑡𝑒2𝑡; 𝑦 0 = 2, 𝑦′ 0 = 3
Aplicamos Transformada de Laplace a ambos miembros y reemplazamos las 
condiciones iniciales:
𝐿 𝑦′′ − 6𝑦′ + 5𝑦 = 𝑡𝑒2𝑡
𝑠2𝑌 𝑠 − 2𝑠 − 3 − 6𝑠𝑌 𝑠 + 12 + 5𝑌 𝑠 =
1
𝑠 − 2 2
Despejamos 𝑌 𝑠 𝑠2 − 6𝑠 + 5 − 2𝑠 + 9 =
1
𝑠−2 2
𝑌 𝑠 =
2𝑠3 − 17𝑠2 + 44𝑠 − 35
𝑠 − 2 2(𝑠 − 5)(𝑠 − 1)
Aplicaremos la Transformada inversa de Laplace 𝐿−1 𝑌 𝑠 = 𝑦 𝑡
𝐿−1
2𝑠3 − 17𝑠2 + 44𝑠 − 35
𝑠 − 2 2 𝑠 − 5 𝑠 − 1
= 𝐿−1
𝐴
𝑠 − 2
+
𝐵
𝑠 − 2 2
+
𝐶
𝑠 − 5
+
𝐷
𝑠 − 1
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
SOLUCIÓN:
Los valores de 𝐴 =
2
9
; 𝐵 = −
1
3
; 𝐶 =
5
18
𝑦 𝐷 =
3
2
Por tanto 𝐿−1
2𝑠3−17𝑠2+44𝑠−35
𝑠−2 2 𝑠−5 𝑠−1
= 𝐿−1
2/9
𝑠−2
+
−1/3
𝑠−2 2
+
5/18
𝑠−5
+
3/2
𝑠−1
Así la solución es 𝑦 𝑡 =
2
9
𝑒2𝑡 −
1
3
𝑡𝑒2𝑡 +
5
18
𝑒5𝑡 +
3
2
𝑒𝑡
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 4: Resolver 𝑦′′ − 4𝑦 = 𝑓 𝑡 ; 𝑦 0 = 0, 𝑦′ 0 = 0
𝑓 𝑡 = ቊ
cos 𝑡, 0 ≤ 𝑡 < 𝜋
𝑠𝑒𝑛𝑡, 𝑡 ≥ 𝜋
Aplicamos la Transformada de Laplace en ambos miembros de la igualdad
𝐿{𝑦′′ − 4𝑦 = cos 𝑡 + 𝑠𝑒𝑛𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑢(𝑡 − 𝜋)}
𝑠2𝑌 𝑠 − 𝑠𝑦′ 0 − 𝑦 0 − 4𝑌 𝑠 =
𝑠
𝑠2 + 1
+ 𝑒−𝜋s𝐿{𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 𝜋 − cos 𝑡 + 𝜋 }
Reemplazando las condiciones iniciales y reduciendo se obtiene
𝑠2𝑌 𝑠 − 4𝑌 𝑠 =
𝑠
𝑠2 + 1
+ 𝑒−𝜋𝑠𝐿 −𝑠𝑒𝑛𝑡 + cos 𝑡
Despejando 𝑌(𝑠) se tiene:
𝑌 𝑠 =
𝑠
𝑠2 + 1
+ 𝑒−𝜋𝑠
𝑠 − 1
𝑠2 + 1
1
𝑠2 − 4
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
SOLUCIÓN:
𝑌 𝑠 =
𝑠
(𝑠2+1)(𝑠2 − 4)
+
𝑒−𝜋𝑠(𝑠 − 1)
(𝑠2 + 1)(𝑠2 − 4)
Luego tomado la Transformada inversa de Laplace tendremos
𝐿−1 𝑌 𝑠
= 𝐿−1 −
𝑠
5 𝑠2 + 1
+
1
10 𝑠 − 2
+
1
10 𝑠 + 2
+ 𝑒𝜋𝑠
−𝑠 + 1
5 𝑠2 + 1
+
3
20 𝑠 + 2
+
1
20 𝑠 − 2
Se obtiene:
𝑦 𝑡 = −
1
5
𝑐𝑜𝑠𝑡 + +
1
10
𝑒2𝑡 +
1
10
𝑒−2𝑡 + 𝑢 𝑡 − 𝜋 ቂ
ቃ
−
1
5
cos 𝑡 − 𝜋 +
1
5
𝑠𝑒𝑛 𝑡 − 𝜋 +
3
20
𝑒−2 𝑡−𝜋 +
1
20
𝑒2 𝑡−𝜋
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
Ejemplo 5. Resolver
2222 )1()1(
1
)(
+
+
+
=
−
s
e
s
sY
s
0)0()0(,
0
0sin
==





=+ yy
t
tt
yy


 
 
11
1
)sin()(sin
sin)(sin)()(
22
2
+
+
+
=
−−+=
−−=+
−
s
e
s
ttutL
ttutLsYsYs
s


   
 



−
−
=
−−−−−+−=



tt
tttt
ttttutttty
cos
0cossin
)cos()()sin()(cossin)(
2
1
2
1
2
1
2
1
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
LISTO PARA MI EJERCICIO RETO
ED MEDIANTE TRANSFORMADA DE LAPLACE
EJERCICIO RETO
Resolver la ED mediante Transformada de Laplace:
Respuesta:
" 3 ' 4 ( 1)
 (0) 1, '(0) 2
y y y t u t
y y
+ − =  −
= − =
4 43 32 1
5 80 4 16
432
5 5
( ) ( 1)( + ( ) )
 ( )( ( ) )
t te
e
t t
y t u t e e t
u t e e
−
−
= −   − −
−  − 
Datos/Observaciones
3 FINALMENTE
IMPORTANTE
1. Aplicar 
correctamente las 
Transformadas de 
Laplace: directa e 
inversa.
2. Resolver utilizando 
las propiedades 
respectivas.
Gracias por tu 
participación
Hemos visto la 
importancia de la 
Transformada de 
Laplace.
Ésta sesión 
quedará grabada
PARA TI
1. Revisa los 
ejercicios indicados 
y realiza la Tarea 
de ésta sesión.
2. Consulta en el 
FORO tus dudas.
Datos/Observaciones